1．（3分）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，﹣5）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣3，﹣5）B．（3，5）C．（3，﹣5）D．（5，﹣3）
4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．＝2
6．（3分）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L之間的距離為6千米，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為α，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（ ）
A．6sina千米B．6csα千米C．6tanα千米D．千米
7．（3分）若拋物線y＝x2+2x﹣5經(jīng)過(guò)（﹣5，y1）（﹣2，y2），（2，y3）三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
8．（3分）對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c，y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：
下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．開(kāi)口向下
B．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大
C．對(duì)稱軸為直線x＝1
D．函數(shù)的最小值是﹣5
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 ．
10．（3分）長(zhǎng)春軌道交通6號(hào)線預(yù)計(jì)于2024年開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，在比例尺為1：500000的地圖上，量得全線長(zhǎng)約為6cm，則軌道交通6號(hào)線的實(shí)際距離約為 km．
11．（3分）函數(shù)y＝﹣（x+3）2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
12．（3分）在一個(gè)不透明口袋中裝有1個(gè)紅球和n個(gè)白球，它們除了顏色以外沒(méi)有任何其他區(qū)別．?dāng)噭蚝髲目诖须S機(jī)摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回口袋中并攪勻，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，摸到白球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8，則n的值為 ．
13．（3分）如圖是一位同學(xué)用激光筆測(cè)量某古城墻高度的示意圖．該同學(xué)將一個(gè)平面鏡水平放置在點(diǎn)P處，從點(diǎn)A射入的光線經(jīng)平面鏡反射后剛好照到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，測(cè)得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，則古城墻的高度CD是 米．
14．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（6，c），點(diǎn)A（x1，y1）B（5，y2）在該函數(shù)圖象上．當(dāng)m﹣1≤x1≤m時(shí)，若y1≤y2，則m的取值范圍是 ．
三、解答題（本大題10小題，共78分）
15．（6分）計(jì)算：．
16．（6分）解方程：2（x﹣5）2﹣8＝0．
17．（6分）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象經(jīng)過(guò)（4，3）和（0，﹣5）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移 個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
18．（7分）2023年國(guó)際乒聯(lián)混合團(tuán)體世界杯于2023年12月4日在成都舉行，本次賽會(huì)的會(huì)徽彰顯了成都文化特色，吉祥物“乒乒”將大熊貓與乒乓球運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，表達(dá)了成都人民對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)．現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中一張卡片的正面圖案為會(huì)徽，另外兩張卡片的正面圖案都為吉祥物“乒乒”，卡片除正面圖案不同外其余均相同，將這三張卡片背面向上并攪勻．
（1）小明從中隨機(jī)抽取一張，“抽到卡片上的圖案是會(huì)徽”是 事件（填“隨機(jī)”“不可能”或“必然”）；
（2）小亮從中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的圖案后背面向上放回，重新攪勻后再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張．請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖（或列表）的方法，求小亮兩次抽到的卡片上的圖案都是吉祥物“乒乒”的概率．（圖案為會(huì)徽的卡片記為A，圖案為吉祥物的兩張卡片分別記為B1、B2）
19．（7分）桑梯是我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種采桑工具．圖①是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖②所示，已知AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米．在安全使用的前提下，當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)，桑梯頂端D達(dá)到最大高度，求此時(shí)D到地面BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，精確到0.1米）
20．（7分）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中畫∠ABC，使tan∠ABC＝1；
（2）在圖②中畫∠ABD，使；
（3）在圖③中畫∠ABE，使．
