第9.2 講 利用單擺測量重力加速度實驗
【知識點精講】
1．單擺
(1)用細線懸掛一小球，上端固定，如果懸掛小球的細線的形變和質量可以忽略，線長又比球的直徑大得多，這樣的裝置叫單擺。單擺是實際擺的理想化模型。
(2)回復力為球重力沿切線方向的分力，單擺做簡諧運動的條件是最大擺角小于5°。
(3)周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，是荷蘭物理學家惠更斯發(fā)現(xiàn)的；單擺的等時性是指周期與振幅無關。
2．受迫振動與共振
(1)受迫振動：振動系統(tǒng)在周期性驅動力作用下的振動。
(2)受迫振動的特點：受迫振動穩(wěn)定時，系統(tǒng)的振動頻率等于驅動力的頻率，跟振動系統(tǒng)的固有頻率無關。
(3)共振：做受迫振動的物體，它的固有頻率與驅動力的頻率越接近，其振幅就越大，當二者相等時，振幅達到最大，這就是共振現(xiàn)象。
(4)共振曲線
由圖可知，當f驅＝f固時振幅最大。
3. 自由振動、受迫振動和共振的關系比較
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【方法歸納】
一 單擺周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))
1．對周期公式的理解
(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時成立。
(2)公式中l(wèi)是擺長，即懸點到擺球球心的距離l＝l線＋r球。
(3)公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
(4)周期T只與l和g有關，與擺球質量m與振幅無關。所以單擺的周期也叫固有周期。
2．周期公式應用
(1)只要測出單擺擺長l和周期T，就可以根據(jù)g＝eq \f(4π2l,T2)求當?shù)刂亓铀俣萭。
(2)可以制作計時儀器。
3．類單擺
如圖所示，小球在光滑的圓弧上做類單擺運動(θ≤5°)，其周期公式T＝2πeq \r(\f(R,g))。
二 受迫振動與共振的理解
1．阻尼振動和受迫振動
(1)阻尼振動是振動系統(tǒng)在阻力的作用下，振幅逐漸減小的振動。
說明：阻尼振動中振幅雖然逐漸減小，但振動的頻率不會變化，此頻率稱為固有頻率，由振動系統(tǒng)決定。
(2)受迫振動是指系統(tǒng)在驅動力作用下的振動。做受迫振動的物體的振動頻率等于驅動力的頻率，與物體的固有頻率無關。
2．對共振的理解
(1)共振曲線：如圖所示，橫坐標為驅動力頻率f，縱坐標為振幅A。它直觀地反映了驅動力頻率對某固有頻率為f0的振動系統(tǒng)受迫振動振幅的影響，由圖可知，f與f0越接近，振幅A越大，當f＝f0時，振幅A最大。
(2)受迫振動中系統(tǒng)能量的轉化：做受迫振動的系統(tǒng)的機械能不守恒，系統(tǒng)與外界時刻進行能量交換。
【最新高考題精練】
1．（2022新高考海南卷）在同一地方，甲乙兩個單擺做振幅不同的簡諧運動，其振動圖像如圖，由此可知甲乙兩個單擺的擺長之比為
A. 2?3 B. 3?2 C. 4?9 D. 9??4?4
【參考答案】C
【名師解析】由甲乙振動圖像可知兩單擺的周期之比T甲?T乙=0.8?1.2=2?3..。根據(jù)單擺周期公式T=2π，可知L甲?L乙= T甲2?T乙2=4?9，選項C正確。
2. （2021年1月浙江選考）為了提高松樹上松果的采摘率和工作效率，工程技術人員利用松果的慣性發(fā)明了用打擊桿、振動器使松果落下的兩種裝置，如圖甲、乙所示。則
A.針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率可能不同
B.隨著振動器頻率的增加，樹干振動的幅度一定增大
C.打擊桿對不同粗細樹干打擊結束后，樹干的振動頻率相同
D.穩(wěn)定后，不同粗細樹干的振動頻率始終與振動器的振動頻率相同
【參考答案】AD
【名師解析】由于不同樹木的果實的振動固有頻率不同，所以針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率可能不同，選項A正確；根據(jù)共振的相關知識，可知隨著振動器頻率的增加，樹干振動的幅度可能減小，不一定增大，選項B錯誤；打擊桿對不同粗細樹干打擊結束后，樹干的振動頻率不一定相同，選項C錯誤；根據(jù)受迫振動的物體穩(wěn)定后其振動頻率等于驅動力的頻率，所以穩(wěn)定后，不同粗細樹干的振動頻率始終與振動器的振動頻率相同，選項D正確。
3. (2017·上海單科·10)做簡諧運動的單擺，其擺長不變，若擺球的質量增加為原來的eq \f(9,4)倍，擺球經(jīng)過平衡位置的速度減為原來的eq \f(2,3)，則單擺振動的( )
A.周期不變，振幅不變 B.周期不變，振幅變小
C.周期改變，振幅不變 D.周期改變，振幅變大
【參考答案】 B
【名師解析】 由單擺的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，當擺長l不變時，周期不變，故C、D錯誤；由能量守恒定律可知eq \f(1,2)mv2＝mgh，其擺動的高度與質量無關，因擺球經(jīng)過平衡位置的速度減小，則最大高度減小，故振幅減小，選項B正確，A錯誤.
