2023-2024學(xué)年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（b卷）

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1．（5分）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（5分）已知，，，則過(guò)點(diǎn)且與線段平行的直線方程為
A．B．C．D．
3．（5分）如果，那么直線與圓的位置關(guān)系是
A．相交B．相切C．相離D．相交或相切
4．（5分）直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，則的方程是
A．B．C．D．
5．（5分）兩平行直線之間的距離為
A．B．3C．D．
6．（5分）已知，與，是直線為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的交點(diǎn)情況是
A．無(wú)論，，如何，總有唯一交點(diǎn)
B．存在，，使之有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)
C．無(wú)論，，如何，總是無(wú)交點(diǎn)
D．存在，，使之無(wú)交點(diǎn)
7．（5分）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線有 條
A．1B．2C．3D．4
8．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)、，沿軸把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，，則的弧度數(shù)為
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。
9．（5分）已知向量，則
A．向量是與向量方向相反的單位向量
B．
C．向量的夾角的大小為
D．若向量，為實(shí)數(shù)），則
10．（5分）下列說(shuō)法中正確的是
A．若兩條直線互相平行，那么它們的斜率相等
B．方程能表示平面內(nèi)的任何直線
C．已知，直線與直線互相垂直，則的最小值為
D．若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則的取值范圍是
11．（5分）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是
A．的方程為
B．在軸上存在異于，的兩定點(diǎn)，，使得
C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線
D．在上存在點(diǎn)，使得
12．（5分）已知三棱錐的棱，，兩兩垂直，，，為的中點(diǎn)，在棱上，且平面，則
A．
B．與平面所成的角為
C．三棱錐外接球的表面積為
D．點(diǎn)到平面的距離為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）已知直線，直線，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
14．（5分）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為圓，則直線的方程為 ．
15．（5分）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)．則的最大值是 ．
16．（5分）在空間直角坐標(biāo)系中，四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，2，，，1，，，2，，，0，．則該四面體外接球的表面積是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（10分）如圖所示，射線、分別與軸正半軸成和角，過(guò)點(diǎn)作直線分別交、于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，求直線的方程．
18．（12分）如圖所示，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，，．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
19．（12分）已知圓方程．
（1）若圓與直線相交于，兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)）求的值；
（2）在（1）的條件下，求以為直徑的圓的方程．
20．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且三棱錐的體積為，若點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為，求．
21．（12分）直線過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求：
（1）當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，直線的方程；
（2）當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上截距之和取最小值時(shí)，直線的方程；
（3）當(dāng)取最小值時(shí)，直線的方程；
（4）當(dāng)取最小值時(shí)，直線的方程．
22．（12分）如圖，以為直徑的半圓所在平面與所在平面垂直，點(diǎn)，在半圓弧上，且，．
（1）證明：平面平面；
（2）若，且二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
2023-2024學(xué)年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高二（上）期中數(shù)學(xué)模擬試卷（B卷）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（5分）設(shè)直線的方向向量是，平面的法向量是，則“”是“”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)線面平行的定義結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可．
【解答】解：由，得：，是必要條件，
而“”不一定有，也可能，
故不是充分條件，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查線面的位置關(guān)系的判斷，是一道基礎(chǔ)題．
2．（5分）已知，，，則過(guò)點(diǎn)且與線段平行的直線方程為
A．B．C．D．
【分析】由兩點(diǎn)間斜率公式求出的斜率，由平行的充要條件結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程求解即可．
【解答】解：因?yàn)?，，?br>所以，
則所求直線的斜率為，
所以過(guò)點(diǎn)且與線段平行的直線方程為，即．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程的求解，兩點(diǎn)間斜率公式的應(yīng)用，兩條直線平行的充要條件的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）如果，那么直線與圓的位置關(guān)系是
A．相交B．相切C．相離D．相交或相切
【分析】求出圓心到直線的距離，與半徑比較，即可求出結(jié)果．
【解答】解：圓的圓心到直線的距離為：，
因?yàn)椋?br>所以，
所以直線與圓相離．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查直點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．
4．（5分）直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直，則的方程是
A．B．C．D．
【分析】由垂直可得直線的斜率，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可．
【解答】解：直線的斜率為，
由垂直可得所求直線的斜率為，
所求直線的方程為，
化為一般式可得
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的一般式方程和垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
