（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.）
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名?準考證號分別填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.
一?選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A.2 B. C.3 D.
2.已知，且，則的最小值為（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.已知集合，若，且，則集合可以為（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函數(shù)，則（ ）
A.2 B.-2 C.-4 D.4
5.已知，向量在向量方向上的投影向量為，且與向量共線且方向相反，則（ ）
A. B.
C. D.
6.若分別為的三個內(nèi)角，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
7.若正四棱柱與以正方形的外接圓為底面的圓柱的體積相同，則正四棱柱與該圓柱的側(cè)面積之比為（ ）
A. B. C. D.
8.已知數(shù)列的前項和為，若，且都有0，則（ ）
A.是等比數(shù)列 B.
C. D.
二?多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.是遞增數(shù)列 B.
C. D.
10.關(guān)于函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說法正確的是（ ）
A.是函數(shù)的一條對稱軸
B.是函數(shù)的一個對稱中心
C.將曲線向左平移個單位可得到曲線
D.函數(shù)在的值域為
11.已知直線與圓相交于不同的兩點為坐標原點，則（ ）
A.直線過定點
B.
C.當(dāng)時，
D.當(dāng)時，最小值為-25
12.在正四棱柱中分別為棱的中點，記為過三點所作該正四棱柱的截面，則下列判斷正確的是（ ）
A.異面直線與直線所成角的余弦值為
B.與平面的交線與平行
C.截面為五邊形
D.點到截面的距離為
三?填空題：本題4個小題，每小題5分，共20分.
13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，__________.
14.在平行四邊形中，__________.
15.已知球的體積為，其內(nèi)接三棱錐的底面為直角三角形，且，則三棱錐的體積的最大值為__________.
16.已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且定義域均為，若函數(shù)與都是偶函數(shù)，寫出函數(shù)的一個對稱中心為__________；
__________.
四?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分10分）
已知等差數(shù)列公差與等比數(shù)列公比相同，.
（1）求和的通項公式；
（2）記數(shù)列是將數(shù)列和中的項從小到大依次排列而成的新數(shù)列，求數(shù)列前60項的和.
18.（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）若過點可以作曲線的3條切線，求實數(shù)的取值范圍.
19.（本小題滿分12分）
在四棱錐中，，且，.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
20.（本小題滿分12分）
已知圓.
（1）證明：圓C過定點；
（2）當(dāng)時，點P為直線上的動點，過P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積最小值，并寫出此時直線AB的方程.
21.（本小題滿分12分）
某校高中“數(shù)學(xué)建?！睂嵺`小組欲測量某景區(qū)位于“觀光湖”內(nèi)兩處景點，之間的距離，如圖，處為碼頭入口，處為碼頭，為通往碼頭的棧道，且，在B處測得，在處測得（均處于間一測量的水平面內(nèi)）
（1）求兩處景點之間的距離；
（2）棧道所在直線與兩處景點的連線是否垂直？請說明理由.
22.（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
（2）證明：.
參考答案與解析
1.【答案】B
【解析】依題意，令，則，所以，所以，即，所以，故選B.
2.【答案】A
【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選A.
3.【答案】D
【解析】因為，所以，所以集合，對于選項，不等式的解為，所以選項不合題意；對于選項，不等式等價于，解得，所以選項不合題意；對于選項，，所以選項不合題意；對于選項，，符合題意，故選D.
4.【答案】C
【解析】依題意，，
故選C
5.【答案】A
【解析】依題意，所以①，又與向量共線，，所以②，由①②聯(lián)立，
解得或，又與向量方向相反，
所以舍去，所以，故選A
6.【答案】C
【解析】依題意可知，在中，由正弦定理可知，若，則，于是，且，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，又，則，所以滿足充分性；且以上過程可逆，因此也滿足必要性，故選C.
7.【答案】B
【解析】依題意，設(shè)正四棱柱的底面邊長為，高為，圓柱的高為，則圓柱的底面半徑為，則有，整理得，正四棱柱與圓柱的側(cè)面積之比，故選B.
8.【答案】D
【解析】依題意，因為，
即，
又，所以，又，
所以數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故選D.
9.【答案】AC
【解析】依題意，，所以，，所以，
所以，所以數(shù)列的公差大于0，且，所以選項正確，B選項不正確；所以最小，即，所以C選項正確；
，所以選項不正確，故選AC.
10.【答案】ABD
【解析】依題意，因為
令，當(dāng)時，，
所以是函數(shù)的一條對稱軸，所以選項正確（另解：因為，即當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，所以是函數(shù)的一條對稱軸）；
令，當(dāng)，所以
是函數(shù)的一個對稱中心，所以選項正確（另解：因為，即是函數(shù)的零點，所以是函數(shù)的一個對稱中心）.