21．（8分）如圖，一位足球運(yùn)動(dòng)員在距離球門中心水平距離8米的A處射門，球沿一條拋物線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為6米時(shí)，達(dá)到最大高度3米．
（1）建立圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知球門高OB為2.44米，通過(guò)計(jì)算判斷這位運(yùn)動(dòng)員能否將球射進(jìn)球門．
22．（9分）【教材呈現(xiàn)】圖1是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容．
例2：如圖1，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)．AD、CE相交于點(diǎn)G．求證：．
證明：連接ED．
【結(jié)論證明】請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過(guò)程．
【結(jié)論應(yīng)用】
（1）如圖①，若S△CDG＝2，則S△ABC＝ ；
（2）在圖①的條件下，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．若AB＝10，AM＝AC＝6，四邊形CDGN的面積為10，則S△ABC＝ ．
23．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC﹣CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，連結(jié)PD．作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)A'；連結(jié)A′D、A′P、A′A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）線段AD的長(zhǎng)為 ；
（2）用含t的代數(shù)式表示線段CP的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求A′D與△ABC的一條直角邊平行時(shí)t的值；
（4）當(dāng)△ADA′為銳角三角形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．
24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（4，5），點(diǎn)P在該拋物線上，橫坐標(biāo)為2m﹣1．
（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)PQ⊥y軸時(shí)，求m的值；
（3）將該拋物線上P、Q兩點(diǎn)之間的部分（包括P、Q兩點(diǎn)）記為圖象G．
①當(dāng)圖象G上只有兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為4時(shí)，求m的取值范圍；
②當(dāng)圖象G與直線y＝2m﹣3只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共24分）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：在函數(shù) y＝﹣，y＝，y＝x，y＝3x2﹣中，二次函數(shù)為y＝3x2﹣．
故選：D．
2．（3分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因?yàn)椋?，＝2，＝2，＝2，
所以與是同類二次根式，
故選：B．
3．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，﹣5）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣3，﹣5）B．（3，5）C．（3，﹣5）D．（5，﹣3）
【解答】解：點(diǎn)P（﹣3，﹣5）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣5），
故選：C．
4．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程2x2+x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：2x2+x﹣m＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝﹣m，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1+8m＞0，
∴m＞﹣．
故選：C．
5．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．＝2
【解答】解：A、與不能合并，不符合題意；
B、2﹣＝，不符合題意；
C、×＝，符合題意；
D÷＝，符合題意．
故選：C．
6．（3分）如圖，一枚運(yùn)載火箭從地面L處發(fā)射，雷達(dá)站R與發(fā)射點(diǎn)L之間的距離為6千米，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，雷達(dá)站測(cè)得仰角為α，則這枚火箭此時(shí)的高度AL為（ ）
A．6sina千米B．6csα千米C．6tanα千米D．千米
【解答】解：在Rt△ALR中，RL＝6，∠ARL＝α，
∴tanR＝，
∴AL＝LR?tanR＝6tanα（km）．
故選：C．
7．（3分）若拋物線y＝x2+2x﹣5經(jīng)過(guò)（﹣5，y1）（﹣2，y2），（2，y3）三點(diǎn)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【解答】解：y＝x2+2x﹣5的對(duì)稱軸為x＝﹣1，
（﹣5，y1），（﹣2，y2），（2，y3）三點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離分別為4，1，3，
∴y1＞y3＞y2，
故選：B．
8．（3分）對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c，y與x的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：
下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．開(kāi)口向下
B．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大
C．對(duì)稱軸為直線x＝1
D．函數(shù)的最小值是﹣5
【解答】解：把（﹣1，﹣2），（0，﹣5），（3，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，