4．(多選)如圖所示，兩單擺的擺長相同，平衡時兩擺球剛好接觸，現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在平面內向左拉開一小角度后釋放，碰撞后，兩擺球分開各自做簡諧運動，以mA、mB分別表示擺球A、B的質量，則( )
A．如果mA＞mB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置右側
B．如果mA＜mB，下一次碰撞將發(fā)生在平衡位置左側
C．無論兩球質量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側
D．無論兩球質量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側
【參考答案】CD
【名師解析】 單擺做簡諧運動的周期T＝2πeq \r(\f(l,g))與擺球的質量無關，因此兩單擺周期相同。碰后經(jīng)過eq \f(1,2)T都將回到最低點再次發(fā)生碰撞，下一次碰撞一定發(fā)生在平衡位置，不可能在平衡位置左側或右側，故C、D正確。解答本題的關鍵在于正確理解單擺的等時性。
【最新模擬題精練】
1． （2023石家莊三模）如圖甲所示，O點為單擺的固定懸點，在其正下方的P點有一個釘子，現(xiàn)將小球拉開一定的角度后開始運動，小球在擺動過程中的偏角不超過。從某時刻開始計時，繩中的拉力大小F隨時間t變化的關系如圖乙所示，重力加速度g取，忽略一切阻力。下列說法正確的是（ ）
A. 時小球位于B點B. 時小球位于C點
C. OA之間的距離為1.5mD. OP之間的距離為1.2m
【參考答案】D
【名師解析】
由圖像可知，內應該對應著擺球在CB之間的擺動；內應該對應著擺球在BA之間的擺動，因時擺線拉力最小，可知小球位于C點，時小球位于A點，選項AB錯誤；
擺球在AB之間擺動的周期為T1=0.8πs
根據(jù)單擺周期公式
可得L1=1.6m
即OA之間的距離為1.6m，選項C錯誤；
擺球在BC之間擺動的周期為T2=0.4πs
根據(jù)
可得L2=0.4m
即PB之間的距離為0.4m，OP之間的距離為1.2m，選項D正確。
2. . (2023浙江杭州九校期中聯(lián)考) 如圖所示，以O點為平衡位置，單擺在A、B兩點間做簡諧運動，已知擺球從A點第一次運動到B點歷時0.5s，則下列說法中正確的是（ ）
A. 擺球從A點經(jīng)O點運動到B點即完成一次全振動
B. 單擺的擺長約為1m
C. 從A點向O點運動的過程中，擺球受到的拉力不斷增大，回復力也不斷增大
D. 將單擺從地面移至山頂，擺動周期將增大
【參考答案】：D
【名師解析】．擺球從A點經(jīng)O點運動到B點，然后從B點再經(jīng)過O點返回A點，擺球完成一次全振動，故A錯誤；單擺周期為
解得，B錯誤；
從A點向O點運動的過程中，擺球受到的拉力不斷增大，回復力不斷減小，故C錯誤；
將單擺從地面移至山頂，由于重力加速度減小，由單擺周期公式可知，擺動周期將增大，故D正確。
。
3. （2023吉林通化梅河口五中二模）利用如圖所示的裝置進行單擺實驗。將小球拉離平衡位置釋放，擺角小于。借助傳感器可知最大拉力為，最小拉力為，這兩個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的時間間隔為t。當?shù)刂亓铀俣葹間。下列說法正確的是（ ）
A. 單擺的振動周期為
B. 單擺擺長為
C. 用所給數(shù)據(jù)可以表示出最大擺角的余弦值
D. 傳感器的示數(shù)增大時，小球的勢能在變大
【參考答案】C
【名師解析】
由題意可得，單擺的振動周期為，A錯誤；
由周期公式
可得，單擺的擺長為，B錯誤；
C．擺球重力沿切線方向分力提供回復力，擺球在最低點時，由牛頓第二定律
從最高點到最低點的過程中，由機械能守恒定律得
在最高點時，擺線的拉力為
聯(lián)立解得，最大擺角的余弦值為，C正確；
傳感器的示數(shù)增大時，由牛頓第二定律及向心力公式得小球的速度在變大，則小球的勢能在變小，D錯誤。
4. 如圖甲所示，細線下端懸掛一個除去了柱塞的注射器，注射器內裝上墨汁。將擺線拉開一較小幅度，當注射器擺動時，沿著垂直于擺動的方向以速度v勻速拖動木板，得到噴在木板上的墨汁圖樣如圖乙所示，若測得木板長度為L，墨汁圖樣與木板邊緣交點P、Q恰好是振動最大位置處，已知重力加速度為g，則該單擺的等效擺長為（ ）
A.B.C.D.
