（總分：150分，時間：120分鐘 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知純虛數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
3．某公司一種型號的產(chǎn)品近期銷售情況如表：
根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計，該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額約為（ ）
A．18.85萬元 B．19.3萬元 C．19.25萬元 D．19.05萬元
4．如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體最長的棱長為（ ）
A． B． C． D．
5．下列說法正確的是（ ）
A．已知非零向量，，，若，則
B．設x，，則“”是“且”的充分不必要條件
C．用秦九韶算法求這個多項式的值，當時，的值為14
D．若隨機變量，，則
6．已知，，則（ ）
A．B．C．D．
7．公差為的等差數(shù)列的首項為，其前項和為，若直線與圓的兩個交點關于直線對稱，則數(shù)列的前100項和等于（ ）
A．B．C．D．1
8．函數(shù)的大致圖象如圖所示，則a，b，c大小順序為（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，棱長為2的正方體中，點P在線段上運動，以下四個命題：
①三棱錐的體積為定值；②；③若，則三棱錐的外接球半徑為；④的最小值為．其中真命題有（ ）
A．①②③B．①②④C．①②③④D．③④
10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值與下面的哪個數(shù)最接近？（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數(shù)有三個零點，且，則的取值范圍是（ ）
A． B．C．D．
12．已知雙曲線的右焦點為，，直線與拋物線的準線交于點，點為雙曲線上一動點，且點在以為直徑的圓內(nèi)，直線與以為直徑的圓交于點，則的最大值為（ ）
A．80 B．81 C．72 D．71
第Ⅱ卷（共90分）
填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）
13．拋物線的焦點坐標為 ．
14．石室校園，望樓漢闕，紅墻掩映，步移景異！現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“錦水文風”、“魁星閣”、“銀杏大道”4處景點追憶石室讀書時光.若每人只去一處景點，設事件為“4個人去的景點各不相同”，事件為“只有甲去了錦水文風”，則 .
在等腰直角三角形中，，為斜邊的中點，以為圓心，為半徑作，點在線段上，點在上，則的取值范圍是 .
已知函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則的最大值為 ．
三、解答題（本題共6道小題，共70分）
17．（本小題滿分12分）已知向量，，函數(shù).
(1)若，求的值；
(2)，，為的內(nèi)角，，的對邊，，且，求面積的最大值.
18．（本小題滿分12分）下圖甲是由梯形ABCD和正三角形CDE組成的一個平面圖形，其中，，，將沿CD折起使點E到達點P的位置（如圖乙），使二面角為直二面角．
(1)證明：；
(2)若平面PCD與平面PAB的交線為l，求l與平面PAD所成角的正弦值．
19．（本小題滿分12分）石室中學社團為慶祝石室中學2166年校慶，為同學們準備了豐富多彩的游戲節(jié)目.其中某個知識答題游戲節(jié)目，共需要完成且次答題，并以累計的總分作為參考依據(jù)．若甲同學參加該游戲，且每次回答正確的概率為，回答錯誤的概率為，各次答題相互獨立．規(guī)定第一次答題時，回答正確得20分，回答錯誤得10分，第二次答題時，設置了兩種答題方案供選擇，方案一：回答正確得50分，回答錯誤得0分．方案二：若回答正確，則獲得上一次答題分數(shù)的兩倍，回答錯誤得10分．從第三次答題開始執(zhí)行第二次答題所選方案，直到答題結(jié)束．
(1)如果，甲選擇何種方案參加比賽答題更加有利？并說明理由；
(2)若甲選擇方案二，則①記甲第次獲得的分數(shù)為，期望為，求；
②若甲累計總分的期望值超過2166分，即可獲得校園文創(chuàng)產(chǎn)品一份，求至少需要答題的次數(shù).
(參考數(shù)據(jù)：；；；)
20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
(1)若時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若時，求函數(shù)的零點個數(shù)；
(3)若對于任意，恒成立，求的取值范圍．
21．（本小題滿分12分）已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過作不平行于坐標軸的直線交于D，E兩點，若軸于點M，軸于點N，直線DN與EM交于點Q.
①求證：點Q在一條定直線上，并求此定直線；
②求面積的最大值.
選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）
22．（本小題滿分10分）在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且），分別與x軸、y軸交于A、B兩點．以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．
(1)與坐標軸交于A，B兩點，求；
(2)求上的點到直線AB距離的范圍．
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．（本小題滿分10分）已知函數(shù).
(1)當時，求不等式的解集；
(2)若的最小值為，求的最小值.
成成成都石室中學2023-2024年度上期高2024屆一診模擬
理科數(shù)學（A卷）參考答案
1.B 【解析】，，故.故選：B.
