1．（7分）計(jì)算：＝ ．
2．（7分）用長(zhǎng)短相同的火柴棍擺成3×1996的方格（每一小方格的邊長(zhǎng)為一根火柴棍，如圖）．一共需用 根火柴棍．
3．（7分）如果圖1使常見(jiàn)的一副七巧板的圖；圖2是用這副七巧板的七塊板拼成的小房子圖．那么，第2快板的面積等于整幅圖的面積的 ；第4塊板的面積與第7塊板的面積的和等于整幅圖的面積的 ．
4．（7分）李師傅某天生產(chǎn)了一批零件，他把它們分成了甲、乙兩堆．如果從甲堆零件中拿15個(gè)放到乙堆中，則兩堆零件的個(gè)數(shù)相等；如果從乙堆零件中拿15個(gè)放到甲堆中，則甲堆零件的個(gè)數(shù)是乙堆的3倍，那么，甲堆原來(lái)有零件 個(gè)，李師傅這一天共生產(chǎn)了零件 個(gè)．
5．（7分）如圖，把A，B，C，D，E這五部分用四種不同的顏色著色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色．那么，這幅圖一共有 種不同的著色方法．
6．（7分）為挖通300米長(zhǎng)的隧道，甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)分別從隧道兩端同時(shí)施工．第一天甲、乙各掘進(jìn)了10米，從第二天起，甲隊(duì)每天的工作效率總是前一天的2倍，乙隊(duì)每天的工作效率總是前一天的1.5倍．那么挖通這條隧道需要 天．
7．（7分）已知一串有規(guī)律的數(shù)：1，，，，…．那么，在這串?dāng)?shù)中，從左往右數(shù)，第10個(gè)數(shù)是 ．
8．（7分）比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的，其中黑色皮子為正五邊形，白色皮子為正六邊形，并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長(zhǎng)相等．縫制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起；每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其他白色皮子的邊縫在一起．如果一個(gè)足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子，那么，這個(gè)足球應(yīng)有正六邊形皮子 塊．
9．（7分）光明小學(xué)六年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班組織了一次文藝晚會(huì)，共演出14個(gè)節(jié)目．如果每個(gè)班至少演出3個(gè)節(jié)目，那么，這三個(gè)班演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有 種．
10．（9分）已知四邊形ABCD是直角梯形，上底AD＝8厘米，下底BC＝10厘米，直角腰CD＝6厘米，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的點(diǎn)，BF＝ BC，G為DC上的點(diǎn)，三角形DEG的面積與三角形CFG的面積相等．那么，三角形ABG的面積是 平方厘米．
11．（9分）用70元錢(qián)買(mǎi)了甲、乙、丙、丁四種書(shū)，共10冊(cè)．已知甲，乙，丙，丁四種書(shū)每本價(jià)格分別為3元，5元，7元，11元，而且每種書(shū)至少買(mǎi)了一本．那么共有 種不同的購(gòu)買(mǎi)方法．
12．（9分）數(shù)1，2，3，4，…按箭頭所指方向順序排列（如圖），依次在2，3，5，7，10，…等數(shù)的位置處拐彎．
（1）如果2算作第一次拐彎，那么，第45次拐彎處的數(shù)是 ．
（2）從1978到2010的自然數(shù)中，恰在拐彎處的數(shù)是 ．
13．（9分）小于8且分母為24的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)共有 個(gè)；這些最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的和是 ．
二、解答題（請(qǐng)寫(xiě)出簡(jiǎn)要的解題過(guò)程。第一題滿分21分，第二題滿分21分。共21分）
