第Ⅰ卷 選擇題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把直線方程化為斜截式后可得斜率．
【詳解】直線方程的斜截式為：，斜率為．
故選：D．
2. 已知圓的圓心為，且過(guò)點(diǎn)，則圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)圓的方程為，將點(diǎn)代入求得，即可得出答案.
【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為，
因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，
所以圓的方程為.
故選：D.
3. 從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取兩數(shù)，則所取兩數(shù)均為偶數(shù)的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別求出基本事件的總數(shù)以及所取兩數(shù)均為偶數(shù)包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由古典概率公式即可求解.
【詳解】從中抽取兩個(gè)數(shù)基本事件有：
共種，
所取的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的有，共種，
所以所取兩數(shù)均為偶數(shù)的概率為，
故選：A.
4. 已知直線與平行，則實(shí)數(shù)a的值為
A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行，列方程，求的a的值.
【詳解】已知兩直線平行，可得a?a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證可得：a=2時(shí)兩條直線重合，舍去．
∴a=-1．
故選D
【點(diǎn)睛】對(duì)于直線
若直線
5. 若動(dòng)點(diǎn)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，從而求出軌跡方程.
【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是以與為焦點(diǎn)的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.
故選：A
6. 已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱 ，則直線的方程是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之和，可得兩圓外離，把兩個(gè)圓的方程相減可得對(duì)稱軸的方程.
【詳解】∵兩圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，且兩圓的圓心距為，
∴兩圓外離，將兩個(gè)圓方程相減可得，即.
故直線的方程為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查兩圓關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)，把兩個(gè)圓的方程相減可得此直線的方程，屬于基礎(chǔ)題.
7. 若過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出端點(diǎn)，代入橢圓，兩式作差，變形，即可得到直線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線即可．
【詳解】設(shè)弦兩端點(diǎn)為，則
①-②得 即直線為
化簡(jiǎn)得
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓中弦的中點(diǎn)求弦所在的直線，解決本類題的思路是點(diǎn)差法：設(shè)點(diǎn)-作差-變形，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出所在直線的的斜率，即可寫出直線，屬于基礎(chǔ)題．
8. 已知圓,直線,若直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. B. [,]
C. D. ）
【答案】D
【解析】
【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P的軌跡方程為，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，據(jù)此求解關(guān)于k的不等式即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【詳解】圓C（2,0），半徑r＝，設(shè)P（x，y），
因?yàn)閮汕芯€，如下圖，PA⊥PB，由切線性質(zhì)定理，知：
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四邊形PACB為正方形，所以，｜PC｜＝2，
則：，即點(diǎn)P的軌跡是以（2,0）為圓心，2為半徑的圓.
直線過(guò)定點(diǎn)（0，－2），直線方程即，
只要直線與P點(diǎn)的軌跡（圓）有交點(diǎn)即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，
即：，解得：，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是）.
本題選擇D選項(xiàng).
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程的求解與應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 如圖，平面內(nèi)的小方格均為邊長(zhǎng)是1的正方形，A，B，C，D，E，F(xiàn)均為正方形的頂點(diǎn)，P為平面外一點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】在平面內(nèi)選取兩個(gè)互相垂直的單位向量且，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，，再次利用空間向量的線性運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】在平面內(nèi)選取兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，
則，，，
則，.
所以，
.
，
.
故選：ABD.
10. 已知橢圓M：（）的左?右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓M與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，且從，，A，B，C，D這六點(diǎn)中，可以找到三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則下列選項(xiàng)中可以是橢圓M的離心率的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)所有可能的等邊三角形分類討論，得的關(guān)系，從而求得離心率.
【詳解】不妨設(shè)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，為短軸端點(diǎn)，已知關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，相應(yīng)的三角形只取其中一個(gè)即可；
首先可能是等邊三角形，因?yàn)椋?，此時(shí)不可能是等邊三角形，不合題意；
若為等邊三角形，則，所以選項(xiàng)B有可能;
若為等邊三角形，則,所以選項(xiàng)A有可能;
若為等邊三角形，則；
綜上可知，可以是橢圓M的離心率的有選項(xiàng)A和B.
故選：AB.