2. A 【解析】令，則，故，.故選：A.
3. D 【解析】由表中數(shù)據(jù)可得，，
因為回歸直線過樣本點的中心，所以，解得，
所以回歸直線方程為，
則該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為萬元.
故選：D.
4. B 【解析】由三視圖可知多面體是如圖所示的三棱錐，由圖可知
，，
所以最長的棱長為.
故選：B.
5. C 【解析】對于A選項，若，則，所以，不能推出，故A錯誤；
對于B選項，成立時，必有成立，
反之，取，則成立，但不成立，
因此“” 是“”的必要不充分條件，B錯誤；
對于選項C，因為，
所以可以把多項式寫成如下形式：，
按照從內(nèi)而外的順序，依次計算一次多項式當?shù)闹担?br>，，，，故C正確；
對于選項D，，所以，故D錯誤.
故選：C.
6. D 【解析】因為，，
所以平方得，，，
即，，
兩式相加可得，
即，
故，
.
故選：D.
7. A 【解析】因為直線與圓的兩個交點關于直線對稱，
所以直線經(jīng)過圓心，且直線與直線垂直，
所以，即，且，
則，，
以數(shù)列的前100項和為
．
故選：A.
8. B 【解析】令，則，
由得，
結(jié)合圖象知函數(shù)在上遞增，在遞減，
所以且，所以，
又過點，
所以，即，
所以
故選：B.
9．A 【解析】正方體中，,所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面,平面,
所以平面，即當點P在線段上運動時恒為定值，
又, 也為定值，
所以三棱錐的體積為定值，①正確；
在正方體中，平面，平面,所以，
在正方形中：,
又,平面，所以平面，
又平面，所以，②正確；
因為點P在線段上運動, 若，則點P與點A重合，則三棱錐的外接球即為三棱錐的外接球，故半徑為，③正確；
如圖所示：將三角形沿翻折得到該圖形，連接與相交于點，此時取得最小值，延長，過作于點，
在中，，
故的最小值為，④錯誤.
故選：A.
10. B 【解析】該程序框圖相當于在[0，3]上任取10000對數(shù)對，其中滿足的數(shù)對有對.顯然該問題是幾何概型.
不等式組所表示的區(qū)域面積為9，
所表示的區(qū)域面積為，
故，因此.
故選：B.
11. D 【解析】令，得，整理得.
令，,原方程化為.
設，
則，令，解得，且，
當時，，則單調(diào)遞增，
當時，，則單調(diào)遞減，
則在時，有最大值為，
畫出簡圖，如右圖所示，
因為原方程為.
由題可知有三個零點，因此方程有兩個不等實根.
結(jié)合圖象可得：，
設，則，得到，
因為，所以.
故選：D．
12. A 【解析】由題可知，點在以為直徑的圓上，故，連接、，如圖所示，可得，其中
由圖可知，當點運動到雙曲線右頂點時，即當時， 取最大值為80.
故選：A.
13. 【解析】拋物線的標準方程為，焦點在軸正半軸上，焦點坐標為.
14．【解析】由題意可知，4人去4個不同的景點，總事件數(shù)為，事件的總數(shù)為，
所以，
事件和事件同時發(fā)生，即“只有甲去了錦水文風，另外3人去了另外3個不同的景點”，
則事件的總數(shù)為，
所以，
所以，
故答案為：.
15．【解析】以為圓心，以為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
由于所以，
由于點在，不妨設 ，,
，其中，
,
所以，
可看作是上的點到點的距離，
由于點在線段上運動，
故當點運動到點時，此時距離最大，為,
當點運動到點時，此時距離最小為0，
綜上可知：.
16．【解析】因為，
所以為上的奇函數(shù)．
又，
所以在上單調(diào)遞增．
不等式對任意的恒成立，
即對任意的恒成立，
所以對任意的恒成立，
即對任意的恒成立．
令，所以，
所以當時，，在上為增函數(shù)；
當時，，在上為減函數(shù)．
所以，
設，顯然為上的增函數(shù)，
因為，，所以存在，使得，
所以，此時，
所以，即的最大值為1．
故答案為：1.
17．解：（1），，則；----------------------------------------------------2分
.------------------------------------------------5分
（2），----------------------------------------------------------------------------7分
又，所以，，得，即，------------------------------------8分
因為，且由余弦定理可知，，
所以，
由基本不等式可得，
所以，（當且僅當時取等）----------------------------------------------------------------------------11分
故,
即面積最大值為.-----------------------------------------------------------------------------------------------12分
（注：若求角的函數(shù)值域問題，按步驟對應給分）
18．（1）證明：取AD中點為F，連接AC，CF，由得且.