5．（5分）兩平行直線之間的距離為
A．B．3C．D．
【分析】利用兩平行線間的距離公式直接求解．
【解答】解：由，得，
由，得，
兩平行直線之間的距離為：
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩平行線間的距離的求法，考查兩平行線間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）已知，與，是直線為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的交點(diǎn)情況是
A．無(wú)論，，如何，總有唯一交點(diǎn)
B．存在，，使之有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)
C．無(wú)論，，如何，總是無(wú)交點(diǎn)
D．存在，，使之無(wú)交點(diǎn)
【分析】利用兩點(diǎn)間斜率公式以及點(diǎn)在直線上進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到關(guān)系，聯(lián)立兩條直線的方程，研究方程組的解的個(gè)數(shù)，即可得到答案．
【解答】解：，與，是直線為常數(shù)）上兩個(gè)不同的點(diǎn)，
直線的斜率存在，
則，即，且，，
所以，
聯(lián)立方程組，解得，
即，
所以方程有唯一解．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線方程的應(yīng)用，直線與直線交點(diǎn)問題，兩點(diǎn)間斜率公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（5分）已知直線與圓相切，則滿足條件的直線有 條
A．1B．2C．3D．4
【分析】由題意，滿足條件的直線即為圓和圓的公切線，利用這兩個(gè)圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由已知，直線滿足到原點(diǎn)的距離為1，到點(diǎn)的距離為2，
滿足條件的直線即為圓和圓的公切線，
圓和圓外切，
這兩個(gè)圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線，
滿足條件的直線有3條．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線方程，本題解題的關(guān)鍵是得出滿足條件的直線即為圓和圓的公切線，是中檔題．
8．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)、，沿軸把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，，則的弧度數(shù)為
A．B．C．D．
【分析】在平面圖中，分別作、軸，將平面直角坐標(biāo)系沿軸折起后，在立體圖中，分別作，，推導(dǎo)出，，從而平面，即平面，則，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：在平面圖中，分別作、軸，
將平面直角坐標(biāo)系沿軸折起后，
在立體圖中，分別作，，如圖，
由題意知，，，
平面，平面，，
，
，
，，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。
9．（5分）已知向量，則
A．向量是與向量方向相反的單位向量
B．
C．向量的夾角的大小為
D．若向量，為實(shí)數(shù)），則
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算法則，對(duì)選項(xiàng)中的命題真假性判斷即可．
【解答】解：對(duì)于，因?yàn)椋?，，，，，
所以，且，選項(xiàng)正確；
對(duì)于，由，，得，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，由，計(jì)算，，
可得向量、的夾角大小為，選項(xiàng)正確；
對(duì)于，由，即，1，，1，，，，
即，解得，，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．
10．（5分）下列說(shuō)法中正確的是
A．若兩條直線互相平行，那么它們的斜率相等
B．方程能表示平面內(nèi)的任何直線
C．已知，直線與直線互相垂直，則的最小值為
D．若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則的取值范圍是
【分析】直接利用兩直線平行關(guān)系求解即可判斷，直接利用直線的方程兩點(diǎn)式的形式即可判斷，直接利用兩直線垂直關(guān)系求解即可判斷，利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系即可判斷．
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，若兩條直線均平行于軸，則兩條直線斜率都不存在，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)，若直線不平行于坐標(biāo)軸，則原方程可化為，為直線兩點(diǎn)式方程，
當(dāng)直線平行于軸，則原方程可化為，
當(dāng)直線平行于軸，則原方程可化為，
綜上所述，方程能表示平面內(nèi)的任何直線，故選項(xiàng)正確，
對(duì)于選項(xiàng)，，兩條直線的斜率都存在，
直線與直線互相垂直，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)，取得最小值為2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
對(duì)于選項(xiàng)，若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則，
解得：，故選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的方程的形式，直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，直線平行、垂直關(guān)系的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，下列結(jié)論正確的是
A．的方程為
B．在軸上存在異于，的兩定點(diǎn)，，使得
C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的平分線
D．在上存在點(diǎn)，使得
【分析】設(shè)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)可得的軌跡方程，可判斷；
假設(shè)在軸上存在異于，的兩定點(diǎn)，，使得，設(shè)出，的坐標(biāo)，求得軌跡方程，對(duì)照的軌跡方程可得，，可判斷；
當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由，由角平分線定理的逆定理，可判斷；
若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，可得的軌跡方程，聯(lián)立的軌跡方程，即可判斷．
【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，
設(shè)，則，
化簡(jiǎn)可得，故錯(cuò)誤；
假設(shè)在軸上存在異于，的兩定點(diǎn)，，使得，
可設(shè)，，可得，
化簡(jiǎn)可得，
由的軌跡方程為，可得，，
解得，或，（舍去），即存在，，故正確；
當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由，可得射線是的平分線，故正確；
若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，即有，
化簡(jiǎn)可得，聯(lián)立，可得方程組無(wú)解，故不存在，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法，考查圓方程的求法和運(yùn)用，以及兩點(diǎn)距離公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
12．（5分）已知三棱錐的棱，，兩兩垂直，，，為的中點(diǎn)，在棱上，且平面，則
A．
B．與平面所成的角為
C．三棱錐外接球的表面積為
D．點(diǎn)到平面的距離為
