1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則的值為（ ）
A．B．C．D．
3．下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是（ ）
A．B．C．D．
4．在矩形中，，以點A為圓心，4為半徑作，點C與的位置關(guān)系是（ ）
A．點C在內(nèi)B．點C在上C．點C在外D．無法確定
5．如果兩個相似三角形對應(yīng)邊的比是3∶4，那么它們的對應(yīng)周長的比是（ ）
A．3∶4B．C．9∶16D．3∶7
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心，半徑為5的圓內(nèi)有一點P(0，－3)，那么經(jīng)過點P的所有弦中，最短的弦的長為( )
A．4B．5C．8D．10
7．如圖，內(nèi)接于，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
8．已知是的外接圓，那么點O一定是的（ ）
A．三個頂角的角平分線交點B．三邊高的交點
C．三邊中線交點D．三邊的垂直平分線的交點
9．如圖，矩形的邊長，，E為的中點，F(xiàn)在線段上，且，分別與、交于點M、N，則＝（ ）
A．B．C．D．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，點，，若在直線上存在點P滿足，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題．（本大題共8小題10空，每題3分，共24分.其中第18題第一空1分，第二空2分.不
11．在比例尺為的地圖上，一條長為6cm的線段實際長為 m．
12．若x＝1是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則這個一元二次方程可以是 ．
13．據(jù)有關(guān)測定，當(dāng)氣溫處于人體正常體溫()的黃金比值時，人體感到最舒適，則這個氣溫約為 (結(jié)果保留整數(shù))．
14．如圖，已知一組平行線abc，被直線m、n所截，交點分別為A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝8，則DE＝ ．
15．關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，若其中一根為，則 ．
16．如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點為A、B，AC是直徑，若∠P＝50°，則∠ACB＝ °．
17．如圖，P為的內(nèi)心，經(jīng)過點P的線段分別與相交于點D、點E．若，，則點P到的距離為 ．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于、兩點，為上一點，且，則所在直線的函數(shù)關(guān)系式為 ；點是線段上一點，連接交于點，當(dāng)過、、三點的圓與軸相切時，點的坐標(biāo)為 ．
三、解答題．（本大題共10小題，共96分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字證明、證明過程或演算步驟.）
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．如圖，在中，，D為上一點，且．
(1)求證：；
(2)當(dāng)，且的面積為10時，求的面積．
21．關(guān)于x的方程．
(1)求證：一元二次方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)設(shè)、是方程的兩根，且．求m的值．
22．如圖，為的直徑，為上一點，，．
(1)求證：為的切線；
(2)當(dāng)，時，求的長．
23．如圖，格點圖形中每一個最小正方形的邊長為1單位長度，的頂點都在格點上．

(1)在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，使得原點為點O，點A、B坐標(biāo)分別為；
(2)以點O為位似中心，畫出的位似三角形，使得與相似比為；
(3)在邊上求作點M，使得．
24．如圖，在等腰中，．
(1)請用圓規(guī)和直尺在圖1中作出，使圓心P在邊上，且與兩邊都相切（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，求的長．
25．如圖，在中，為直徑，P為上一點，，過點P的弦，Q為弧上一動點（與點B、C不重合），，垂足為H．連接．
(1)求的長；
(2)在點Q的運(yùn)動過程中，的值是否發(fā)生變化？若變化求出取值范圍，若不變化，求出比值．
26．某旅游景點為了提高游客數(shù)量，對團(tuán)隊游的票價進(jìn)行了如下優(yōu)惠：如果團(tuán)隊人數(shù)不超過20人，門票價格為80元/人；如果人數(shù)超過20人，每超過1人，門票價格降低0.5元/人，但門票價格不低于60元/人．
(1)當(dāng)團(tuán)隊人數(shù)為16人時，門票價格為______元/人；當(dāng)團(tuán)隊人數(shù)為26人時，門票價格為______元/人；
(2)若某團(tuán)隊共支付門票2800元，求該團(tuán)隊的人數(shù)．
27．已知，矩形的頂點A、C分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸上，點B的坐標(biāo)為，E為上一動點．
(1)如圖1，連接，當(dāng)時，求E點坐標(biāo)；
(2)連接，過點E作交x軸于點F，是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．
28．如圖，四邊形是正方形，點E是的中點，點P是對角線上一動點，連接，點C關(guān)于直線的對稱點為點M，連接，已知，設(shè)的長為x．