對于選項，
因為
又將曲線向左平移個單位可得到曲線，所以選項不正確；
因為，
當(dāng)，則，所以函數(shù)的值域為，所以
選項正確，故選
11.【答案】CD
【解析】由直線，可化為，即直線過定點
，所以選項不正確；
因為直線與圓有總有兩個公共點，可得點在圓內(nèi)部，
所以，解得，所以不正確；
當(dāng)時，圓的方程為，可得圓心，又
則，可得長的最小值為，最大值即為直徑6，所以選項正確；
當(dāng)時，圓的方程為，
則
當(dāng)直線過圓心，此時，可得的最小值-1，
所以的最小值為-25
故選CD.
12.【答案】ACD
【解析】
如圖，對于選項，異面直線與直線所成的角，即為直線與直線所成角，連接，則即為直線與直線所成的角，在中，，，則，所以，所以選項正確；
延長交延長線于，連接交于，
延長交延長線于，連接交于，
則五邊形即為平面截該四棱柱得到的截面.即截面為五邊形，所以選項正確；
與平面的交線即為，則，又，所以與不平行，所以選項不正確；
對于D選項，由于，所以，
又，所以，
為等腰三角形，
，
所以的面積為
設(shè)點到截面的距離為，則，
即，解得，即點到截面的距離為，
所以D選項正確，故選ACD.
13.【答案】
【解析】當(dāng)，又因為為上的奇函數(shù)，
所以，解得，
又，所以當(dāng).
14.【答案】
【解析】依題意，可知，則，
整理得，
所以
15.【答案】
【解析】設(shè)的中點為，四面體的外接球的球心為，
因為，所以為外接圓的圓心，
即點為四面體的外接球過三點的截面圓的圓心，
圓的半徑為，則，
因為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，
即當(dāng)且僅當(dāng)為等腰直角三角形時，的面積最大，
連接并延長交球面于一點，若使得四面體的體積最大，則該交點應(yīng)為點，即為四面體的高，設(shè)，
則有，
則，
令，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以三棱錐的體積的最大值為.
故答案為.
16.【答案】；
【解析】依題意，因為為偶函數(shù)，所以，即，
令，則，所以關(guān)于點對稱，所以函數(shù)的一個對稱中心為，
因為均為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，
又因為，
所以，所以，
，
所以，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
，即
，所以
，所以，
所以
所以也是周期為4的周期函數(shù)，
17.【解析】
（1）設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比為，
因為，即，解得，
所以.
（2）數(shù)列中的項從小到大依次為，
而
依題意可知新數(shù)列的前60項中，數(shù)列的項只有前6項，數(shù)列有54項，
所以
.
18.【解析】
（1）函數(shù)的定義域為，
，
令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
（2）由題意可得，
設(shè)切點坐標為，則切線斜率，
所以切線方程為，
將代入得.
因為存在三條切線，即方程有三個不等實數(shù)根，
則方程有三個不等實數(shù)根等價于函數(shù)的圖像有三個交點，
設(shè)，則，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
在和上，單調(diào)遞減，，
當(dāng)或時，，
畫出的圖象如圖，
要使函數(shù)的圖像有三個交點，需，
即，即實數(shù)的取值范圍，
19.【解析】
（1）連接，因為，
由余弦定理可得，所以
，
在中，，
則，所以，
又
所以底面，
依題意可知為等腰梯形，，可得，取中點，連接，
則，所以四邊形為平行四邊形，
又，所以，又
所以平面，
所以平面，又平面，
所以面平面.
（2）解法1：
如圖，建立空間直角坐標系，
，
，
設(shè)平面法向量為，
則，
取，得
同理，設(shè)面法向量為，則
，
取，得，
由題意，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
解法2：由（1）可知，平面平面平面平面，
過作，則平面垂足為平面，則，
過作的垂線，垂足為，連，
由于平面，
所以平面平面，故，
則為所求二面角夾角的平面角.
，所以，
，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
20.【解析】
（1）依題意，將圓的方程化為
令，即，則恒成立，
解得，即圓過定點
（2）當(dāng)時，圓，
直線
設(shè)，依題意四邊形的面積，
當(dāng)取得最小值時，四邊形的面積最小，
又，即當(dāng)最小時，四邊形的面積最小，
圓心到直線的距離即為的最小值，
即
，即四邊形面積最小值為，
此時直線與直線垂直，
所以直線的方程為，與直線聯(lián)立，
解得，以為直徑的圓的方程為
即，又圓，
兩式作差可得直線方程
21.【解析】
（1）由題意可知，在中，
所以，所以為等腰三角形，所以，
在中，，
，由正弦定理：，即，解得
在中，，
由余弦定理：
所以兩處景點之間的距離為
（2）在中，由余弦定理，
在中，因為，
由正弦定理：，
即，解得
所以棧道所在直線與兩處景點的連線不垂直.
注：第（2）問其他解法，可參考以上標準酌情給分.
22.【解析】
（1）當(dāng)時，
所以
令在恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，且
，
所以當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值；.
（2）當(dāng)時，
所以.
令在恒成立
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在存在唯一零點，
即，
且當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增
所以函數(shù)在處取得極小值
要證不等式成立，
即證成立，
即
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以
注：第（2）問其他解法，可參考以上標準酌情給分.

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