2023-2024學年遼寧省部分重點中學協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學模擬試卷（c卷）

這是一份2023-2024學年遼寧省部分重點中學協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學模擬試卷（c卷），共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（5分）若直線的一個方向向量為，則它的傾斜角為
A．B．C．D．
2．（5分）若三條直線，和交于一點，則的值為
A．B．C．3D．
3．（5分）直線與直線垂直，則直線在軸上的截距是
A．B．C．2D．4
4．（5分）已知向量，1，，，，則與的夾角為
A．B．C．D．
5．（5分）在棱長為1的正四面體中，
A．B．C．0D．1
6．（5分）已知點，，若，到直線的距離都為2，則直線的方程不可能為
A．B．C．D．
7．（5分）已知圓，直線，點為上一動點，過點作圓的切線，（切點為，，當四邊形的面積最小時，直線的方程為
A．B．C．D．
8．（5分）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，，分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，則點到平面的距離為
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。
9．（5分）已知圓，則下列說法正確的是
A．圓的半徑為4
B．圓截軸所得的弦長為
C．圓上的點到直線的最小距離為1
D．圓與圓相離
10．（5分）下列說法正確的有
A．直線過定點，
B．過點作圓的切線，則的方程為
C．圓上存在兩個點到直線的距離為2
D．若圓與圓有唯一公切線，則
11．（5分）如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，，，，為直角頂點，其他四個面均為矩形，，，，下列說法不正確的是
A．該幾何體是四棱臺
B．該幾何體是棱柱，平面是底面
C．
D．平面與平面的夾角為
12．（5分）如圖所示，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則
A．當點在側(cè)面上時，四棱錐的體積為定值
B．存在這樣的點，使得
C．當直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為
D．當時，點的軌跡長度為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）兩條平行直線與之間的距離為 ．
14．（5分）已知點在平面內(nèi)，并且對不在平面內(nèi)的任意一點，都有，則的值為 ．
15．（5分）直線的傾斜角的取值范圍是 ．
16．（5分）底面為矩形的直四棱柱中，，點在棱上且滿足分別為棱，的中點，是底面內(nèi)一點，若直線與平面垂直，則點到平面的距離的大小是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）已知點關(guān)于軸的對稱點為，，關(guān)于原點的對稱點為，．
（1）求中過，邊上中點的直線方程：
（2）求的面積．
18．（12分）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點．
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）若圓與直線交于，兩點，_____，求的值．
從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：
條件①：；
條件②：．
19．（12分）（1）經(jīng)過，的交點，且在軸上的截距為的直線方程；
（2）經(jīng)過的入射光線，經(jīng)直線反射后過點，求反射光線所在的直線方程．
20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，，．
（1）求的長度；
（2）求二面角的余弦值．
21．（12分）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)點在線段上運動，平面與平面所成銳二面角為，求的取值范圍．
22．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，為的中點，為的中點，，點為線段上的動點（不包括線段的端點）．
（1）若平面，請確定點的位置；
（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
2023-2024學年遼寧省部分重點中學協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學模擬試卷（C卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）若直線的一個方向向量為，則它的傾斜角為
A．B．C．D．
【分析】由方向向量可得直線的斜率，再由，得解．
【解答】解：由題意知，直線的斜率為，
由知，傾斜角．
故選：．
【點評】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，方向向量的概念，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）若三條直線，和交于一點，則的值為
A．B．C．3D．
【分析】由題意可得，和的交點在直線上，由此求得的值．
【解答】解：三條直線，和交于一點，
和的交點在直線上，
，求得，
故選：．
