湖北省宜荊荊隨恩2023-2024學年高二上學期12月聯考數學試卷（Word版附答案）

這是一份湖北省宜荊荊隨恩2023-2024學年高二上學期12月聯考數學試卷（Word版附答案），共12頁。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答，已知直線，已知，，，，若，則的最小值為，若曲線的方程為等內容，歡迎下載使用。
考試時間：2023年12月18日下午15：00-17：00 試卷滿分：150分
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．拋物線的焦點坐標為（ ）
A．B．C． D．
2．若圓：與圓：有三條公切線，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．已知圓錐側面展開圖是一個半圓，其母線長度為2，則底面半徑為（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知樣本空間含有等可能的樣本點，且，，則（ ）
A．B．C．D．1
5．彗星“紫金山一號”是南京紫金山天文臺發(fā)現的，它的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓．測得軌道的近日點（距離太陽最近的點）距太陽中心1.486天文單位，遠日點（距離太陽最遠的點）距太陽中心5.563天文單位，且近日點、遠日點及太陽中心在同一條直線上，則該橢圓的短半軸長度為（ ）天文單位．
A．B．C．D．
6．若點為橢圓上的點，、為其左右焦點，且，則的面積為（ ）
A．1B．C．D．2
7．已知直線：與雙曲線：的右支交于、兩點，則實數的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，，若，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．已知，是空間中兩條不同的直線，，是不同的兩個平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，，則
C．若，，則D．若，，則
10．若曲線的方程為：，則下列說法不正確的是（ ）
A．當曲線為直線時，B．當時，曲線為焦點在軸的雙曲線
C．當時，曲線不存在D．當曲線表示焦點在軸上的橢圓時，
11．已知點，在等軸雙曲線：的圖像上，點是雙曲線的右焦點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．點到兩漸近線距離的乘積為2
C．以為切點作雙曲線的切線交軸于點
D．的面積為
12．已知、分別為棱長為2的正方體棱、上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．線段長度的最小值為2
B．三棱錐的外接球體積的最大值為
C．直線與直線所成角的余弦值的范圍為
D．當、為中點時，平面截正方體所形成的圖形的面積為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．若經過，兩點的直線的傾斜角為，則________．
14．若事件與相互獨立，且，，且，則________．
15．已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點。現將雙曲線：上的每個點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到曲線，則曲線的方程為________．
16．已知過拋物線：的焦點的直線與交于、兩點，線段的中垂線與的準線交于點，若，則直線的方程為________．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應給出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．已知直線：與拋物線：恒有兩個交點、．
（1）求的取值范圍；
（2）當時，直線過拋物線的焦點，求此時線段的長度．
18．在斜三棱柱中，，，，、、分別為、、的中點．
（1）證明：平面；
（2）求三棱錐的體積．
19．已知圓：，圓：．
（1）求經過點以及圓與圓交點的圓的方程；
（2）若動圓和圓、圓均外切，求點的軌跡方程。
20．如圖，在直三棱柱中，平面平面，，，的面積為10．
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
21．荊城小理論能力很強，計劃高考后參加機動車駕駛證考試。了解到某平駕校學費4000元，包含各
科目第一場考試費用（若第一場考試不合格，補考費需學員自己通過交管12123另繳）?，F通過隨機抽樣調查了解到本校已畢業(yè)的100名學長參加駕駛證考試所花費用，將數據分成4組：
，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖。小汽車駕駛證考試通俗的講分為理論考試：科目一、科目四；實際操作考試：科目二、科目三（路考）。認為自己理論無敵，科一、科四逢考必過，不在此題研究范圍內。只略微擔心實際操作考試，現了解到考試規(guī)則如下：