【參考答案】 B
【名師解析】由圖乙可知，該單擺恰好擺動2.5個周期，故滿足 ，單擺周期公式為 T=2聯(lián)立解得該單擺的等效擺長為 L=，B正確。
5. 一物體在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的九分之一，在地球表面走時準確的擺鐘，搬到此行星表面后，秒針走一圈所經(jīng)歷的時間是（ ）
A.180sB.540sC.20s
【正確答案】 A
【名師解析】物體在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的九分之一，所以該星球表面的重力加速度為地球表面重力加速度的九分之一，即g’=g/9；根據(jù)單擺的周期公式，T=2，單擺在該星球的周期是單擺在地球表面周期的3倍，所以在地球表面走時準確的擺鐘，搬到此行星表面后，秒針走一圈所經(jīng)歷的時間是3×60s=180s，A正確。
6.（2023湖南懷化高二期末）如圖所示，在一個水平放置的槽中，小球m自A點以沿AD方向的初速度v開始運動，已知圓弧AB＝0.9m，AB圓弧的半徑R＝10m，AD＝10m，A、B、C、D在同一水平面內不計摩擦，重力加速度g取，欲使小球恰能通過C點，則其初速度的大小可能是（ ）
A. B. C. D.
【參考答案】AC
【名師解析】
小球m自A點以向AD方向的初速度v開始運動，把小球的運動進行分解，一個是水平方向的勻速運動，一個是在豎直面上的單擺，根據(jù)單擺周期公式有
小球m自A點運動到C點，在豎直面上運動的時間為
由于分運動的等時性，所以初速度為
當n=0時，則
當n=1時，則，故選AC。
7. （2023浙江寧波部分名校聯(lián)考）3. 下列情境中屬于共振現(xiàn)象的是（ ）
A．小紅利用脫水機甩干洗完衣服上的水滴時，發(fā)現(xiàn)隨著脫水機結束工作轉速緩慢減小時，機器的擺動反而變得劇烈了起來
B．小王和小張兄弟倆在蕩秋千時，小王發(fā)現(xiàn)小張蕩的比他高，馬上通過調整姿勢將秋干蕩得比小張更高
C．101大廈在臺風來臨之際，其內部的重錘開始隨著高樓一起擺動，且擺動方向與高樓振動方向始終相反
D．如圖是揚聲器的結構示意圖，當人在說話時，帶動膜片振動，最后通過揚聲器的振動將聲音以較高音量發(fā)出
【參考答案】A
【名師解析】小紅利用脫水機甩干洗完衣服上的水滴時，發(fā)現(xiàn)隨著脫水機結束工作轉速緩慢減小時，機器的擺動反而變得劇烈了起來，這是因為脫水機轉速逐漸減小到等于脫水機的固有頻率時，發(fā)生共振，振幅增大，A正確；小王和小張兄弟倆在蕩秋千時，小王發(fā)現(xiàn)小張蕩的比他高，馬上通過調整姿勢將秋干蕩得比小張更高，是小王通過彎腿，伸腿，做功的結果，不是共振，B錯誤；101大廈在臺風來臨之際，其內部的重錘開始隨著高樓一起擺動，屬于受迫振動，C錯誤；人在說話時，帶動膜片振動，最后通過揚聲器的振動將聲音以較高音量發(fā)出，是通過放大電路，不是共振，D錯誤。
8. （2023浙江蕭山名校聯(lián)考）共振篩由偏心輪、篩子、彈簧等組成，偏心輪轉動過程給篩子一個驅動力，如圖甲所示。該共振篩的共振曲線如圖乙所示。已知增大電壓，可使偏心輪轉速提高，增加篩子質量，可增大篩子的固有周期，已知12V電壓下偏心輪的轉速為30r/min，則下列說法中正確的是（ ）
A. 電壓為12V時，篩子實際振動的頻率是0.8Hz
B. 電壓從12V開始減小，篩子有可能會共振
C. 保持12V電壓不變，減小篩子的質量，篩子有可能會共振
D. 若只改變電壓，篩子的固有周期不變，仍為1.25s
【參考答案】D
【名師解析】
電壓為12V時，篩子實際振動的頻率是，故A錯誤；