11. 人民日?qǐng)?bào)智慧媒體研究院在2020智慧媒體高峰論壇上發(fā)布重磅智能產(chǎn)品—人民日?qǐng)?bào)創(chuàng)作大腦，在AI算法的驅(qū)動(dòng)下，無(wú)論是圖文編輯?視頻編輯，還是素材制作，所有的優(yōu)質(zhì)內(nèi)容創(chuàng)作都變得更加容易.已知某數(shù)據(jù)庫(kù)有視頻a個(gè)?圖片b張，從中隨機(jī)選出一個(gè)視頻和一張圖片，記“視頻甲和圖片乙入選”為事件A，“視頻甲入選”為事件B，“圖片乙入選”為事件C，則下列判斷中正確的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由相互獨(dú)立事件的概率的乘法計(jì)算公式，可得A錯(cuò)誤，B正確；
事件包含“視頻甲未入選，圖片乙入選”、“視頻甲入選，圖片乙未入選”、“視頻甲?圖片乙都未入選”三種情況，所以，則，所以C正確；
由題可知，，，
因?yàn)閍，，，所以，即，故D錯(cuò)誤.
故選:BC.
12. 若實(shí)數(shù)滿足曲線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 的最小值為
C. 直線與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)
D. 曲線C上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1
【答案】ABC
【解析】
【分析】畫出曲線的圖象，結(jié)合圖象對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】曲線，則，
，
所以曲線表示圓心是，半徑為的圓的上半部分.
由圖可知，A正確
表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
由圖可知，最小值為，B正確.
直線過(guò)定點(diǎn)，，
當(dāng)直線與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，由圖可知，的取值范圍是，C正確.
設(shè)直線與直線的距離為，
或.
畫出直線和的圖象，結(jié)合圖象可知D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC
第Ⅱ卷 非選擇題
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓列不等式，解不等式求得的取值范圍.
【詳解】由于方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：
14. 在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值為________.
【答案】
【解析】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用得余弦，進(jìn)而得正弦.
【詳解】
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，
則，
，
所以與所成角的正弦值為.
故答案為：.
15. 已知點(diǎn)和點(diǎn)，P是直線上的一點(diǎn)，則的最小值是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】由題意可得兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值為
【詳解】如圖，可得兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，
則，
所以的最小值為，
因?yàn)?，直線為，所以，
所以，
所以的最小值是3
故答案為：3
16. 已知圓，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為弦的中點(diǎn).直線上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 恒為銳角，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，在以為圓心，以2為半徑的圓上， 把在圓上運(yùn)動(dòng)恒為銳角轉(zhuǎn)化為以為圓心，以2為半徑的圓與以為圓心，以1為半徑的圓外離求解.
【詳解】圓的半徑為為弦的中點(diǎn)，
，的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
設(shè)中點(diǎn)為，
，且當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒為銳角，
則以為圓心以2為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓外離，
則，即，解得或，
線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為，
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題. 轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問(wèn)題得到了解決，還可以使解決問(wèn)題的難度大大降低，本題將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知直線，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩條直線垂直的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．
（2）利用兩直線平行的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得，由此求得得m 的值．
【詳解】（1）∵直線l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．
（2）由題意可知m不等于0,
由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行、垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．
18. 為了紀(jì)念2017年在德國(guó)波恩舉行的聯(lián)合國(guó)氣候大會(huì)，某社區(qū)舉辦《“環(huán)保我參與”有獎(jiǎng)問(wèn)答比賽》活動(dòng)．某場(chǎng)比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識(shí)的問(wèn)題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是．若各家庭回答是否正確互不影響．
（1）求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；
（2）求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，根據(jù)獨(dú)立事件概率的求法計(jì)算即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)獨(dú)立事件概率的求法分別求出有0個(gè)、1個(gè)家庭回答正確的概率，利用間接法即可求出不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．
【小問(wèn)1詳解】
記“甲家庭回答正確這道題”“乙家庭回答正確這道題”“丙家庭回答正確這道題”分別為事件A，B，C，
則，，，
即，，
所以，．
所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率為和.