【點評】本題主要考查三條直線經(jīng)過同一個點問題，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）直線與直線垂直，則直線在軸上的截距是
A．B．C．2D．4
【分析】直線與直線垂直，求出，從而直線，令，能求出直線在軸上的截距．
【解答】解：直線與直線垂直，
，
解得，
直線，
令，得，
直線在軸上的截距是．
故選：．
【點評】本題考查直線在軸上的截距的求法，考查直線與直線垂直等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．
4．（5分）已知向量，1，，，，則與的夾角為
A．B．C．D．
【分析】由，得到，由此能求出與的夾角．
【解答】解：向量，1，，，，
，
，
與的夾角為．
故選：．
【點評】本題考查向量夾角的求法，考查向量夾角數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
5．（5分）在棱長為1的正四面體中，
A．B．C．0D．1
【分析】先把要求數(shù)量積的兩個向量表示成以四面體的棱所在向量為基底的向量的表示形式，寫出向量的數(shù)量積，問題轉(zhuǎn)化成四面體的棱與棱之間的關(guān)系，因為棱長及其夾角可知，從而得到結(jié)果．
【解答】解：．
故選：．
【點評】本題考查空間向量的數(shù)量積，屬于中檔題．
6．（5分）已知點，，若，到直線的距離都為2，則直線的方程不可能為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，分析可得與可能在直線的同側(cè)且與直線平行，也可能直線過線段中點，據(jù)此分2種情況討論，求出直線的方程，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，，，
則與可能在直線的同側(cè)且與直線平行，也可能直線過線段中點，
①當直線平行直線時，，可設(shè)直線的方程為，
依題意得：，解得：或，
故直線的方程為：或；
②當直線過線段中點時：的中點為，
若直線的斜率不存在，直線的方程為，
若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，即，
依題意得：，解得：，
直線的方程為；
故選：．
【點評】本題考查點到直線的距離公式，注意分析直線的斜率是否存在，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知圓，直線，點為上一動點，過點作圓的切線，（切點為，，當四邊形的面積最小時，直線的方程為
A．B．C．D．
【分析】由題意可得當點與圓心的距離最小時，切線長、最小，此時四邊形的面積最小，求出的坐標，再求出以為直徑的圓的方程，與已知圓的方程聯(lián)立即可求得直線的方程．
【解答】解：圓的圓心為，半徑，
當點與圓心的距離最小時，切線長、最小，此時四邊形的面積最小，
直線，
則的方程為，
聯(lián)立，解得，，
以為直徑的圓的方程為，
即，
兩圓方程相減可得．
故選：．
【點評】本題考查圓的切線方程，明確當點與圓心的距離最小時的面積最小是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．
8．（5分）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，，分別是與的中點，點在平面上的射影是的重心，則點到平面的距離為
A．B．C．D．
【分析】以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，求出，利用空間向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解點到平面的距離．
【解答】解：如圖所示，以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)，則，
可得，
因為點在平面上的射影是的重心，
所以平面，所以，
即，解得，
即，
則點到平面的距離為，是的中點，
所以．
故選：．
【點評】本題考查了點到平面的距離計算，屬于中檔題．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。
9．（5分）已知圓，則下列說法正確的是
A．圓的半徑為4
B．圓截軸所得的弦長為
C．圓上的點到直線的最小距離為1
D．圓與圓相離
【分析】首先將圓的方程化為標準方程，即可確定圓的半徑，利用弦長公式可得圓截軸的弦長，求得圓心到直線的距離即可確定圓上的點到直線距離的最小值，利用圓心距的大小可得兩圓的位置關(guān)系．
【解答】解：把圓的方程化成標準方程為，
所以圓的圓心坐標為，半徑為2，錯誤；
圓截軸所得的弦長為，正確；
圓心到直線的距離為3，
故圓上的點到直線的最小距離為，正確；
圓的圓心為，半徑為3，
則點與點之間的距離為，
圓與圓相切，錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查圓的弦長公式，圓的半徑的確定，圓與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．
10．（5分）下列說法正確的有
A．直線過定點，
B．過點作圓的切線，則的方程為
C．圓上存在兩個點到直線的距離為2
D．若圓與圓有唯一公切線，則
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于，直線即，過定點，，正確；
對于，當過點的直線斜率不存在時，方程為，與圓相切，錯誤；
對于，的圓心，半徑，
圓心直線的距離，
所以圓上存在兩個點到直線的距離為2，故正確；
對于，圓，即，，半徑，
圓，即，則，半徑，