(1)當(dāng)點M與點D重合時，則x的值為______；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求x的值；
(3)當(dāng)為等腰三角形時，直接寫出x的值．
答案與解析
1．D
【分析】形如的方程叫一元二次方程，根據(jù)定義分別判斷，即可解答．
【詳解】解：A、是二元一次方程，故該選項錯誤，不符合題意；
B、是分式方程，故該選項錯誤，不符合題意；
C、由得，是一元一次方程，故該選項錯誤，不符合題意；
D、由得，是一元二次方程，故該選項正確，符合題意．
故選D．
【點睛】本題考查一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程；熟練掌握定義是解題關(guān)鍵．
2．C
【分析】由，根據(jù)比例的性質(zhì)，即可求得的值．
【詳解】解：∵，
∴．
故選：C．
【點睛】此題考查了比例的基本性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記比例變形．
3．B
【分析】判斷上述方程的根的情況，只要計算出判別式的值就可以了．有兩個相等實數(shù)根的一元二次方程就是判別式的值是的一元二次方程．
【詳解】解：A、，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；
B、，此方程有兩個相等的實數(shù)根，符合題意；
C、，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；
D、，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程有兩個相等的實數(shù)根；方程沒有實數(shù)根．
4．C
【分析】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出的長，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，即可求解．
【詳解】解：在矩形中，，
∴，
∴，
∵的半徑為4，
∴，
∴點C與外邊，
故選：C．
5．A
【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．
【詳解】解：∵兩個相似三角形對應(yīng)邊的比為3：4，
∴它們的周長比是：3：4．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長比的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵．
6．C
【分析】先找到過點P最短的弦，根據(jù)垂徑定理求出AB=2PB=2AP，根據(jù)勾股定理求出BP，即可得出答案．
【詳解】解：過P作弦AB⊥OP，則AB是過P點的⊙O的最短的弦，連接OB，
則由垂徑定理得：AB=2AP=2BP．在Rt△OPB中，PO=3，OB=5，
由勾股定理得：PB=4，則AB=2PB=8．
故選C．
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識點，關(guān)鍵是找出符合條件的最短弦．
7．C
【分析】本題考查了等腰三角形、三角形內(nèi)角和、圓周角定理，同弧所對圓周角等于圓心角的一半，適當(dāng)添加輔助線是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，
，
，
，
．
故選：C．
8．D
【分析】本題考查三角形外接圓圓心的確定，掌握三角形外接圓圓心的確定方法，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：已知是的外接圓，那么點O一定是的三邊的垂直平分線的交點，
故選：D．
9．C
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，比例的性質(zhì)，先作輔助線，然后根據(jù)勾股定理求出的值，然后根據(jù)三角形相似可求得線段之間的比例，進(jìn)而求得結(jié)果，準(zhǔn)確作出輔助線，求出與的長是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過F作于H，交于O，如圖所示：
，
∵，E為的中點，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
10．A
【分析】本題主要考查圓周角與圓心角的關(guān)系，直線與圓相切的時候m取得最值點，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意等腰直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)E在上方時，以E為圓心，為半徑作圓，設(shè)直線與相切，切點為P，此時m的值最大，求出此時m的值，同理當(dāng)E在下方時求出m的值，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，作等腰直角三角形，

，，
，，
E在y軸上，
當(dāng)E在上方時，以E為圓心，為半徑作圓，此時上存在點滿足，
設(shè)直線與相切，切點為P，此時m的值最大，
設(shè)直線與x軸交于點C，與y軸交于點D，
連接，則，直線，
，是等腰直角三角形，
， ，
，
由直線可知，
，
，
，
當(dāng)E在下方時，同理得，

m的取值范圍是，
故選：A．
11．180
【分析】本題考查了比例線段，比例尺是表示圖上一條線段的長度與地面相應(yīng)線段的實際長度之比，公式為：比例尺=圖上距離與實際距離的比，據(jù)此進(jìn)行求解即可，正確計算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)兩地的實際距離是cm，
根據(jù)題意可得：，
解得：cm=m，
故答案為：180．