∴拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣6），
當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，
故A，B，D錯(cuò)誤，C正確，
故選：C．
二、填空題（每小題3分，共18分）
9．（3分）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 x≥1 ．
【解答】解：若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，
則x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案為：x≥1．
10．（3分）長(zhǎng)春軌道交通6號(hào)線預(yù)計(jì)于2024年開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，在比例尺為1：500000的地圖上，量得全線長(zhǎng)約為6cm，則軌道交通6號(hào)線的實(shí)際距離約為 30 km．
【解答】解：根據(jù)比例尺＝圖上距離：實(shí)際距離，得：
軌道交通6號(hào)線的實(shí)際距離約為：6×500000＝3000000（cm），
3000000cm＝30km．
故答案為：30．
11．（3分）函數(shù)y＝﹣（x+3）2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （﹣3，1） ．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（x+3）2+1，
∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣3，1）．
故答案為：（﹣3，1）．
12．（3分）在一個(gè)不透明口袋中裝有1個(gè)紅球和n個(gè)白球，它們除了顏色以外沒(méi)有任何其他區(qū)別．?dāng)噭蚝髲目诖须S機(jī)摸出1個(gè)球，記錄下顏色后放回口袋中并攪勻，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，摸到白球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.8，則n的值為 4 ．
【解答】解：根據(jù)題意，袋中球的總個(gè)數(shù)約為1÷（1﹣0.8）＝5（個(gè)），
所以袋中白球的個(gè)數(shù)n＝5﹣1＝4，
故答案為：4．
13．（3分）如圖是一位同學(xué)用激光筆測(cè)量某古城墻高度的示意圖．該同學(xué)將一個(gè)平面鏡水平放置在點(diǎn)P處，從點(diǎn)A射入的光線經(jīng)平面鏡反射后剛好照到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，測(cè)得AB＝1.5m，BP＝2m，DP＝6m，則古城墻的高度CD是 4.5 米．
【解答】解：由題意得：
∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝4.5，
∴該古城墻的高度CD是4.5m，
故答案為：4.5．
14．（3分）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（6，c），點(diǎn)A（x1，y1）B（5，y2）在該函數(shù)圖象上．當(dāng)m﹣1≤x1≤m時(shí)，若y1≤y2，則m的取值范圍是 2≤m≤5 ．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)（6，c），
∴x＝0時(shí)，y＝c，x＝6時(shí)，y＝c，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3，
∵拋物線開(kāi)口向上，且y1≤y2，
∴A（x1，y1）到對(duì)稱軸的距離小于或等于點(diǎn)B（5，y2）到對(duì)稱軸的距離，如圖，
∴，
解得2≤m≤5．
故答案為：2≤m≤5．
三、解答題（本大題10小題，共78分）
15．（6分）計(jì)算：．
【解答】解：原式＝3+2﹣5
＝5﹣5
＝0．
16．（6分）解方程：2（x﹣5）2﹣8＝0．
【解答】解：2（x﹣5）2﹣8＝0，
則2（x﹣5）2＝8，
∴（x﹣5）2＝4，
∴x﹣5＝±2，
∴x＝±2+5，
∴x1＝3，x2＝7．
17．（6分）二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象經(jīng)過(guò)（4，3）和（0，﹣5）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移 ﹣1 個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象經(jīng)過(guò)（4，3）和（0，﹣5），
∴，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣5；
（2）令y＝0，則x2﹣2x﹣5＝0，
解得x1＝1﹣，x2＝1+，
∴拋物線y＝x2﹣2x﹣5與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，0），A（1+，0），
∴將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向右平移（﹣1）個(gè)單位后經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
故答案為：﹣1．
18．（7分）2023年國(guó)際乒聯(lián)混合團(tuán)體世界杯于2023年12月4日在成都舉行，本次賽會(huì)的會(huì)徽彰顯了成都文化特色，吉祥物“乒乒”將大熊貓與乒乓球運(yùn)動(dòng)相結(jié)合，表達(dá)了成都人民對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)．現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中一張卡片的正面圖案為會(huì)徽，另外兩張卡片的正面圖案都為吉祥物“乒乒”，卡片除正面圖案不同外其余均相同，將這三張卡片背面向上并攪勻．
（1）小明從中隨機(jī)抽取一張，“抽到卡片上的圖案是會(huì)徽”是 隨機(jī) 事件（填“隨機(jī)”“不可能”或“必然”）；
（2）小亮從中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的圖案后背面向上放回，重新攪勻后再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張．請(qǐng)用畫樹(shù)狀圖（或列表）的方法，求小亮兩次抽到的卡片上的圖案都是吉祥物“乒乒”的概率．（圖案為會(huì)徽的卡片記為A，圖案為吉祥物的兩張卡片分別記為B1、B2）
