2024廣州高三上學(xué)期12月調(diào)研考試（零模）數(shù)學(xué)（B）含解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號(hào).
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.
4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)滿足，，則（）
A 1B. 2C. D.
2 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（）
A. B. C. D.
4. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）
A. B. C. D.
5. 如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……．記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且為等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）
A. B. C. D.
6. 直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
7. 已知，，，則的值為（）
A B. C. D. 2
8. 若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值點(diǎn)，則a的取值范圍為（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
9. 某市實(shí)行居民階梯電價(jià)收費(fèi)政策后有效促進(jìn)了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h），將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則（）
A. 圖中a的值為0.015
B. 樣本的第25百分位數(shù)約為217
C. 樣本平均數(shù)約為198.4
D. 在被調(diào)查的用戶中，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為108
10. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)，則（）
A. 若的兩條漸近線相互垂直，則
B. 若的離心率為，則的實(shí)軸長為
C 若，則
D. 當(dāng)變化時(shí)，周長的最小值為
11. 已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則（）
A. 是奇函數(shù)
B. ，
C. 若在區(qū)間上有且僅有條對(duì)稱軸，則
D. 若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則或
12. 如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，的中點(diǎn)，Q為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則（）
A. 平面
B. 平面截正方體所得的截面面積為
C. 點(diǎn)Q的軌跡長度為
D. 能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的球的半徑的最大值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，軸，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，則______.
14. 的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.
15. 已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.
16. 已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
18. 如圖，在四棱錐中，，，，三棱錐的體積為.
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）若，平面平面，點(diǎn)在線段上，，求平面與平面夾角余弦值.
19. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知且.
（1）求證：；
（2）求的取值范圍.
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.
21. 杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個(gè)盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個(gè)，只有打開才會(huì)知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個(gè)30元．
（1）甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個(gè)盲盒并打開．當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時(shí)，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；
（2）為了集齊三款吉祥物，甲計(jì)劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個(gè)，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個(gè)盲盒？
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).若以PF為直徑的圓與圓內(nèi)切，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，，，直線AM，AN分別與曲線E交于點(diǎn)S，T（S，T異于A），，垂足為H，求的最小值．
2024屆廣州市高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試
數(shù)學(xué)
本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號(hào).
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.
4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)滿足，，則（）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由條件求得，即可計(jì)算模長.
【詳解】∵，，∴，，
∴.
故選：C.
2. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、指數(shù)函數(shù)的值域求得，進(jìn)而求得.
【詳解】由，解得，所以，
而，所以，
所以.
故選：A
3. 已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)與共線，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量為，計(jì)算即可得解.
【詳解】由向量，，
若與共線，則，所以，
，
所以向量在向量上的投影向量為：
，
故選：C
4. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，從而求得正確答案.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>由于是奇函數(shù)，所以，
所以
.
故選：B
5. 如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……．記各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，且為等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)累加法求得，利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.
【詳解】，，
由于為等差數(shù)列，所以，
所以
，也符合，
所以，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
故選：D
6. 直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得直線恒過的定點(diǎn)，找出弦長取得最值的狀態(tài)，即可求出的取值范圍.
【詳解】由題易知直線恒過，
圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，
即圓心為，半徑，
圓心到距離，
所以在圓內(nèi)，

則直線與圓交點(diǎn)弦最大值為直徑即8，
最小時(shí)即為圓心到直線距離最大，
即時(shí)，此時(shí)，
所以的取值范圍為.
故選：D
7. 已知，，，則的值為（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和與差的余弦、正弦公式求得正確答案.
【詳解】，
，
，分子分母同時(shí)除以得：
①，
由于，所以，所以，
所以，
所以，
即，代入①得：
，解得.
故選：B
8. 若函數(shù)在區(qū)間上存在極小值點(diǎn)，則a的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)的零點(diǎn)、的極值點(diǎn)的情況列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】，，
的開口向上，對(duì)稱軸為，與軸的交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
沒有極值點(diǎn)，所以，
要使在區(qū)間上存在極小值點(diǎn)，則在有兩個(gè)不等的正根，
則需，解得，
所以的取值范圍是.
故選：A
【點(diǎn)睛】求解函數(shù)極值點(diǎn)的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4）用的根將的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，考查這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)區(qū)間；（5）根據(jù)單調(diào)區(qū)間求得的極值點(diǎn).
