1. 已知集合，集合，則集合的元素個(gè)數(shù)為（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，利用集合補(bǔ)集和交集的概念求出進(jìn)而得到元素個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由解得或，
所以或，，
又因?yàn)椋?br>所以，元素個(gè)數(shù)為2，
故選：B
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)除法法則以及共軛復(fù)數(shù)、虛部的概念即可求解.
【詳解】由題意，則虛部為.
故選：C.
3. 已知條件：直線與直線垂直，條件：，則是的（ ）
A. 充要條件B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由兩條直線垂直可求得，結(jié)合充要條件的定義即可求出答案.
【詳解】直線與直線垂直，所以，則，所以是的充要條件.
故選：A.
4. 已知方程表示橢圓，則的取值范圍為（ ）
A. 且B. 且
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即得.
【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，
所以，
解得且.
故選：B.
5. 已知圓O的直徑，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡與圓O的相交弦長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，由距離公式化簡(jiǎn)整理可得點(diǎn)M的軌跡，兩圓相減得公共弦直線方程，利用幾何關(guān)系即可求出弦長(zhǎng).
【詳解】由題意，以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以直線AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
可設(shè)，，明顯，圓O的半徑為2，其方程為：①，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，從而有，
化簡(jiǎn)得：，即②，
由可得相交弦的方程為：，圓心到距離，
所以公共弦長(zhǎng)為.

故選:A.
6. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程．則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，將化為的三角函數(shù)求最小值.
【詳解】令，
則，
因?yàn)椋?dāng)時(shí)取最小值，所以最小值為.
故選：D
7. 已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】確定兩圓圓心和半徑，根據(jù)公切線得到兩圓外切，得到，變換得到，展開(kāi)利用均值不等式計(jì)算得到答案.
【詳解】，即，圓心，；
，即，圓心，半徑；
兩圓恰有三條公切線，即兩圓外切，故，
即，
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.
故選：A
8. 在直三棱柱中，，，，，為線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段EF上（包括端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則二面角的正弦值的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先作輔助線，利用二面角的定義找到二面角的平面角，再設(shè)，用表示出二面角的正弦值，最后利用函數(shù)知識(shí)求二面角的正弦值的范圍即可.
【詳解】在直三棱柱中,平面ABC，且平面ABC，故，
又，，所以，.
如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，故平面ABC，
因?yàn)槠矫鍭BC，故，
過(guò)點(diǎn)作交AB于點(diǎn)，連接DN，
因?yàn)槠矫?，平面，且?br>所以平面，又平面，則，
故即二面角的平面角.
設(shè)，在直角中，，所以，，
所以，.
所以，
則，
易知在上的值域?yàn)椋?br>所以.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題（每題5分，少選得2分，錯(cuò)選得0分，共20分．）
9. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為B.
C. 函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)D. 函數(shù)在上是增函數(shù)
【答案】CD
【解析】
【分析】對(duì)A選項(xiàng)由圖得到兩相鄰最值之間的橫坐標(biāo)距離為半周期即可判定A，對(duì)B選項(xiàng)，利用圖像所過(guò)的點(diǎn)，代入求解出三角函數(shù)解析式，再計(jì)算即可，對(duì)C選項(xiàng)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，對(duì)D選項(xiàng)求解出其單調(diào)增區(qū)間，再賦值值，求出最接近的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，即可判斷D.
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，在同一周期內(nèi),函數(shù)在時(shí)取得最大值,時(shí)取得最小值,
函數(shù)的最小正周期滿足,由此可得,故A錯(cuò)誤；
對(duì)B選項(xiàng)，，解得,
得函數(shù)表達(dá)式為，又當(dāng)時(shí)取得最大值2,,可得，