【解答】解：（1）由題意得，小明從中隨機(jī)抽取一張，“抽到卡片上的圖案是會(huì)徽”是隨機(jī)事件．
故答案為：隨機(jī)．
（2）畫樹(shù)狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，其中小亮兩次抽到的卡片上的圖案都是吉祥物“乒乒”的結(jié)果有：（B1，B1），（B1，B2），（B2，B1），（B2，B2），共4種，
∴小亮兩次抽到的卡片上的圖案都是吉祥物“乒乒”的概率為．
19．（7分）桑梯是我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種采桑工具．圖①是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖②所示，已知AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米．在安全使用的前提下，當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)，桑梯頂端D達(dá)到最大高度，求此時(shí)D到地面BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，精確到0.1米）
【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，如圖，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°．
∵AB＝AC＝1.6米，AD＝1.2米，
∴CD＝AC+AD＝2.8（米）．
在Rt△DCE中，
∵sinC＝，
∴sin75°＝，
∴DE＝2.8×sin75°≈2.8×0.97＝2.716≈2.7（米）．
答：當(dāng)∠BAC＝30°時(shí)，D到地面BC的距離2.7米．
20．（7分）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中畫∠ABC，使tan∠ABC＝1；
（2）在圖②中畫∠ABD，使；
（3）在圖③中畫∠ABE，使．
【解答】解：（1）如圖1，∠ABC即為所求．
（2）如圖2，∠ABD即為所求．
（3）如圖，∠ABE即為所求．
21．（8分）如圖，一位足球運(yùn)動(dòng)員在距離球門中心水平距離8米的A處射門，球沿一條拋物線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為6米時(shí)，達(dá)到最大高度3米．
（1）建立圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知球門高OB為2.44米，通過(guò)計(jì)算判斷這位運(yùn)動(dòng)員能否將球射進(jìn)球門．
【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
設(shè)拋物線為 y＝a（x﹣2）2+3，
把點(diǎn)A（8，0）代入得：36a+3＝0，
解得a＝﹣，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣2）2+3；
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×4+3＝＞2.4，
∴球不能射進(jìn)球門．
22．（9分）【教材呈現(xiàn)】圖1是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容．
例2：如圖1，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)．AD、CE相交于點(diǎn)G．求證：．
證明：連接ED．
【結(jié)論證明】請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過(guò)程．
【結(jié)論應(yīng)用】
（1）如圖①，若S△CDG＝2，則S△ABC＝ 12 ；
（2）在圖①的條件下，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交AB、AC于點(diǎn)M、N．若AB＝10，AM＝AC＝6，四邊形CDGN的面積為10，則S△ABC＝ 40 ．
【解答】【結(jié)論證明】證明：∵D，E分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝＝＝，
∴＝＝．
【結(jié)論應(yīng)用】解：（1）∵＝，S△CDG＝2，
∴AD＝3GD，
∴S△ACD＝S△CDG＝3S△CDG＝3×2＝6，
∵BD＝CD，
∴S△ABD＝S△CDG＝6，
∴S△ABC＝S△ABD+S△CDG＝6+6＝12，
故答案為：12．
（2）如圖②，作CF∥AB交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CK∥AD交FN于點(diǎn)K，
∵AB＝10，AM＝AC＝6，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5，
∴EM＝AM﹣AE＝6﹣5＝1，
∵EM∥CF，
∴△EMG∽△CFG，
∴＝＝，
∴CF＝2EM＝2×1＝2，
∵∠FCN＝∠MAN，∠KCN＝∠GCN，
∴∠FCN﹣∠KCN＝∠MAN﹣∠GAN，
∴∠FCK＝∠MAG，
∵∠F＝∠AMG，
∴△FCK∽△MAG，
∴＝＝＝，
∵CK∥AG，
∴△CKN∽△AGN，
∴＝＝，
∴AC＝4CN，
∴S△CAG＝4S△CNG，
∵＝，
∴S△CDG＝S△CAG＝×4S△CNG＝2S△CNG，
∴2S△CNG+S△CNG＝S四邊形CDGN＝10，
∴S△CNG＝，
∴S△CDG＝2S△CNG＝2×＝，S△CAG＝4S△CNG＝4×＝，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△CDG+S△CAG＝+＝20，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝20+20＝40，
故答案為：40．
23．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AC﹣CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，連結(jié)PD．作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)A'；連結(jié)A′D、A′P、A′A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）線段AD的長(zhǎng)為 5 ；
（2）用含t的代數(shù)式表示線段CP的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求A′D與△ABC的一條直角邊平行時(shí)t的值；