【分析】由題意可得為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算可表示出，判斷；證明平面，根據(jù)線面角的定義可求得與平面所成的角，判斷；將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，求得外接球半徑，可得外接球表面積，判斷；推出平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)可求得點(diǎn)到平面的距離，判斷．
【解答】解：對(duì)選項(xiàng)，平面，平面，平面平面，
，又為的中點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，
，正確；
對(duì)選項(xiàng)，根據(jù)題意可知，，兩兩相互垂直，又，，平面，
平面，
與平面所成的角為，
又，，正確；
對(duì)選項(xiàng)，，，兩兩相互垂直，
將三棱錐可補(bǔ)形，得到一個(gè)以，，為相鄰三條棱的長(zhǎng)方體，
又，，
三棱錐外接球的半徑，
三棱錐外接球的表面積為，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)，，，兩兩相互垂直，，，平面，
平面，又，
平面，又平面，
平面平面，又平面平面，
點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到的距離，
在中，，，，
邊上的高為，即到的距離為，選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的性質(zhì)定理，向量的線性運(yùn)算，分割補(bǔ)形法的應(yīng)用，三棱錐的外接球問題，面面垂直的性質(zhì)定理，點(diǎn)面距的求解，屬中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）已知直線，直線，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【分析】由題意利用兩直線平行的性質(zhì)，計(jì)算求得結(jié)果．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，與不平行，
當(dāng)時(shí)，
，
則且，即且，
解得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）已知圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓為圓，則直線的方程為 ．
【分析】分別求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，由半徑相等求得，再求出兩圓心的中點(diǎn)坐標(biāo)，由直線方程的點(diǎn)斜式求解．
【解答】解：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓可化為圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，
由題意，，解得，
所以圓的圓心為，則與的中點(diǎn)為，
直線的斜率為，
所以直線的方程為，
即．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的求法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．
15．（5分）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)．則的最大值是 5 ．
【分析】先計(jì)算出兩條動(dòng)直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，即和，注意到兩條動(dòng)直線相互垂直的特點(diǎn)，則有；再利用基本不等式放縮即可得出的最大值．
【解答】解：由題意可知，動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
動(dòng)直線即，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
注意到動(dòng)直線和動(dòng)直線始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，
則有，．
故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”
故答案為：5
【點(diǎn)評(píng)】本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有是個(gè)定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關(guān)系和不等式相結(jié)合，不容易想到，是個(gè)靈活的好題．
16．（5分）在空間直角坐標(biāo)系中，四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，2，，，1，，，2，，，0，．則該四面體外接球的表面積是 ．
【分析】易知，，三點(diǎn)豎坐標(biāo)相同，確定的平面與坐標(biāo)平面平行，且構(gòu)成直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)，故過(guò)的中點(diǎn)作平面的垂線，則球心在此垂線上，由此設(shè)球心坐標(biāo)，根據(jù)半徑相等，即可求出球心，進(jìn)而求得半徑，問題可解．
【解答】解：易知，且，，三點(diǎn)的豎坐標(biāo)相等，
故，，確定的平面與平面平行，且，
設(shè)的中點(diǎn)為，1，，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，
則該四面體的外接球球心在該直線上，故設(shè)外接球球心坐標(biāo)為，1，，
則外接球半徑，
即，
解得，故
故該四面體外接球的表面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)條件下空間幾何體外接球表面積的計(jì)算，利用球心的性質(zhì)切入是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17．（10分）如圖所示，射線、分別與軸正半軸成和角，過(guò)點(diǎn)作直線分別交、于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，求直線的方程．
【分析】先求出、所在的直線方程，對(duì)的斜率分類討論，分別與射線、聯(lián)立，求出、點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出坐標(biāo)，代入直線求出斜率求出，代入點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：因?yàn)樯渚€、分別與軸正半軸成和角，
所以、所在的直線方程分別是：，，
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則的方程為，
易知，，
所以的中點(diǎn)顯然不在直線上，不滿足條件；
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，記為，易知且，
則直線的方程為，
分別聯(lián)立，，
解得，，，，
所以的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)恰好落在直線上，
所以，
解得，
則直線的方程為：，即，
所以直線的方程為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分類討論思想、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線方程的點(diǎn)斜式、一般式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．
18．（12分）如圖所示，四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，，．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面所成角的余弦值．
【分析】（1）連接，利用勾股定理證明，又可證明，根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面和平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接，