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
9. 某市實(shí)行居民階梯電價(jià)收費(fèi)政策后有效促進(jìn)了節(jié)能減排．現(xiàn)從某小區(qū)隨機(jī)調(diào)查了200戶家庭十月份的用電量（單位：kW·h），將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出如圖所示的頻率分布直方圖，則（）
A. 圖中a的值為0.015
B. 樣本的第25百分位數(shù)約為217
C. 樣本平均數(shù)約為198.4
D. 在被調(diào)查的用戶中，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為108
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)頻率直方圖，結(jié)合各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的含義，逐項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】對(duì)A，，
所以，故A正確；
對(duì)B設(shè)樣本的第25百分位數(shù)約為，，
則
，
所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，樣本平均數(shù)為：，
故C正確；
對(duì)D，用電量落在內(nèi)的戶數(shù)為：
，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)，則（）
A. 若的兩條漸近線相互垂直，則
B. 若的離心率為，則的實(shí)軸長為
C. 若，則
D. 當(dāng)變化時(shí)，周長的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，，
A選項(xiàng)，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；
B選項(xiàng)，若的離心率為，
解得，所以實(shí)軸長，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，若，則，
整理得，故C正確；
D選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義可知，，
兩式相加得，
所以周長為，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以周長的最小值為，故D正確.
故選：ACD
11. 已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則（）
A. 奇函數(shù)
B. ，
C. 若在區(qū)間上有且僅有條對(duì)稱軸，則
D. 若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則或
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)的對(duì)稱中心求得，根據(jù)奇偶性、對(duì)稱性、單調(diào)性等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】依題意，點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，
所以，且①，B選項(xiàng)正確.
則，
所以
，
由于是奇數(shù)，所以是偶函數(shù)，
A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)，，
將代入得：
，
整理得，
由于在區(qū)間上有且僅有條對(duì)稱軸，
所以，解得，由于，所以，
對(duì)應(yīng)，所以C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，
將代入得：
，
整理得，
則，解得，而，所以或，
時(shí)，，符合單調(diào)性，
時(shí)，，不符合單調(diào)性，所以舍去
所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
12. 如圖，在棱長為2的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，的中點(diǎn)，Q為平面上的動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的夾角為，則（）
A. 平面
B. 平面截正方體所得的截面面積為
C. 點(diǎn)Q的軌跡長度為
D. 能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的球的半徑的最大值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，得到線面垂直；B選項(xiàng)，作出輔助線，找到平面截正方體所得的截面，求出面積；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到點(diǎn)Q的軌跡，并求出軌跡長度；D選項(xiàng)，由對(duì)稱性得到平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體對(duì)稱，由對(duì)稱性可知，球心在上，設(shè)球心為，由得到方程，求出半徑的最大值.
【詳解】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
故.
設(shè)平面的法向量為，
則，
令得，，故，
因?yàn)?，故平面，A正確；
B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)镸，N，P分別是棱，，的中點(diǎn)，
所以，又，
所以，所以平面截正方體所得的截面為正六邊形，
其中邊長為，故面積為，B正確；

C選項(xiàng)，Q為平面上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線的夾角為，
又平面，設(shè)垂足為，以為圓心，為半徑作圓，
即為點(diǎn)Q的軌跡，
其中，由對(duì)稱性可知，，
故半徑，
故點(diǎn)Q的軌跡長度為，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，因?yàn)镸，N，P分別是棱，，的中點(diǎn)，
所以平面分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體對(duì)稱，
不妨求能放入含有頂點(diǎn)的空間幾何體的球的半徑最大值，
該球與平面切與點(diǎn)，與平面，平面，平面相切，
由對(duì)稱性可知，球心在上，設(shè)球心為，則半徑為，
，故，即，解得，
故球的半徑的最大值為，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】立體幾何中截面的處理思路：
（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；
（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；
（3）作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；
（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，軸，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)所給條件，可得，再令得，帶入面積公式，計(jì)算即可得解.
【詳解】由，令得，
所以，
所以，.
故答案為：
14. 的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式有關(guān)知識(shí)求得正確答案.
【詳解】由于，
所以的展開式中含的項(xiàng)為，
所以的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
15. 已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】求出三角形外接圓圓心，過作平面，且，則為三棱錐的外接球球心，求出半徑即可求得球的表面積.
【詳解】
如圖根據(jù)題意，平面，
所以即與平面所成角，則，
又因?yàn)?，?br>所以，則,
又，即三角形為直角三角形，
取中點(diǎn)，則為三角形外接圓圓心，
取中點(diǎn)，則，且，
所以，即為三棱錐的外接球球心，
其半徑，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故答案為：
16. 已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則______.
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而建立等量關(guān)系求解可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
令，則，令，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
即當(dāng)時(shí)函數(shù)有最小值，
若，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)在R上為增函數(shù)，與題意不符；
若，即時(shí)，此時(shí)函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
設(shè)交點(diǎn)為，且，即，
所以當(dāng)或時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
依題意，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即或，
所以或，
化簡得或，所以，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題的一般方法：
設(shè)
方法一：轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過求解單調(diào)性構(gòu)造不等式求解；
方法二：轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)求得.
（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.
【小問1詳解】
依題意，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，也符合.
所以.
【小問2詳解】
由（1）得，所以
.
18. 如圖，在四棱錐中，，，，三棱錐的體積為.
（1）求點(diǎn)到平面的距離；
（2）若，平面平面，點(diǎn)在線段上，，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等體積法求得點(diǎn)到平面的距離；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面夾角的余弦值.