12．x2﹣x＝0（答案不唯一）
【分析】利用因式分解法求一元二次方程根的方法進(jìn)行倒推即可，答案不唯一．
【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程的一個根是1，則符合條件的一個一元二次方程可以是：x（x﹣1）＝0，
整理得：x2﹣x＝0．
故答案為：x2﹣x＝0（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根，答案較為開放，符合題意即可，找到合適的方程是解題的關(guān)鍵．
13．
【分析】根據(jù)題意直接計算即可得．
【詳解】解：根據(jù)黃金比的值得：．
故答案為23．
【點睛】本題考查了黃金分割的知識，解答本題的關(guān)鍵是要熟記黃金比的值為．
14．6
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得到答案．
【詳解】解：∵abc，
∴，
即，
∴DE＝6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)題目特點，靈活選擇比例式計算是解題的關(guān)鍵．
15．
【分析】本題考查了一元二次方程的根，方程的根是使等式左右兩邊相等的未知數(shù)的值，將根代入原方程即可求解．
【詳解】解：∵方程根為，
，
解得：
故答案為：．
16．65
【分析】連接BC，OB，由PA、PB是 O的切線，可得∠OAP=∠OBP=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和，求出∠AOB，再根據(jù)圓周角定理即可求∠ACB的度數(shù)．
【詳解】連接BC，OB.
∵PA、PB是O的切線，A. B為切點，
∴∠OAP=∠OBP=90°.
∴∠AOB=180°?∠P=130°，
由圓周角定理知,∠ACB=∠AOB=65°，
故答案為65.
【點睛】此題考查切線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線.
17．
【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，連接，過P作于H，于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接，過P作于H，于G，
∵P為的內(nèi)心，
∴平分，平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴點P到的距離為，
故答案為：．
18．
【分析】先求得，，，，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，過、、三點的圓為，過點作于點，軸于點，連接、，如圖，設(shè)，證四邊形為矩形，得，由切線性質(zhì)得，由勾股定理得，進(jìn)而得，從而利用兩點間距離公式得，解方程即可得點的坐標(biāo)．
【詳解】解：當(dāng)時，，解得，則，，
當(dāng)時，，則，，
設(shè)直線的解析式為，
把，，，分別代入得，
解得，
∴直線的解析式為，
過、、三點的圓為，過點作于點，軸于點，連接、，如圖，
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，
∵與軸相切，
∴為的半徑，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，(舍去），
∴點坐標(biāo)為．
故答案為：，．
【點睛】本題主要考查了切線的判定、勾股定理、求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)，熟練掌握切線的判定、勾股定理、求一次函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．(1)
(2)，
【分析】本題主要考查解一元二次方程．
（1）將方程的常數(shù)項移到等號的右邊，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，配方法后，再開平方求解即可；
（2）方程移項后再利用因式分解法求解即可．
【詳解】（1），
，
，
，
，
，
∴，；
（2）
，
，
或，
∴，．
20．(1)見解析
(2)8
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：
（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求證；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵的面積為10，
∴，
∴．
21．(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及解一元二次方程．
（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出，進(jìn)而可證得結(jié)論；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值．
解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合找出關(guān)于的一元二次方程．
【詳解】（1）證明：，，．
∴，
∴無論m取任何實數(shù)，一元二次方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：∵，為方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)見解析
(2)
【分析】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，證明及是解題的關(guān)鍵.
（1）連接,由,,得,則,所以， 即可證明為的切線；
（2）由為的直徑，得，則，而，所以，則，可求得，由勾股定理得.
