時(shí)間：120分鐘 總分：150分
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)集合，，則（ ）
B. C. D.
2.為虛數(shù)單位，則（ ）
A.2B. C. 3D.
3.命題“對任意的”的否定是（ ）
A.不存在 B.存在
C.存在 D. 對任意的
4.若函數(shù) QUOTE ，則（ ） QUOTE
A. B. 2C. D. 4
5.方程 QUOTE 表示橢圓的必要不充分條件是（ ）
A. QUOTE B. QUOTE
C. QUOTE D. QUOTE
6．以下四個(gè)命題中正確的是( )
A．空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示
B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則{a＋b，b＋c，c＋a}構(gòu)成空間向量的另一組基底
C. △ABC為直角三角形的充要條件是＝0
D．任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底
7.某班有60名學(xué)生，一次考試的成績 QUOTE 服從正態(tài)分布，若 QUOTE ，估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績在100分以上的人數(shù)為（ ）
A. 12B. 20C. 30D. 40
8.點(diǎn) QUOTE 到拋物線準(zhǔn)線的距離為1，則的值為（ ）
A.或B. 或C.-4或-12D. 4或12
9.某研究機(jī)構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：
由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程為 QUOTE ，則在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線下方的概率為（ ）
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
10.安排5名學(xué)生去3個(gè)社區(qū)進(jìn)行志愿服務(wù)，且每人只去一個(gè)社區(qū)，要求每個(gè)社區(qū)至少有一名學(xué)生進(jìn)行志愿服務(wù)，則同學(xué)甲單獨(dú)去一個(gè)社區(qū)不同的安排方式有（ ）
A. 100種B. 60種C. 42種D. 25種
11. 我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“ ”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有2個(gè)陽爻的概率是（ ）

A．B． C． D．
12. 設(shè)函數(shù)在R上存在導(dǎo)數(shù)，，有，在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分，第16題第一空2分，第二空3分.
13.= QUOTE ______ ．
14. QUOTE 的展開式中，的系數(shù)為______．
15. 已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為上的點(diǎn)，若 的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)在線段，則的周長為 ．
16.“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù)．具體數(shù)列為：，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列為“斐波那契”數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則
（Ⅰ）__________； （Ⅱ）若，則__________．（用表示）
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答過程寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
17.（滿分10分） 設(shè)P：函數(shù)在上單調(diào)遞增，Q：關(guān)于x的不等式的解集為R。
（1）如果“P且Q”為真，求a的取值范圍．
（2）如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求a的取值范圍．
18.（滿分12分）設(shè)函數(shù)，
（1）求函數(shù)在上的值域
（2）設(shè)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
19. （滿分12分） 如圖，在四棱錐中，平面平面，
，，，．
（1）證明：；
（2）求二面角的大?。?br>20. （滿分12分）受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該
轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，
現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：
將頻率視為概率，解答下列問題：
（1）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；
（2）若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為，分別求,的分布列；
（3）該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由．
21. （滿分12分）如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），直線與的斜率之和是否為定值，若是求出定值，若不是，說明理由.
22. （滿分12分）已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.
（1）求 （2）證明：
（3）證明：當(dāng)時(shí)，
2019—2020學(xué)年第一學(xué)期高二年級期末考試
數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案
一、選擇題
DBCCB,BACAC,CB
二、填空題
13. e 14. 40 15. 44 16. 33；m-1（第一空2分，第二空3分）
三、解答題
17.解：
(1) 當(dāng)“P且Q”為真時(shí)，即P為真，Q為真，所以
(2) 當(dāng)P和Q有且僅有一個(gè)正確時(shí)，即P真Q假或P假Q(mào)真，所以
18.解：（1），令，則
當(dāng)
當(dāng)，因?yàn)?，?br>所以函數(shù)的最小值為，最大值為0
（2）由知：，顯然是其一個(gè)根，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程有且僅有一個(gè)根且不為0，令
，易知
并且當(dāng)當(dāng)所以若方程有且僅有一個(gè)根且不為0，則
19.解：（1）在直角梯形中，由，得，，
由，則，即，
又平面平面，從而平面.
（2）以為原點(diǎn)，分別以射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由題意可知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

，
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，
可算得，，
由得，，可取，
由得，，可取，
于是，由題意可知，
所求二面角是銳角，故二面角的大小是．
20.解：（1）設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A
則
（2）依題意的分布列為:
（3）

,應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車.
21.解：（1）由題意知，由，解得，
所以橢圓的方程為；
（2）設(shè)，由題設(shè)知，直線的方程為，
聯(lián)立方程組化簡得，
則，并且
因?yàn)橹本€與的斜率之和
化簡得=
22.解：（1）由題意知：即，解得
（2）令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是，即，故
（3）由（1）知，令
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，于是，即
故當(dāng)時(shí)，，即.
由（2）知：.
綜上知：當(dāng)時(shí)，
x
4
6
8
10
12
y
1
2
3
5
6
品牌
甲
乙
首次出現(xiàn)故
障時(shí)間(年)
轎車數(shù)量(輛)
2
3
45
5
45
每輛利潤(萬元)
1
2
3
1.8
2.9
1
2
3
1.8
2.9

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