由乙圖知，當頻率為0.8Hz時，發(fā)生共振，即篩子的固有頻率為f0=0.8Hz
根據(jù)題意，電壓從12V開始減小，偏心輪轉速降低，頻率減小，篩子不可能會共振，故B錯誤；
保持12V電壓不變，偏心輪頻率不變，減小篩子的質量，篩子固有周期減小，固有頻率增大，篩子不可能會共振，故C錯誤；
根據(jù)題意，篩子的固有周期與電壓無關，篩子的固有周期，故D正確。
9. （2023浙江臺州部分重點高中聯(lián)考）如圖甲所示，在一條張緊的繩子上掛著四個擺。當a擺振動的時候，其余各擺在a擺的驅動下也逐步振動起來，不計空氣阻力，達到穩(wěn)定時，b擺的振動圖像如圖乙。下列說法正確的是（ ）
A. 穩(wěn)定時b擺的振幅最大
B. 穩(wěn)定時d擺的周期最小
C. 由圖乙可以得到b擺的固有周期
D. 由圖乙可以得到a擺的固有周期
【參考答案】：D
【名師解析】：A．a擺擺動起來后，通過水平繩子對b、c、d三個擺施加周期性的驅動力，使b、c、d三個擺做受迫振動，由于a擺提供的驅動力的周期和c擺的固有周期相同，所以c擺發(fā)生了共振，c擺的振幅是最大的，故A錯誤；b、c、d三擺做受迫振動的頻率等于驅動力的頻率，都等于a擺的頻率，則三擺的周期相同，都等于a擺的周期，即，故B錯誤，D正確；
由于b擺做受迫振動，所以其固有頻率未知，即固有周期未知，故C錯誤；故選D。
10 （2023江蘇泰州期末）如圖所示，《我愛發(fā)明》節(jié)目《松果紛紛落》中的松果采摘機利用機械臂抱緊樹干，通過采摘振動頭振動而搖動樹干，使得松果脫落．則下列說法正確的是( )
A. 隨著振動器頻率的增加，樹干振動的幅度一定增大
B. 穩(wěn)定后，不同粗細樹干的振動頻率與振動器的振動頻率相同
C. 若拾果工人快速遠離采摘機時，他聽到采摘機振動聲調變高
D. 針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率一定相同
【參考答案】B
【名師解析】根據(jù)共振原理，當振動器頻率等于樹干的固有頻率時，樹干振動的幅度最大，所以隨著振動器頻率的增加，樹干振動的幅度不一定增大，選項A錯誤；在振動器作用下，樹干做受迫振動，穩(wěn)定后，不同粗細樹干的振動頻率與振動器的振動頻率相同，選項B正確；若拾果工人快速遠離采摘機時，根據(jù)多普勒效應，他聽到采摘機振動聲調變低，選項C錯誤；針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率應該是發(fā)生共振，即針對不同樹木，落果效果最好的振動頻率不一定相同，選項D錯誤。
11. （2023山東德州高二期中）近些年，科學家們逐步對極地進行開發(fā)和探索，由于極地大面積被冰雪覆蓋，開發(fā)和探索的進度受到影響，人們?yōu)榱思涌爝M度發(fā)明了共振破冰船，如圖所示。破冰船利用專用傳感器感應冰面的振動反饋，自動調節(jié)錘頭振動頻率。當冰層與錘頭發(fā)生共振時，可以大幅提高破冰效率。結合所學知識，下列說法正確的是（ ）
A. 錘頭振動頻率越高，冰層的振動幅度越大，破冰效果越好
B. 破冰效果最好時，錘頭的振動頻率等于冰層的固有頻率
C. 破冰船停止工作后，冰層余振的振幅越來越小，頻率也越來越小
D. 對于不同冰層，破冰效果最好時，錘頭的振動頻率相同
【參考答案】B
【名師解析】當冰層與錘頭發(fā)生共振時，錘頭的振動頻率等于冰層的固有頻率，可以大幅提高破冰效率，選項B正確。
12．（2023湖南名校質檢）一個單擺在地球表面做受迫振動，其共振曲線（振幅A與驅動力頻率f的關系）如圖所示，重力加速度g＝10 m/s2，則（ ）
A．此單擺的固有周期約為0.5 s
B．此單擺的擺長約為1 m