【小問1詳解】
設(shè)點(diǎn)到平面距離為，
則，
由題可知，
所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
【小問2詳解】
取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?br>又平面平面且交線為，平面，，
所以平面，由（1）知.
由題意可得，
所以，所以.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過點(diǎn)作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
依題意，
所以.
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
19. 記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知且.
（1）求證：；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可把題設(shè)中的邊角關(guān)系化簡為，結(jié)合誘導(dǎo)公式及可證.
（2）根據(jù)及，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式將化為，先求出角A的范圍，然后利用余弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，
由正弦定理得，，由余弦定理得，
所以，又，所以.
又，，所以或，
所以或，
又，所以，所以，得證.
【小問2詳解】
由（1）知，所以，
又，所以
，
因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，
所以，
所以的取值范圍為.
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用，求出切線的斜率，然后求解所以曲線在處的切線方程．
（2）由，令，則，故在上為減函數(shù)，討論和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以?br>，由切點(diǎn)為，
，所以，
所以曲線在處的切線方程為，
即．
小問2詳解】
由，令
則，
故在上為減函數(shù)．
又，
①當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，
所以恒成立，故符合題意；
②當(dāng)時(shí)，由于，
由且當(dāng)時(shí)，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必存在，使得，
由于在上為減函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，，時(shí)，
故在上為增函數(shù)，
在上為減函數(shù)
所以當(dāng)時(shí)，，故在上不恒成立，
所以不符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查恒成立問題，是難題．本題的關(guān)鍵有：
（1）二次求導(dǎo)，利用二次求導(dǎo)得出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性；
（2）分類討論，找到討論點(diǎn)是關(guān)鍵，本題討論點(diǎn)為和.
21. 杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個(gè)盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個(gè)，只有打開才會(huì)知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個(gè)30元．
（1）甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個(gè)盲盒并打開．當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時(shí)，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；
（2）為了集齊三款吉祥物，甲計(jì)劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個(gè)，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個(gè)盲盒？
【答案】（1）分布列詳見解析
（2）買個(gè)
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式、排列組合數(shù)的計(jì)算公式求得的分布列.
（2）根據(jù)甲一次性購買的吉祥物盲盒的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，通過計(jì)算各種情況下的總費(fèi)用來求得正確答案.
【小問1詳解】
由題意可知所有可能取值為，
,
所以的分布列如下：
【小問2詳解】
設(shè)甲一次性購買個(gè)吉祥物盲盒，集齊三款吉祥物需要的總費(fèi)用為.
依題意，可取.
方案1：不購買盲盒時(shí)，則需要直接購買三款吉祥物，總費(fèi)用元.
方案2：購買個(gè)盲盒時(shí)，則需要直接購買另外兩款吉祥物，
總費(fèi)用元.
方案3：購買個(gè)盲盒時(shí)，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式不同，則只需直接購買剩下一款吉祥物，
總費(fèi)用，，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式相同，則需要直接購買另外款吉祥物，
總費(fèi)用，
所以元.
方案4：購買個(gè)盲盒時(shí)，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式各不相同，則總費(fèi)用，，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后恰有款相同，則需要直接購買剩下一款吉祥物，
則總費(fèi)用，
當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式全部相同，則需要直接購買另外兩款吉祥物，
總費(fèi)用，
所以元.
對(duì)比個(gè)方案可知，第個(gè)方案總費(fèi)用的期望值最小，
故應(yīng)該一次性購買個(gè)吉祥物盲盒.
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn).若以PF為直徑的圓與圓內(nèi)切，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（1）求E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，，，直線AM，AN分別與曲線E交于點(diǎn)S，T（S，T異于A），，垂足為H，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出，根據(jù)以PF為直徑的圓與圓內(nèi)切列出方程，化簡即可得到P的軌跡為曲線E的方程.
（2）先證直線恒過定點(diǎn)，然后求出點(diǎn)H軌跡，進(jìn)而求出的最小值.
【小問1詳解】
設(shè)，則的中點(diǎn)，
根據(jù)題意得，即，
整理得，
化簡得點(diǎn)的軌跡方程
【小問2詳解】
設(shè)，先證直線恒過定點(diǎn)，理由如下：
由對(duì)稱性可知直線的斜率不為0，所以可設(shè)直線，
聯(lián)立直線與，,
則，①
，②
所以，令，得點(diǎn)橫坐標(biāo)，
同理可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，
故，
將代入上式整理得：
，
將②代入得，
若，則直線，恒過不合題意；
若，則，恒過，
因?yàn)橹本€恒過，且與始終有兩個(gè)交點(diǎn)，
又，，垂足為H，
所以點(diǎn)H軌跡是以為直徑的半圓（不含點(diǎn)，在直線下方部分），
設(shè)中點(diǎn)為C，則圓心，半徑為1，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)H在線段上時(shí)，
所以的最小值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)圓錐曲線中直線間幾何關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用；

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