（4）當(dāng)△ADA′為銳角三角形時(shí)，直接寫出t的取值范圍．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10，
∵點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，
∴AD＝AB＝×10＝5，
故答案為：5；
（2）分兩種情況：
①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)，CP＝AC﹣AP＝8﹣2t；
②當(dāng)4＜t＜7時(shí)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，CP＝2t﹣8；
綜上所述，CP＝；
（3）∵點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，
∴AD＝A′D，
∴點(diǎn)A′的運(yùn)動(dòng)軌跡為以D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的圓上，
分兩種情況：
①當(dāng)A′D∥BC時(shí)，如圖1，延長(zhǎng)DP交AA′于點(diǎn)E，AC交A′D于點(diǎn)F，
則∠DFE＝∠ACB＝90°，
∴∠AFA′＝∠DFP＝90°，
∵A′D∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝＝，
即＝＝，
解得：AF＝4，DF＝3，
∴A′F＝A′D﹣DF＝AD﹣DF＝5﹣3＝2，
∵點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，
∴DE⊥AA′，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEP＝∠DFE，
∵∠APE＝∠DPF，
∴∠A′AF＝∠EDF，
∵∠AFA′＝∠DFP，
∴△AFA′∽△DFP，
∴＝，
即＝，
解得：PF＝，
∴AP＝AF﹣PF＝4﹣＝，
∴t＝＝（s）；
②當(dāng)A′D∥AC時(shí)，如圖2，設(shè)AA′交DP于點(diǎn)E，
則∠PAE＝∠DA′E，
∵點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，
∴AE＝A′E，
在△APE和△A′DE中，
，
∴△APE≌△A′DE（ASA），
∴AP＝A′D，
∴AP＝AD＝5，
∴此時(shí)，t＝（s），
綜上所述，A′D與△ABC的一條直角邊平行時(shí)t的值為或；
（4）當(dāng)∠ADA′＝90°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)DP交AA′于點(diǎn)E，連接A′B交AC于點(diǎn)F，
∵AD＝A′D，
∴△ADA′是等腰直角三角形，
∴AA′＝AD＝5，
∵點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，
∴DE⊥AA′，AE＝AA′＝，
設(shè)CF＝x，則AF＝8﹣x，
∵以D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的圓，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，
∴AB為圓的直徑，
∴∠AA′F＝∠BCF＝90°，
∵∠A′AC＝∠A′BC，
∴△AA′F∽△BCF，
∴＝，
即＝，
∴BF＝，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC2+CF2＝BF2，
即62+x2＝（）2，
整理得：7x2+288x﹣252＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣42（不合題意，舍去），
∴BF＝＝，
∵∠AEP＝∠BCF＝90°，∠EAP＝∠CBF，
∴△EAP∽△CBF，
∴＝，
即＝，
解得：AP＝，
∴此時(shí)，t＝＝（s），
∴當(dāng)△ADA′為銳角三角形時(shí)，t的取值范圍為0＜t＜．
24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（4，5），點(diǎn)P在該拋物線上，橫坐標(biāo)為2m﹣1．
（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)PQ⊥y軸時(shí)，求m的值；
（3）將該拋物線上P、Q兩點(diǎn)之間的部分（包括P、Q兩點(diǎn)）記為圖象G．
①當(dāng)圖象G上只有兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為4時(shí)，求m的取值范圍；
②當(dāng)圖象G與直線y＝2m﹣3只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（4，5），
∴16+4b﹣3＝5，解得b＝﹣2，
∴該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵PQ⊥y軸，
∴P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
∴P（2m﹣1，5），
∵點(diǎn)P在該拋物線y＝x2﹣2x﹣3上，
∴（2m﹣1）2﹣2（2m﹣1）﹣3＝5，
解得m＝﹣或m＝（此時(shí)，P、Q重合，不合題意，舍去），
∴m的值為﹣；
（3）①如圖，
當(dāng)y＝4時(shí)，x2﹣2x﹣3＝4，解得x＝1+2或1﹣2，
∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
∴當(dāng)圖象G上只有兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為4時(shí)，1﹣2＜x≤1，
∴1﹣2＜2m﹣1≤1，解得1﹣＜m≤1，
∴m的取值范圍為1﹣＜m≤1；
②如圖，
∵當(dāng)x＝4時(shí)，y＝2m﹣3＝5，
∴點(diǎn)Q（4，5）在直線y＝2m﹣3上，
由圖象得，當(dāng)x＜0時(shí)，圖象G與直線y＝2m﹣3有二個(gè)公共點(diǎn)（0，﹣3），Q（4，5），
當(dāng)x＞0且x≠4時(shí)，圖象G與直線y＝2m﹣3有一個(gè)公共點(diǎn)Q（4，5），
∴當(dāng)圖象G與直線y＝2m﹣3只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，2m﹣1＞0且2m﹣1≠4時(shí)，
∴m＞且m≠，
即m的取值范圍為m＞且m≠．
x
…
﹣3
﹣1
0
3
4
…
y
…
10
﹣2
﹣5
﹣2
3
…
x
…
﹣3
﹣1
0
3
4
…
y
…
10
﹣2
﹣5
﹣2
3
…

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