取,得，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C選項(xiàng)，，則，
令，則原函數(shù)為，，由正弦函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)D選項(xiàng)，；令，,
解得，,令，則其中一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為，
而，故D正確
故選：CD.
【點(diǎn)睛】【點(diǎn)睛】
10. 已知直線，是圓上的一點(diǎn)，則（ ）
A. 直線過(guò)定點(diǎn)B. 圓C的半徑是
C. 點(diǎn)P可能在圓上D. 點(diǎn)P到直線的最大距離是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)、圓、直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】直線可化為，
由，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，A選項(xiàng)正確.
圓可化為，
所以圓心，半徑，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
圓的圓心為，半徑為，
，所以圓與圓外切，
所以點(diǎn)可能在圓上，C選項(xiàng)正確.
，所以點(diǎn)P到直線的最大距離是，D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
11. 已知橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，短軸的上、下兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，的面積為1，離心率為，點(diǎn)P是C上除長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，的平分線交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M，則（ ）
A. 橢圓的焦距等于短半軸長(zhǎng)
B. 面積的最大值為2
C.
D. 取值范圍是
【答案】C
【解析】
【分析】由的面積為1，離心率為列方程組，進(jìn)而可求的值，則A可判斷，B選項(xiàng)可根據(jù)P點(diǎn)位置是除長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)直接排除；對(duì)于C選項(xiàng)，由的平分線交長(zhǎng)軸于點(diǎn)，得到，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合橢圓的定義，得到，進(jìn)而求得的取值范圍可判斷D.
【詳解】對(duì)A：由的面積為1，離心率為可得，
又，所以得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：當(dāng)P點(diǎn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)位置時(shí)的面積才能取到最大值，
但是P點(diǎn)是除長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，故的面積無(wú)法取到最大值，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C：所以橢圓的方程為，故，，
由的平分線交長(zhǎng)軸于點(diǎn)，顯然，，
又，
所以，即，
由，，得，故C正確；
對(duì)D：設(shè)，則，而，
即，也就是，所以，
所以，，
所以，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
12. 已知正方體的棱長(zhǎng)為，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 存在點(diǎn)，使得平面
C. 若，則P點(diǎn)在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為
D. 若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面周長(zhǎng)為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)等體積法可計(jì)算出三棱錐的體積，可判斷選項(xiàng)A，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)垂直得向量數(shù)量積為列式，從而判斷選項(xiàng)BC，作出過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面，計(jì)算周長(zhǎng)即可判斷選項(xiàng)D．
【詳解】對(duì)于A，由等體積法，三棱錐的高等于，
底面積，所以，
所以三棱錐的體積為定值，故A正確；
對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
，，，，，，
，，，
若平面，則，，
則，，
解得，不符合，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，，若，
，即，
所以點(diǎn)的軌跡就是線段，軌跡長(zhǎng)為，故C正確；
對(duì)于D，連接PQ并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接QF，
延長(zhǎng)QP交DA的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接PE，
則五邊形即為經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面，如圖：