14．（10分）用一批紙裝訂一種練習(xí)本．如果已裝訂120本，剩下的紙是這些紙的40%；如果裝訂了185本，則還剩下1350張紙．這批紙一共有多少?gòu)垼?br>15．（11分）如圖，圓周上順次排列著1、2、3、…、12這十二個(gè)數(shù)，我們規(guī)定：相鄰的四個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4順序顛倒為a4、a3、a2、a1，稱(chēng)為一次“變換”（如：1、2、3、4變?yōu)?、3、2、1，又如：11、12、1、2變?yōu)?、1、12、11）．能否經(jīng)過(guò)有限次“變換”，將十二個(gè)數(shù)的順序變?yōu)?、1、2、3、…8、10、11、12（如圖）？請(qǐng)說(shuō)明理由．
1995年北京市第十二屆“迎春杯”小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試卷
參考答案與試題解析
一、填空題（共13小題，滿分99分）
1．（7分）計(jì)算：＝ 90 ．
【解答】解：
＝，
＝，
＝7.2×，
＝72×，
＝90；
故答案為：90．
2．（7分）用長(zhǎng)短相同的火柴棍擺成3×1996的方格（每一小方格的邊長(zhǎng)為一根火柴棍，如圖）．一共需用 13975 根火柴棍．
【解答】解：4行一共的根數(shù)：1996×4＝7984（根）；
1997列一共的根數(shù)：3×1997＝5991（根）；
一共需用的根數(shù)：7984+5991＝13975（根）．
故答案為：13975．
3．（7分）如果圖1使常見(jiàn)的一副七巧板的圖；圖2是用這副七巧板的七塊板拼成的小房子圖．那么，第2快板的面積等于整幅圖的面積的 ；第4塊板的面積與第7塊板的面積的和等于整幅圖的面積的 ．
【解答】解：（1）×＝；
（2）×+×＝；
答：第2快板的面積等于整副圖的面積的；第4塊板的面積與第7塊板的面積的和等于整副圖的面積的 ；
故答案為：，
4．（7分）李師傅某天生產(chǎn)了一批零件，他把它們分成了甲、乙兩堆．如果從甲堆零件中拿15個(gè)放到乙堆中，則兩堆零件的個(gè)數(shù)相等；如果從乙堆零件中拿15個(gè)放到甲堆中，則甲堆零件的個(gè)數(shù)是乙堆的3倍，那么，甲堆原來(lái)有零件 75 個(gè)，李師傅這一天共生產(chǎn)了零件 120 個(gè)．
【解答】解：后來(lái)乙堆零件的個(gè)數(shù)：
（15×2+30）÷（3﹣1）
＝60÷2
＝30（個(gè)）
后來(lái)甲堆零件的個(gè)數(shù)：
30×3＝90（個(gè)）
原來(lái)甲堆零件的個(gè)數(shù)：
90﹣15＝75（個(gè)）
李師傅這一天共生產(chǎn)的零件的個(gè)數(shù)：
30+90＝120（個(gè)）
答：甲堆原來(lái)有零件75個(gè)，李師傅這一天共生產(chǎn)了零件120個(gè)．
故答案為：75、120．
5．（7分）如圖，把A，B，C，D，E這五部分用四種不同的顏色著色，且相鄰的部分不能使用同一種顏色，不相鄰的部分可以使用同一種顏色．那么，這幅圖一共有 96 種不同的著色方法．
【解答】解：（1）用三種顏色，有4×6×1＝24種；
（2）如果用4種顏色，有兩種涂法：
①D仍與A同色，有4×6×2＝48種；
②D與A不同色，有4×6×1＝24種．
綜上所述，共有涂法24+48+24＝96種．
故答案為：96．
6．（7分）為挖通300米長(zhǎng)的隧道，甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)分別從隧道兩端同時(shí)施工．第一天甲、乙各掘進(jìn)了10米，從第二天起，甲隊(duì)每天的工作效率總是前一天的2倍，乙隊(duì)每天的工作效率總是前一天的1.5倍．那么挖通這條隧道需要 天．
【解答】解：甲隊(duì)：10米，10×2＝20（米），20×2＝40（米），40×2＝80（米），80×2＝160（米）
乙隊(duì)：10米，10×1.5＝15（米），15×1.5＝22.5（米），22.5×1.5＝33.75（米），33.75×1.5＝50.625（米）
應(yīng)該用了4天多．4天共完成（10+20+30+40）+（10+15+22.5+33.75）＝231.25（米）
還剩下300﹣231.25＝68.75（米）
需要的時(shí)間是68.75÷（160+50.625）＝（天）或≈0.326（天）
4+＝（天）或≈4.326（天）
答：兩隊(duì)挖通這條隧道需要天．