在中，由，可得，
因?yàn)椋?br>所以，，
因?yàn)椋?，?br>則，
故，
因?yàn)椋?，，平面?br>則平面；
（2）解：由（1）可知，，，兩兩垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，
所以，
則，，，
又，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
故，
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋?br>所以，令，則，，
故，
所以，
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題．
19．（12分）已知圓方程．
（1）若圓與直線相交于，兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)）求的值；
（2）在（1）的條件下，求以為直徑的圓的方程．
【分析】（1）將圓的方程與直線方程聯(lián)立，設(shè)，，，，利用，可得，利用韋達(dá)定理，即可求出的值；
（2）確定圓心坐標(biāo)與半徑，即可求以為直徑的圓的方程．
【解答】解：（1）由得，
由，可得（2分）
于是由題意，
把代入，得（3分）
設(shè)，，，，則，（4分）
，
（5分）
，
，滿足題意（8分）
（2）設(shè)圓心為，則，．（9分）
半徑（12分）
圓的方程（13分）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查圓的方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．
20．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）已知是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且三棱錐的體積為，若點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為，求．
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可證得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論，
（2）取的中點(diǎn)，則可得，過(guò)作，與交于，則，可得，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可．
【解答】（1）證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>解：（2）取的中點(diǎn)，
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>過(guò)作，與交于，則，
由（1）可知平面，
因?yàn)?，平面，所以，?br>所以，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為1的等邊三角形，為的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)槿饩S的體積為，
所以，所以，
設(shè)，則，則
因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，
因?yàn)椋?br>所以，令，則，
所以，
因?yàn)槎娼堑拇笮椋?br>所以，
化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），
所以，
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角及空間向量的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
21．（12分）直線過(guò)點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求：
（1）當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，直線的方程；
（2）當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上截距之和取最小值時(shí)，直線的方程；
（3）當(dāng)取最小值時(shí)，直線的方程；
（4）當(dāng)取最小值時(shí)，直線的方程．
【分析】先設(shè)直線方程的截距式，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)可得，
（1）直接根據(jù)基本不等式即可求解；
（2）利用乘1法，結(jié)合基本不等式可求；
（3）先根據(jù)銳角三角函數(shù)定義表示，然后結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求；
（4）結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義表示，然后利用乘1法，結(jié)合基本不等式可求．
【解答】解：設(shè)直線，
直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
（1），
，當(dāng)且僅當(dāng)且，即、時(shí)等號(hào)成立，
取最小值為4，此時(shí)直線的方程為，即；
（2），，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即、時(shí)等號(hào)成立，
取最小值時(shí)為，
此時(shí)直線的方程為，即；
（3）過(guò)做軸的垂線，垂足為，過(guò)做軸的垂線，垂足為，
設(shè)，
則，，
則，
當(dāng)時(shí)，，取得最小值為4，
此時(shí)直線的傾斜角為，斜率為，其方程為，即；
（4）由（3）可知，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
取最小值為9，
此時(shí)直線的斜率為，方程為，
即．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線方程的求解，銳角三角函數(shù)的定義，基本不等式求解最值，屬于中檔題．
22．（12分）如圖，以為直徑的半圓所在平面與所在平面垂直，點(diǎn)，在半圓弧上，且，．
（1）證明：平面平面；
（2）若，且二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．
【分析】（1）利用等腰三角形的中線即為高，得到，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而得到，再證明四邊形為菱形，得到，從而證明平面，即可證明平面平面；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用線面角的計(jì)算公式求解即可．
【解答】（1）證明：因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，
又平面平面，交線為，故平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)榛』』?，故?br>所以為等邊三角形，故，
同理可得，，故四邊形為菱形，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，故平面平面；
（2）解：由（1）可知，平面，
取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，
所以，，兩兩垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，設(shè)，0，，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，故，
又平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)槎娼堑拇笮椋?br>所以，解得，
故，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，則，故，
所以，
故直線與平面所成角的正弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了面面垂直的證明以及線面角的求解，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題．
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