由圓與圓有唯一公切線，
兩圓內(nèi)切，則有，解可得，錯誤；
故選：．
【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的標準方程的形式，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）如圖是常見的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學模型為如圖所示的六面體，其中四邊形和為直角梯形，，，，為直角頂點，其他四個面均為矩形，，，，下列說法不正確的是
A．該幾何體是四棱臺
B．該幾何體是棱柱，平面是底面
C．
D．平面與平面的夾角為
【分析】根據(jù)臺體、柱體、空間直角坐標系、線線垂直、面面角等知識對選項進行分析，從而確定正確答案．
【解答】解：因為四邊形和為直角梯形，，，，為直角頂點，其他四個面均為矩形，
所以這個六面體是四棱柱，平面和平面是底面，故，錯誤；
由題意可知，，兩兩垂直，如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，
則，所以，不垂直，故錯誤；
根據(jù)題意可知平面，所以為平面的一個法向量，
，
設(shè)，，為平面的法向量，
則有，則可取，0，，
則，
所以平面與平面的夾角為，故正確．
故選：．
【點評】本題考查了線線垂直的應(yīng)用和面面角的計算，屬于中檔題．
12．（5分）如圖所示，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則
A．當點在側(cè)面上時，四棱錐的體積為定值
B．存在這樣的點，使得
C．當直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為
D．當時，點的軌跡長度為
【分析】根據(jù)四棱錐的體積公式，向量的線性運算，線面角的概念，弧長公式，即可分別求解．
【解答】解：對選項，由點到側(cè)面的距離相等，
故四棱錐的體積為定值，故選項正確；
對選項，因為，
所以這樣的點是正方形與中心連線段的中點，
不在正方體的表面上，故選項錯誤；
對選項，由題意易知當在平面和平面上時，
與即為直線與平面所成角的平面角，
當直線與兩平面的對角線重合時，線面角為，此時點的軌跡長度為，
當點在平面上時，點在以為半徑，以為圓心在平面上畫弧，
所得即為線面角為的點的軌跡，軌跡長為，則總長為，故選項對，
對選項，，當時，
點的軌跡為在平面、平面、平面上以為半徑的圓弧，
又，，則圓弧圓心角為，
在平面、平面、平面上以為半徑的圓弧，
又，則圓弧圓心角為，
則軌跡總長為，故選項對．
故選：．
【點評】本題考查四棱錐的體積問題，向量的線性運算，線面角的概念，弧長的求解，屬中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）兩條平行直線與之間的距離為 ．
【分析】利用平行線，求解，然后利用平行線之間的距離公式求解即可．
【解答】解：兩條平行直線與，
可得，
所以，
所以兩條平行直線與之間的距離為：．
故答案為：．
【點評】本題考查平行線之間的距離公式的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，是基本知識的考查．
14．（5分）已知點在平面內(nèi)，并且對不在平面內(nèi)的任意一點，都有，則的值為 ．
【分析】把已知關(guān)系式化為，然后根據(jù)因為點，，，四點共面，所以，即可求解．
【解答】解：因為，
所以，
即，
因為點，，，四點共面，所以，
所以，
故答案為：．
【點評】本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，考查了學生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）直線的傾斜角的取值范圍是 ．
【分析】由題意根據(jù)直線的斜率判斷傾斜角的范圍．
【解答】解：直線方程可化為，
，
則，
由正切函數(shù)的圖像知傾斜角，
由正切函數(shù)的圖像知傾傾斜角，
當時，直線的傾斜角為，
故答案為：．
【點評】本題考查直線的斜率和傾斜角，屬于容易題．
16．（5分）底面為矩形的直四棱柱中，，點在棱上且滿足分別為棱，的中點，是底面內(nèi)一點，若直線與平面垂直，則點到平面的距離的大小是 ．
【分析】建系，利用空間向量得到坐標，進而利用等體積轉(zhuǎn)化求得點面距離．
【解答】解：建系如圖，設(shè)，，，則根據(jù)題意可得：
，
，
直線與平面垂直，
，
，即，0，，
設(shè)點到平面的距離為，
則，
解得．
故答案為：．
【點評】本題考查等體積法求解點面距，坐標法的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（10分）已知點關(guān)于軸的對稱點為，，關(guān)于原點的對稱點為，．
（1）求中過，邊上中點的直線方程：
（2）求的面積．
【分析】（1）先求出點的對稱點的坐標，再用兩點式求出直線的方程．
（2）先判斷求出和的值，判斷，從而求出的面積．
【解答】解（1）點關(guān)于軸的對稱點為，，，
又點關(guān)于原點的對稱點為，，，
的中點坐標是，的中點坐標是．
過，的直線方程是，
整理得．
（2）由題意知，，，
的面積．
【點評】本題主要考查一個點對于直線、點的對稱點的坐標，用兩點式求直線的方程，屬于中檔題．
18．（12分）已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點．
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）若圓與直線交于，兩點，_____，求的值．