科目二通過才能進行科目三的考試預約，且科目二每場兩次機會，每次通過概率為，補考費150元每場；科目三補考費200元每場，每場也是兩次機會，每次通過概率為；以上兩科目均可補考4場，即每科最多考試10次。
（根據《機動車駕駛證申領和使用規(guī)定》第三十七條：在駕駛技能準考證明有效期內，科目二和科目三道路駕駛技能考試預約考試的次數不得超過五次。第五次預約考試仍不合格的，已考試合格的其他科目成績作廢。）
（1）試求樣本中費用的平均數和中位數（中位數結果取整數）；
（2）若同一科目第五次預約考試不合格，則需要重新繳納學費4000元。求同學出現重新繳納學費
從頭再來的概率；（，，用含有，的式子表示結果）
（3）求小同學預估自己所花學費和補考費不超過4300元的概率。
22．已知既是橢圓短軸端點，又是雙曲線的頂點，橢圓離心率為，雙曲線離心率為，且、是方程的兩根．過點的動直線與橢圓交于、，與雙曲線交于、．
（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）若直線的斜率為1時，求；
（3）過點作的平行線交直線于點，問：線段的中點是否在定直線上，若在，求出該直線；若不在，請說明理由．
2023年宜荊荊隨恩高二12月聯考
高二數學答案
一、單項選擇題
1-4 CAAA 5-8 CBDD
二、多項選擇題
9．AB 10．BD 11．ABD 12．ABC
三、填空題
13． 14． 15． 16．或
四、解答題
17．（1）法1：由題，：，則直線為過定點且斜率不為0的直線
又因為直線與拋物線恒有兩個交點，所以定點在拋物線開口內部、焦點附近所以，所以；
法2：將直線與拋物線方程聯立，得，又因為直線與拋物線恒有兩個交點，所以對恒成立．
所以，又，所以解得；
（2）由題，當時，：，由過焦點得；，所以拋物線：．將直線與拋物線方程聯立，并令，，得
，，，由拋物線焦點弦公式得
．
18．（1）連接，如下圖所示：因為，分別為，的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面；
（2）連接，，
因為，，
所以全等，且與均為等邊三角形，所以，又因為，所以，
所以，所以，所以是等腰直角三角形，
因為為的中點，所以且，
又因為，，所以是等腰直角三角形，
所以，所以，所以，
又因為，所以平面，
所以點到平面的距離，所以三棱錐的體積為
19．答案：（1）；（2）點的軌跡方程為：．
（1）設所求圓方程為：，
將代入上面方程，得
解得，所以該圓方程為：，
化簡為：
（2）由題圓：，圓心，半徑
圓：，圓心，半徑
又因為圓和圓，圓均外切，令，圓的半徑為，則
，，所以，
所以點在以，為左右焦點，以2為實軸長的雙曲線靠近點的一支上，且，所以，， ，所以點坐標滿足如下關系：
，解得．
所以點的軌跡方程為：．
20．（1）證明：因為直三棱柱，，，
所以平面，所以，所以，
又因為的面積為10，，
所以，即，所以，
又因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以，又直三棱柱，所以．
（2）由（1）知，平面，，由題意知，，則
以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，可得，，，
設平面的法向量為，
則，取，則，，所以，
設平面的一個法向量為，則，
取，則，，所以，則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
21．（1）
由前兩組頻率和為：，
第三組頻率為：，所以中位數在第三組，則
；
（2）由題，分兩種情況考慮：
①科目二預約五場共10次均未通過：；
②科目二通過，科目三預約五場共10次均未通過：；
所以同學出現重新繳納學費從頭再來的概率為：
；
（3）由補考費150元每場，科目三補考費200元每場，故可分類如下：
①無補考費，總費用4000元，概率為：
②補考科目二一次，總費用4150元，概率為：；
③補考科目三一次，總費用4200元，概率為：；
④補考科目二兩次，總費用4300元，概率為：；
故小同學預估自己所花學費和補考費不超過4300元的概率為：．
22．（1）由題、是方程的兩根，，
解得，，又既是橢圓短軸端點，又是雙曲線的頂點，
所以，，由，，解得，，
所以橢圓的標準方程為：，雙曲線的標準方程為：；
（2）當直線的斜率為1時，直線的方程為：，令，，，，將直線的方程與橢圓和雙曲線的方程分別聯立如下，得
，其中，則，
所以；
，其中，則，
所以；
所以；
（3）易知的斜率存在且不為0，設：，，，與橢圓的方程聯立，得，其中，且，
又因為，
，
則，此時：，所以，令線段的中點為，則，則
，將*代入上式，得
，所以，所以線段的中點在定直線上．（此題背景：二次曲線極點極線與調和點列）
8．法一：令，，為坐標原點，則，，即，設：，則，由幾何關系，可取線段靠近點的三等分點點，則上式，即點到直線距離的倍，
由定比分點得，所以（自己算哈）
所以，
所以所求，選D．
法二：由法一知，可令，為參數，，則，所以
，所以選D．
16．法一：取線段中點，則在中，，可得，過點作準線于，則由拋物線幾何性質：以焦點弦為直徑的圓和準線相切，知中，
，所以，所以線段的中垂線的斜率為，
所以:或．
法二：代數法：通過聯立方程求解即可．