【小問(wèn)2詳解】
有0個(gè)家庭回答正確的概率
，
有1個(gè)家庭回答正確的概率
，
所以不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．
19. 如圖，三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)面為菱形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，連接，，，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得平面；再證明，得到平面，推出，，從而可得線面垂直；
（2）先由（1）可得，，，兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，分別以，為軸和軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和的法向量，由向量夾角公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，連接，，，如圖所示．
由為的中點(diǎn)可得，又平面平面，平面平面，故平面．
又為的中點(diǎn)．所以且．
又且，所以且，
因此四邊形為平行四邊形，所以且，所以平面，
故，又四邊形為菱形，所以，
又，平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）可知，，兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S正方向，分別以，為軸和軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則即可取，
由（1）可知，為平面的一個(gè)法向量，
所以．
所以二面角的余弦值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
求空間角的常用方法：
（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；
（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.
20. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在第二象限，半徑為的圓C與直線相切于原點(diǎn)O．
（1）求圓C的方程．
（2）試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到定點(diǎn)的距離等于線段OF的長(zhǎng)?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）存在點(diǎn)，使Q到定點(diǎn)的距離等于線段OF的長(zhǎng).
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)圓和直線相切于原點(diǎn)及圓的半徑，列出滿足的條件，可求值；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)為根據(jù)點(diǎn)在圓上和到點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng)，列方程組求解.
【20題詳解】
設(shè)圓的圓心為，則圓的方程為：.
∵直線與圓相切于原點(diǎn)，∴點(diǎn)在圓上，且垂直于直線，
于是有，解得：或.
由于在第二象限，故，，故.
∴圓的方程為：.
【21題詳解】
存在，這是因?yàn)椋?br>設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，則：，
解得：或（舍去），
∴圓存在點(diǎn)，使到定點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng).
21. 已知橢圓（）的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得點(diǎn)在線段的中垂線上？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的基本量的關(guān)系求解即可；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，，可得韋達(dá)定理，從而得到的中點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)垂直直線的斜率之積為-1列式求解即可
【小問(wèn)1詳解】
依題意有解得，.
∴橢圓C的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
假設(shè)在線段的中垂線上，
聯(lián)立消去y得.
設(shè)，，則，.
∴.
∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
∴，
∴，即，解得.
∴存在時(shí)，點(diǎn)在線段的中垂線上.
22. 已知圓O：x2＋y2＝16，點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)T（2，0），過(guò)點(diǎn)T作與x軸不重合的直線l交曲線C于E、F兩點(diǎn)．
（i）過(guò)點(diǎn)T作與直線l垂直的直線m交曲線C于G、H兩點(diǎn)，求四邊形EGFH面積的最大值；
（ii）設(shè)曲線C與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，直線PE與直線QF相交于點(diǎn)N，試討論點(diǎn)N是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由．
【答案】（1）；
（2）（i）7；
（ii）存在，.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在圓上，得到，再根據(jù)為中點(diǎn)，得到，然后代入，整理即可得到曲線的方程；
（2）（i）設(shè)直線方程，得到弦長(zhǎng)和，然后將面積表示出來(lái)，最后分和兩種情況討論面積的最大值；
（ii）聯(lián)立直線和曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，然后通過(guò)聯(lián)立直線和直線的方程得到的坐標(biāo)，再結(jié)合即可得到點(diǎn)在定直線上.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)，，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以①，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，整理得，代入①式中得，整理得，
所以曲線的方程為.
小問(wèn)2詳解】
（i）因?yàn)橹本€不與軸重合，所以設(shè)直線的方程為，即，則直線為，設(shè)曲線的圓心到直線和直線的距離分別為，，
則，，所以，，
所以，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
綜上所述，四邊形面積的最大值為7.
（ii）設(shè)，，
聯(lián)立，得，
則，，，
因?yàn)榍€與軸交于，兩點(diǎn)，所以，，
則直線的方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立兩直線方程得，
所以在定直線上.
【點(diǎn)睛】（1）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法：
①定義法：根據(jù)已知的曲線的定義判斷；
②直接法：當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡(jiǎn)單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡(jiǎn)、限制說(shuō)明”的步驟求軌跡方程即可；
③代入法：有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，其中點(diǎn)的軌跡方程已知，同時(shí)兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)存在關(guān)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，然后建立兩坐標(biāo)的關(guān)系式，代入的軌跡方程中即可；

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