從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：
條件①：；
條件②：．
【分析】（Ⅰ）設(shè)圓心坐標為，半徑為．由題意可得，，，進一步求得與的值，則圓的方程可求；
（Ⅱ）如果選擇條件①，由已知求得圓心到直線的距離，再由點到直線的距離公式列式求解值；
如果選擇條件②，同樣由已知求得圓心到直線的距離，再由點到直線的距離公式列式求解值．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標為，半徑為．
圓的圓心在直線上，．
又圓與軸相切于點，，．
圓的圓心坐標為，．
則圓的方程為；
（Ⅱ）如果選擇條件①，
，，
圓心到直線的距離．
則，解得或．
如果選擇條件②，
，，
圓心到直線的距離．
則，解得或．
【點評】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，訓練了點到直線距離公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，是中檔題．
19．（12分）（1）經(jīng)過，的交點，且在軸上的截距為的直線方程；
（2）經(jīng)過的入射光線，經(jīng)直線反射后過點，求反射光線所在的直線方程．
【分析】（1）首先利用二元一次方程組求出交點的坐標，進一步利用點斜式求出直線的方程；
（2）利用中點的坐標公式和直線垂直的充要條件求出對稱點的坐標，進一步利用點斜式求出直線的方程．
【解答】解：（1）由解得，所以交點為，
又在軸上的截距為，所以直線過，
所以直線的斜率為，所以直線方程為：，
即，
（2）設(shè)關(guān)于直線的對稱點為
則解得，所以對稱點點為，
由，得直線的斜率為，
所以直線方程為：，
即．
【點評】本題考查的知識要點：直線方程的求法，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，，．
（1）求的長度；
（2）求二面角的余弦值．
【分析】（1）取中點，連接、，利用線性運算法則直接求解；
（2）推導(dǎo)出，以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸，利用向量法能示出結(jié)果．
【解答】解：（1）在四棱錐中，，，是等邊三角形，
，，，如圖，
中點，連接、，是等邊三角形，，
又，，、平面，平面，
平面，，，是等邊三角形，，
，，，，，；
（2）由題意可知、，，，
以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖，
則，0，、，1，、、，，、，
由題意可知平面的一個法向量為，
設(shè)平面的法向量為，、
則，即，
令，則、，，
設(shè)二面角的平面角為，經(jīng)觀察為鈍角，
．
【點評】本題考查線段長、二面角等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
21．（12分）如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．
（1）證明：平面；
（2）設(shè)點在線段上運動，平面與平面所成銳二面角為，求的取值范圍．
【分析】（1）證明．通過平面平面，推出平面．
（2）分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．
【解答】（1）證明：在梯形中，因為，，
所以，所以，
所以，所以．
因為平面平面，平面平面，
因為平面，所以平面．
（2）解：由（1）可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標系，
令，則，0，，，，1，，，0，．
，．
設(shè)，，為平面的一個法向量，
由得，取，則，，，
，0，是平面的一個法向量
，當時，有最小值，當時，有最大值．
．
【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力，是中檔題．
22．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，為的中點，為的中點，，點為線段上的動點（不包括線段的端點）．
（1）若平面，請確定點的位置；
（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．
【分析】（1）連接，先證平面，若平面，平面與平面相交，必有，再由，可知為的中點；
（2）以為坐標原點，向量，，方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）如圖，連接．
，，△，
．
，，
．．
平面，平面，平面．
若平面，又由，平面，
平面與平面相交，必有．
又，為的中點．
（2）由，，兩兩垂直，以為坐標原點，
向量，，方向分別為，，軸的正方向建立如圖
所示空間直角坐標系．
不妨設(shè)，可得各點坐標如下：，0，，，0，，，4，，，0，，，0，，，1，．
設(shè)，有，
又由，有，
設(shè)平面的法向量為，
由，，有
取，，，可得平面的一個法向量為．
設(shè)直線與平面所成的角為，
由，，，
有．
設(shè)，有，．
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，，時，的最大值為．
【點評】本題主要考查由線面平行確定點的位置，空間向量的應(yīng)用，線面角的相關(guān)計算等知識，屬于中等題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/10/30 11:16:58；用戶：難得糊涂；郵箱：hncjs191@xyh.cm；學號：23578998