C．若擺球質量增大，單擺的固有頻率增大
D．若擺長增大，共振曲線的峰將向右移動
【參考答案】．B
【名師解析】由題圖共振曲線知此單擺的固有頻率為0.5 Hz，固有周期為2 s，故A錯誤；由，得此單擺的擺長約為1 m，故B正確；單擺的固有周期與擺球質量無關，擺長增大固有頻率減小，則共振曲線的峰將向左移動，故C、D錯誤。
13（2022廣東韶關高二期末）飛力士棒是一種物理康復器材，其整體結構是一根彈性桿兩端帶有負重（圖甲），某型號的飛力士棒固有頻率為4.5Hz，某人用手振動該飛力士棒進行康復訓練（圖乙），則下列說法正確的是（ ）
A. 使用者用力越大，飛力士棒的振幅越大
B. 手振動的頻率越大，飛力士棒的振幅越大
C. 手振動的頻率越大，飛力士棒的振動頻率越大
D. 當手每分鐘振動270次時，飛力士棒振動最弱
【參考答案】C
【名師解析】手振動的頻率等于飛力士棒的固有頻率時，發(fā)生共振現(xiàn)象，飛力士棒的振幅最大；選項AB錯誤；用手振動該飛力士棒，飛力士棒做受迫振動，飛力士棒的振動頻率等于手振動頻率，所以手振動的頻率越大，飛力士棒的振動頻率越大，選項C正確；當手每分鐘振動270次時，振動頻率f=270/60=4.5Hz，恰好等于飛力士棒固有頻率，發(fā)生共振現(xiàn)象，飛力士棒振動最強，選項D錯誤。
14. （2023江蘇鹽城期中）某學習小組用單擺測重力加速度。實驗時改變擺長，測出幾組擺長l和對應周期T的數(shù)據(jù)，處理實驗數(shù)據(jù)有以下方法：甲用其中一組數(shù)據(jù)，根據(jù)算出結果；乙根據(jù)算出幾組結果再取其平均值；丙用作出的l—T2圖像斜率算出結果。實驗后發(fā)現(xiàn)擺球質量分布不均勻，為了消除這一影響，可行的方法是（ ）
A. 丙B. 乙C. 甲D. 乙和丙
【參考答案】A
【名師解析】
擺球質量分布不均勻，會導致擺長測量有誤差，根據(jù)單擺周期公式
解得
則斜率
由此可見，無論單擺擺長偏大還是偏小不影響圖像的斜率k，因此不影響重力加速度的測量值。而甲乙兩種方法都不能消除擺長帶來的影響。故可行的方法是丙。
。
15. （2022福建龍巖三模）單擺在不同高度處做簡諧運動的周期是不同的。擺長為L的單擺，在海平面處做簡諧運動的周期為；在海拔高度為的高山山頂做簡諧運動的周期為；在運行軌道高度為的空間站做簡諧運動的周期為。地球可視為半徑為R、質量為M的均勻球體，萬有引力常量為G。則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【參考答案】BC
【名師解析】
設海平面處的重力加速度為，根據(jù)重力等于萬有引力
解得
在海平面處做簡諧運動的周期為，B正確，A錯誤；
C．設海拔高度為的高山山頂?shù)闹亓铀俣葹椋鶕?jù)重力等于萬有引力
解得
在海平面處做簡諧運動的周期為，C正確；
D．單擺在運行軌道高度為的空間站中處于完全失重狀態(tài)，單擺能夠擺動為空間站旋轉產生的等效重力的效果，因此不能用單擺周期公式去計算在運行軌道高度為的空間站做簡諧運動的周期，D錯誤；故選BC。振動
項目
自由振動
受迫振動
共振
受力情況
僅受回復力
受驅動力作用
受驅動力作用
振動周期或頻率
由系統(tǒng)本身性質決定，即固有周期T0或固有
由驅動力的周期或頻率決定，即T＝T驅或
T驅＝T0
或f驅＝f0
頻率f0
f＝f驅
振動能量
振動物體的機械能不變
由產生驅動力的物體提供
振動物體獲得的能量最大
常見例子
彈簧振子或單擺(θ≤5°)
機械工作時底座發(fā)生的振動
共振篩、聲音的共鳴等

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