7．（7分）已知一串有規(guī)律的數(shù)：1，，，，…．那么，在這串?dāng)?shù)中，從左往右數(shù)，第10個(gè)數(shù)是 ．
【解答】解：有原題得出規(guī)律從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，分子是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母的和，分母是本身的分子與前一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的和．
所以后面的分?jǐn)?shù)依次為：第10個(gè)數(shù)為．
第10個(gè)數(shù)為．
故答案為．
8．（7分）比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的，其中黑色皮子為正五邊形，白色皮子為正六邊形，并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長(zhǎng)相等．縫制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起；每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其他白色皮子的邊縫在一起．如果一個(gè)足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子，那么，這個(gè)足球應(yīng)有正六邊形皮子 20 塊．
【解答】解：設(shè)這個(gè)足球有x塊正六邊形，一共有6x條邊，其中白皮三條邊和黑皮相連，根據(jù)題意可得方程
3x＝12×5
x＝20
答：這個(gè)足球應(yīng)有正六邊形皮子20塊．
故答案為：20．
9．（7分）光明小學(xué)六年級(jí)甲、乙、丙三個(gè)班組織了一次文藝晚會(huì)，共演出14個(gè)節(jié)目．如果每個(gè)班至少演出3個(gè)節(jié)目，那么，這三個(gè)班演出節(jié)目數(shù)的不同情況共有 21 種．
【解答】解：共有不同的排列方法
3×3+6×2＝21（種）．
每種排列方法對(duì)應(yīng)三個(gè)班演出節(jié)目數(shù)的一種情況，故一共有21種不同情況．
故答案為：21．
10．（9分）已知四邊形ABCD是直角梯形，上底AD＝8厘米，下底BC＝10厘米，直角腰CD＝6厘米，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上的點(diǎn)，BF＝ BC，G為DC上的點(diǎn)，三角形DEG的面積與三角形CFG的面積相等．那么，三角形ABG的面積是 26.7 平方厘米．
【解答】解：設(shè)DG為h，則CG＝6﹣h，
因：三角形DEG的面積與三角形CFG的面積相等；
即：4×h÷2＝×10×（6﹣h）÷2；
求得：h＝厘米，6﹣h＝厘米；
三角形AGD的面積＝8×÷2≈10.9平方厘米；
三角形BCG的面積＝10×÷2≈16.4平方厘米；
三角形ABG的面積＝（10+8）×6÷2﹣10.9﹣16.4，
＝26.7平方厘米；
故此題應(yīng)填26.7．
11．（9分）用70元錢(qián)買(mǎi)了甲、乙、丙、丁四種書(shū)，共10冊(cè)．已知甲，乙，丙，丁四種書(shū)每本價(jià)格分別為3元，5元，7元，11元，而且每種書(shū)至少買(mǎi)了一本．那么共有 4 種不同的購(gòu)買(mǎi)方法．
【解答】解：3+5+7+11＝26（元），
70﹣26＝44（元），
10﹣4＝6（本），
所以，44元要去買(mǎi)6本書(shū)，
（1）買(mǎi)1本價(jià)格11元、4本價(jià)格7元的、1本5元的，
11×1+7×4+5×1＝44（元），
（2）買(mǎi)2本價(jià)格11元、1本價(jià)格7元的、3本5元的，
11×2+7×1+5×3＝44（元），
（3）買(mǎi)2本價(jià)格11元、2本價(jià)格7元的、1本5元的、1本3元的，
11×2+7×2+5×1+3×1＝44（元），
（4）買(mǎi)3本價(jià)格11元、2本價(jià)格3元的、1本5元的，
11×3+3×2+5×1＝44（元），
共有4種，
故答案為：4．
12．（9分）數(shù)1，2，3，4，…按箭頭所指方向順序排列（如圖），依次在2，3，5，7，10，…等數(shù)的位置處拐彎．
（1）如果2算作第一次拐彎，那么，第45次拐彎處的數(shù)是 530 ．