正方體的棱長(zhǎng)為2，則，
則為等腰直角三角形，則，
根據(jù)得，，
則，則，，
同理可得，而，
則五邊形的周長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
三、填空題（每空5分，共20分．）
13. 已知圓C：，若過(guò)定點(diǎn)能作兩條圓的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】使過(guò)A點(diǎn)作圓的切線有兩條，則定點(diǎn)在圓外，代入圓方程計(jì)算得到答案.
【詳解】已知圓C的方程為，
所以，
要使過(guò)A點(diǎn)作圓的切線有兩條
即點(diǎn)在圓C外：恒成立，解得或，
綜上所述：或，
故答案為：.
14. 橢圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)且被該點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上利用點(diǎn)差法求解出的值，再利用直線的點(diǎn)斜式方程可求解出直線方程.
【詳解】設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，因?yàn)樵跈E圓上，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以的方程為：，即，
故答案為：.
15. 設(shè)橢圓的兩焦點(diǎn)為，.若橢圓上存在點(diǎn)P，使，則橢圓的離心率e的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，，根據(jù)橢圓性質(zhì)和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案.
【詳解】設(shè)，，則，，
即，
，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故，即，.
故答案為：
16. 在四棱錐中，平面ABCD，，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，，直線PM與平面ABCD所成的角為，當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，三棱錐的外接球的體積為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)線面角的定義得出M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，再由三棱錐的體積最小，確定點(diǎn)M位于F，進(jìn)而由長(zhǎng)方體外接球模型結(jié)合體積公式求解.
【詳解】因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成的角，
所以.因?yàn)?，所以，如圖，易知M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，記點(diǎn)M的軌跡為圓弧EF.連接AF，當(dāng)點(diǎn)M位于F時(shí)，三棱錐的體積最小，由長(zhǎng)方體外接球模型可知，三棱錐的外接球球心為PF的中點(diǎn)，此外接球的體積.
故答案為：
四、解答題（17題10分，18-22題每題12分，共70分，要求寫(xiě)出必要的解題步驟或證明過(guò)程．）
17. 在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足__________.
從條件①?條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面橫線上作為已知，
（1）求角；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
條件①：
條件②：
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選①，利用余弦定理即可得到的大??；選②利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正余弦平方和關(guān)系即可求出，則得到的大??；
（2）利用正弦定理解得，再求出的范圍則得到的范圍，最后利用三角形面積公式即可.
【小問(wèn)1詳解】
選擇條件①：
由題意及正弦定理知，
選擇條件②：因?yàn)?，所以?br>即，
解得，又，
所以
【小問(wèn)2詳解】
由可得
因?yàn)槭卿J角三角形，由（1）知得到，
故，解得，
所以，則，所以
.
18. 投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，假設(shè)甲、乙、丙、丁是四位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時(shí)，投中與不投中的機(jī)會(huì)是均等的，丁每次投壺時(shí)，投中的概率為．甲、乙、丙、丁每人每次投壺是否投中相互獨(dú)立，互不影響．
（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壺1次，求只有一人投中的概率；
（2）甲、丁進(jìn)行投壺比賽，若甲、丁每人各投壺2次，投中次數(shù)多者獲勝，求丁獲勝的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算即可；
（2）分情況根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件公式計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
將甲、乙、丙、丁各自在一次投壺中投中分別記為事件，
則．
設(shè)只有一人投中為事件，則
．
【小問(wèn)2詳解】
若甲投中0次，則丁至少投中1次；若甲投中1次，則丁投中2次．
設(shè)丁獲勝為事件，則．
19. 已知圓．
（1）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓C相切，求直線的方程；
（2）設(shè)直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，求的面積S的最大值．
【答案】（1）x＝－1或4x－3y＋7＝0
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線的斜率是否存在，分別設(shè)出直線方程，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，即可解出；
（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出，再根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到直線距離的最大值為半徑加上圓心到直線的距離，即可解出．
【小問(wèn)1詳解】
由題意得C（2，0），圓C的半徑為3．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，
由直線與圓C相切，得，解得，所以直線的方程為4x－3y＋7＝0．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，顯然與圓C相切．
綜上，直線的方程為x＝－1或4x－3y＋7＝0．
【小問(wèn)2詳解】
由題意得圓心C到直線的距離，
設(shè)圓C的半徑為r，所以r＝3，所以，
點(diǎn)P到直線距離的最大值為，
則的面積的最大值．
20. 如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析
（2）與平面所成角的正弦值為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；
（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋珽為的中點(diǎn)，所以；
在和中，因?yàn)椋?br>所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；
又因?yàn)槠矫妫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以平面平?
【小問(wèn)2詳解】
連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，所以，
當(dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以是等邊三角形?br>因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，
因?yàn)?，所?
在中，，所以.
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，則，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
設(shè)與平面所成的角的正弦值為，
所以，
所以與平面所成的角的正弦值為.
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的焦距為2，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)，又，，聯(lián)立方程組可解得，，由此可得橢圓的方程；
（2）設(shè)，，中點(diǎn)，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理得，可得，再利用得，可得，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得結(jié)果.
【詳解】（1）由題可知，又，，
∴，
∴∴，
又∴，，
所以橢圓的方程為：.
（2）設(shè)，，中點(diǎn)，直線的方程為：，
由可得，
∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
所以，，
所以.
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
22. 已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由頂點(diǎn)和離心率直接求即可；
（2）先聯(lián)立直線和橢圓方程，借助弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng)，再求出垂直平分線和坐標(biāo)，表示出，最后分離常數(shù)求取值范圍即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知可得，故橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由，可得，設(shè)，則，，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線方程為
，令，得，所以，
又，則,又
，
所以，，
故的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】（1）關(guān)鍵在于建立的關(guān)系式求解；
（2）關(guān)鍵在于聯(lián)立直線和橢圓方程，依次求出垂直平分線和弦長(zhǎng)、，轉(zhuǎn)化成關(guān)于的代數(shù)式求范圍即可.

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這是一份安徽省淮北市樹(shù)人高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共21頁(yè)。試卷主要包含了 已知集合，，則， 復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則， “”是“直線， 已知角的終邊過(guò)點(diǎn)， 在等比數(shù)列中，，，則， 已知空間直線、和平面滿足， 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)， 已知曲線，則下列說(shuō)法正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

安徽省淮北市樹(shù)人高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份安徽省淮北市樹(shù)人高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共15頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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安徽省淮北市樹(shù)人高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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安徽省淮北市樹(shù)人高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題

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