∴四邊形ABCF為平行四邊形，
∴，
∴，--------------------------------------2分
又因為二面角為直二面角，且平面平面，
∴平面PCD，因為平面PCD，
所以.-------------------------------------5分
（2）解：如圖，延長AB和DC交于點G，連接GP，則GP為平面PCD與平面PAB的交線l，
取CD中點為O，連接OF，OP，
∵OP⊥AC，，
∴OP⊥OF，OF⊥CD，OP⊥CD. ------------------------------------------------------------------------------------------7分
如圖，以O為坐標原點，OF，OD，OP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
，，，，
，，，
設平面PAD的法向量為，
,
令，解得-------------------------------------------------------------------------------------------------9分
設l與平面PAD的所成角為，則，-------------------------------------------11分
因為，
即l與平面PAD所成角的正弦值為．-----------------------------------------------------------------------------12分
19．解：（1）若甲第二次答題選方案一，記兩次答題累計得分為，則的可能取值為70，60，20，10．
-------------------1分
則累計得分的期望．-----------------------------------------------2分
若甲第二次答題選方案二，記兩次答題累計得分為，則的可能取值為60，30，20．
，----------------------------------3分
則累計得分的期望．--------------------------------------------------------4分
因為，所以應選擇方案一．----------------------------------------------------------------------------------5分
（2）①依題意得．--------------------------------------------------------------------------------6分
的可能取值為20，10，其分布列為
所以．
由，得，
所以為等比數(shù)列，其中首項為36，公比為，
所以，---------------------------------------------------------------------------------------------7分
故．------------------------------------------------------------------------------------------------8分
②由①知，，
故累計得分為， ------------------------------------------------9分
設，
當時，
所以當時，單調(diào)遞增，---------------------------------------------------------------------------------------10分
由題可知，至少需答題次數(shù)滿足：，
結(jié)合單調(diào)性與零點存在性定理，得到，故，
所以至少需答題15次.-------------------------------------------------------------------------------------------------------12分
20．解：（1）函數(shù)，因為，所以切點為，------------------1分
由，得，
所以曲線在點處的切線斜率為0，-----------------------------------------------------------------------------2分
所以曲線在點處的切線方程為．-----------------------------------------------------------3分
（2）由（1）可知，
因為，所以，令，則．--------------------------------------------------4分
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增；
又因為，，-------------------------------------------------6分
所以，由零點存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得．故函數(shù)有且僅有兩個零點．---------------------------------------------------------------------------7分
（3）因為，當時，由得---------------------------------------------------9分
下面證明：當時，對于任意，恒成立,
即證，即證；
而當時，，-----------10分
由（2）知，；所以時，恒成立；
綜上所述，．--------------------------------------------------------------------------------------------------12分
21．解：（1）因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為6，
所以,-------------------------------------------------------------------------------1分
故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），
且，所以，-----------------------------------------------------------------------------------------2分
所以的軌跡的方程為.------------------------------------------------4分，
注：未挖點扣1分
（2）①依題意，設直線DE方程為.
聯(lián)立，得，
易知
設，，則，.-----------------------------------------------5分
因為軸，軸，
所以，.
所以直線DN：，
直線EM：，
聯(lián)立解得.----------------------------------7分
從而點Q在定直線上. --------------------------------------------------------------------------------------------------8分
②因為，----------------------------------------------9分
又，則，
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分
設，則，
當且僅當，即時，等號成立，
故面積的最大值為.--------------------------------------------------------------------------------------------12分
22．解：（1）令，則，解得，或（舍），
則，即，--------------------------------------------------------------------------------------2分
令，則，解得，或（舍），
則，即，-------------------------------------------------------------------------------4分
∴.----------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）曲線的極坐標方程為，即，
由，得的普通方程為，-------------------------------------------------------6分
設上點的坐標為，-----------------------------------------------------------------------------------7分
由（1）知直線AB的方程為，
令上的點到直線AB的距離為，
則，---------------------------------------------------------9分
所以上的點到直線AB的距離為.--------------------------------------------------------------10分
23．解：（1）當時，不等式可化為，
∴，或，或，---------------------------------------------------------------------2分
解得或 或，----------------------------------------------------------------------4分
求并集得：，
所以原不等式的解集為．----------------------------------------------------------------------------------------5分
（2）因為，
當且僅當時，即時取到最小值，--------------------------------6分
又因為，所以，所以， ------------------------------------------7分
所以，
因為，---------------------------9分
當且僅當時，即時，
的最小值為.---------------------------------------------------------------------10分月份
2
3
4
5
6
銷售額（萬元）
15.1
16.3
17.0
17.2
18.4
20
10
P

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