1．平移的性質(zhì)： 圖形經(jīng)過平移后，對應(yīng)點所連的線段__________ (或在一條直線上)，對應(yīng)線段__________(或在一條直 線上)，對應(yīng)角________．
2．圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，對應(yīng)點旋轉(zhuǎn)的角度都________，旋轉(zhuǎn)方向都相同，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離________，對應(yīng)線段________，對應(yīng)角________．
3．平移和旋轉(zhuǎn)都不改變圖形的________和________．
【例1】如圖，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，若AB＝8，BC－AD＝ ，求csC的值．
解：如圖①，將AB平移到DE的位置， 則AB∥DE,且AB=DE=8, ∴ AD=BE，且∠B=∠DEC,即BC－AD=BC－BE=EC= ,∵∠B+∠C=90°,∴∠DEC+∠C=90°,∠EDC=90°. ∴CD= , ∴cs C= .
【變式1】如圖，AB＝AD，AD∥BC，AC平分∠BCD，AB⊥AC，求∠B的度數(shù)．
解：如圖②，將AB平移到DE的位置， 則AB∥DE, ∠B=∠DEC, AB=DE. ∵AB⊥AC, ∴DE⊥AC. ∵AC平分∠BCD, ∴∠BCA=∠ACD=∠DAC. ∴AD=DC. ∴∠DEC=∠EDC, ∴EC=DC. ∴EC=DC=DE, 即△DEC為等邊三角形. ∴∠B=∠DEC=60°.
【例2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B ＝50°，將△ABC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到 △A′B′C，若B′恰好落在線段AB上，AC，A′B′交于O 點．求∠COA′的度數(shù)．
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝50°， ∴∠A=∠A′=40°. ∵將△ABC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到△A′B′C， ∴CB=CB′, ∠B＝∠BB′C=50°. ∴∠BCB′=∠ACA′=80°. ∴∠COA′=180°－80°－40°=60°.
【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B 的坐標(biāo)分別是A(3，0)，B(0，4)，把線段AB繞點A 旋轉(zhuǎn)后得到線段AB′，使點B的對應(yīng)點B′落在x軸的 正半軸上，求點B′的坐標(biāo)．
解：∵A(3，0)，B(0，4)， ∴OA=3，OB=4. ∵線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)后得到線段AB′， AB=AB′=5,∴OB′=8, ∴點B′的坐標(biāo)為（8，0）.
【考點3】平移和旋轉(zhuǎn)的畫圖
【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示(每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形)．(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個單位長度，畫出平移后得到的△A1B1C1；(2)將△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2C2，并直接寫出點B2，C2的坐標(biāo)．
解：（1）圖略. （2）圖略， B2(4，－2）， C2(1，－3）．
【變式3】如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，Rt△ABC的三個頂點A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，得到△A1B1C，請 畫出△A1B1C的圖形；(2)平移△ABC，使點A的對應(yīng)點A2坐標(biāo)為(2，－2，－6)，請畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2的圖形．
解： （1）圖略. （2）圖略.
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分 別為A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)．把△ABC繞點A順時針旋 轉(zhuǎn)一定的角度，得圖中的△AB2C2，點C2在AB上．(1)旋轉(zhuǎn)角為多少度？(2)寫出點B2的坐標(biāo)．
解:（1）∵旋轉(zhuǎn)后點C的對應(yīng)點C2在AB上，∴旋轉(zhuǎn)角即∠CAC2＝∠CAB＝90°. （2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠BAB2＝∠CAC2＝90°，∴點C,A,B2在一條直線上，且AB2＝AB. ∵點A(3，2)，點C(1，2)，點B(3，5)， ∴AB2＝AB＝5－2＝3，且點B2的縱坐標(biāo)為2， ∴點B2的坐標(biāo)為(6，2).
2．兩個全等的三角尺重疊放在△ACB的位置，將其中一個三角尺繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點A恰好落在邊DE上，AB與CE相交于點F.已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8 cm，求CF的長．
解：∵將其中一個三角尺繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△DCE的位置，使點A恰好落在邊DE上， ∴DC＝AC，∠D＝∠CAB. ∴∠D＝∠DAC.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，∴∠D＝∠CAB＝60°. ∴∠DCA＝60°.∴∠ACF＝30°.可得∠AFC＝90°， ∵AB＝8 cm，∴AC＝4 cm， ∴FC＝4cs 30°＝ (cm)．
3．△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q.(1)如圖1，當(dāng)點Q在線段AC上，且AP＝AQ時，求證:△BPE≌△CQE；(2)如圖2，當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE∽△CEQ.
證明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC. ∵AP＝AQ，∴BP＝CQ. ∵E是BC的中點，∴BE＝CE.在△BPE和△CQE中， ∵BE＝CE，∠B＝∠C, BP＝CQ, ∴△BPE≌△CQE(SAS). (2)連接PQ. ∵△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形， ∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°. ∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C， ∴∠BEP＝∠EQC. ∴△BPE∽△CEQ.

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