【詳解】（1）證明：連接，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，且，
∴為的切線．
（2）解：為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
23．(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，畫位似圖形，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)確定原點的位置以及x、y的軸的位置，然后建立坐標(biāo)系即可；
（2）把A、B、C的橫縱坐標(biāo)分別乘以2得到的坐標(biāo)，再順次連接即可；
（3）取格點P、Q，連接交于M，點M即為所求
【詳解】（1）解：如圖所示坐標(biāo)系即為所求；
（2）解：如圖所示，即為所求；

（3）解：如圖所示，取格點P、Q，連接交于M，點M即為所求；
易證，則，即．

24．(1)見解析
(2)
【分析】（1）作的平分線交于P，以P為圓心，P到的距離為半徑作圓，即為所求，即可；
（2）過P作交于D，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到，繼而得到，設(shè)，則，根據(jù)平行線分線段成比例，即可求解．
【詳解】（1）解：作的平分線交于P，以P為圓心，P到的距離為半徑作圓，即為所求，如圖：
（2）解：過P作交于D，如上圖：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由作圖可知，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
即，解得，
∴的長為．
【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作圓，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，切線的性質(zhì)，熟練掌握圓的作法，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
25．(1)的長為；
(2)的值不發(fā)生變化，
【分析】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．
（1）連接，求得的半徑，在和中，利用勾股定理求解即可；
（2）連接，利用垂徑定理求得，證明，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
即的長為；
（2）解：的值不發(fā)生變化，．
理由如下：
連接，如圖，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
26．(1)80，77
(2)該團(tuán)隊的人數(shù)為40人
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，
（1）根據(jù)題意，計算即可解答；
（2）設(shè)團(tuán)隊人數(shù)為人，再根據(jù)支付門票價格為2800元，列方程，即可解答，
根據(jù)題意，找出正確的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：根據(jù)已知，團(tuán)隊人數(shù)為16人時，門票價格為80元/人；
（元/人），
∴團(tuán)隊人數(shù)為26人時，門票價格為77元/人；
故答案為：80，77；
（2）解：，
∴該團(tuán)隊的人數(shù)超過20人；
設(shè)該團(tuán)隊的人數(shù)為x人，
根據(jù)題意得：，
解得或，
當(dāng)時，（元/人），
當(dāng)時，（元/人），
∵門票價格不低于60元/人，
，
答：該團(tuán)隊的人數(shù)為40人．
27．(1)或
(2)是定值為
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．
（1）根據(jù)矩形的頂點，可得點，利用待定系數(shù)法求直線解析式，，利用距離公式求得m的值；
（2）過E作軸于M點，交于N點，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論．
【詳解】（1）由矩形的頂點，
∴點，
設(shè)直線的解析式為，則，
解得：，
∴直線的解析式為：，
∵E為上一動點，
∴設(shè)，
∵，
∴，解得：或，
∴或；
（2）是定值為，理由如下：
如圖：過E作軸于M點，交于N點，
由（1）知E在上，
設(shè)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
28．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）當(dāng)D和M重合時，與 的垂直平分線重合即可求解；
（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)，為定值，所以M的軌跡是一段圓弧，然后根據(jù)三角形面積公式，底一定時，高越大，則面積越大，即可求解；
（3）根據(jù)腰的不同分類討論即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)D和M重合時，對稱軸與的垂直平分線重合，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
由勾股定理得，
∴，即；
故答案為：；
（2）解：連接，延長，交于F，交延長線于G，如圖，
∵C和M關(guān)于對稱，
，
∴點M的軌跡為以E為圓心，半徑為的一段圓弧，
∴當(dāng)面積最大時，M在直線上，
又由垂徑定理可知，，
，
∴，
∵，
∴，
，
；
，
∴，
，
即，解得：，
（3）解：①當(dāng)時，
如圖，由于點P的軌跡是以E為圓心，半徑為的優(yōu)弧，點P與D重合時，點M與點T重合；點P與點B重合時，點M與點K重合；
當(dāng)點P與D重合時，點M與點T重合，此時，則；
當(dāng)點M與點C重合時，也滿足，如下圖，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
②當(dāng)時，作的垂直平分線，與軌跡有兩個交點，
當(dāng)M在右邊時，如圖：
連接延長交于Q，交延長線于G，延長交于點H，
過M作于N，
∵M(jìn)在垂直平分線上，四邊形是正方形，
∴M也在的垂直平分線上，
，
∴；
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
M是的中點；
∵，
∴，
∴，
即是的中位線，
，
又，
，
，
∴；
，，
∴，
，
∵，
；
∵，，
∴，
，
；
當(dāng)M在左邊時，如圖：
過M作的垂線交于點O，則M在兩邊時的情形關(guān)于點O成中心對稱，由對稱知，當(dāng)時，滿足；
即當(dāng)時，或；
③當(dāng)時，此種情況不存在；
綜上所述，或或或．
【點睛】本題幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，解題關(guān)鍵在確定M點的運(yùn)動軌跡．

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