（2）從1978到2010的自然數(shù)中，恰在拐彎處的數(shù)是 1981 ．
【解答】觀察拐彎處的數(shù)的規(guī)律，可以得到 n個(gè)拐彎處的數(shù)，
當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)為：1+（1+3+5+…+n）＝（ ）2+1；
當(dāng)n 為偶數(shù)時(shí)為：1+2×（1+2+3+…+）＝（1+）×+1．
（1）第45次拐彎處的數(shù)是（）2+1＝530．
（2）試算n＝89時(shí)，拐彎處的數(shù)是（）2+1＝2026；
n＝88時(shí)，拐彎處的數(shù)是（1+）×+1＝1981；
n＝87時(shí)，拐彎處的數(shù)是（）2+1＝1937；
所以1978～2010中，恰在拐彎處的數(shù)是1981．
故答案為：（1）530，（2）1981．
13．（9分）小于8且分母為24的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)共有 64 個(gè)；這些最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的和是 256 ．
【解答】解：24＝23×3
8×24＝192 所有小于192且不能被2、3整除的數(shù)為分子則滿足題意
也即所有6N+1＜192和6N+5＜192（N為自然數(shù)）N的個(gè)數(shù)總和．
6N+1＜192解得N＜32，也就是小于32的自然數(shù)都符合，即32個(gè)．
同理可得6N+5＜192解得N＜32，N的個(gè)數(shù)也是32個(gè)．
故：32+32＝64（個(gè)）
由上面的兩個(gè)不等式可知，小于8且分母為24的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子是兩個(gè)等差數(shù)列組成的，即一個(gè)是1，7，13…，另一個(gè)是5，11，17…，它們的公差都是6，而且個(gè)數(shù)都是32個(gè)．
由等差公式求和公式可得：32×1+[32×（32﹣1）×6]÷2＝3008
32×5+[32×（32﹣1）×6]÷2＝3136
分子和就是：3008+3136＝6144
這些最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的和是：6144÷24＝256
故填：64，256．
二、解答題（請(qǐng)寫(xiě)出簡(jiǎn)要的解題過(guò)程。第一題滿分21分，第二題滿分21分。共21分）
14．（10分）用一批紙裝訂一種練習(xí)本．如果已裝訂120本，剩下的紙是這些紙的40%；如果裝訂了185本，則還剩下1350張紙．這批紙一共有多少?gòu)垼?br>【解答】解：120÷﹙1﹣40%﹚＝200（本），
1350÷﹙200﹣185﹚＝90（張），
90×200＝18000張；
答：這批紙共有18000張．
15．（11分）如圖，圓周上順次排列著1、2、3、…、12這十二個(gè)數(shù)，我們規(guī)定：相鄰的四個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4順序顛倒為a4、a3、a2、a1，稱(chēng)為一次“變換”（如：1、2、3、4變?yōu)?、3、2、1，又如：11、12、1、2變?yōu)?、1、12、11）．能否經(jīng)過(guò)有限次“變換”，將十二個(gè)數(shù)的順序變?yōu)?、1、2、3、…8、10、11、12（如圖）？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解答】解：能，如上圖所示，經(jīng)過(guò)兩次變換，10、11、12三個(gè)數(shù)被順時(shí)針移動(dòng)了兩個(gè)位置．仿此，再經(jīng)過(guò)3次這樣的兩次變換，10、11、12三個(gè)數(shù)又被順時(shí)針移動(dòng)了六個(gè)位置，變?yōu)橄聢D，圖中十二個(gè)數(shù)的順序符合題意．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2019/5/5 18:10:36；用戶(hù)：小學(xué)奧數(shù)；郵箱：pfpxxx02@xyh.cm；學(xué)號(hào)：20913800

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