2023年12月
命題人：鄒宏運 審題人：李運秋
本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.
第一部分（選擇題共40分）
一?選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
3.已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（ ）
A. B. C. D.
4.設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
5.設(shè)是直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
6.“”是“函數(shù)在區(qū)間上最大值為2”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
7.若曲線上所有的點均在第二象限內(nèi)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8.埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，其側(cè)面與底面所成角的余弦值為，則側(cè)面三角形的底角的正切值為（ ）
A.2 B.3 C. D.
9.已知分別為定義域為的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的最大值是（ ）
A. B. C. D.
10.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一，勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖，在勒洛四面體中，正四面體ABCD的棱長為4，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.勒洛四面體最大的截面是正三角形
B.若是勒洛四面體表面上的任意兩點，則的最大值為4
C.勒洛四面體的體積是
D.勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是
第二部分（非選擇題共110分）
二?填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11.命題“”的否定是__________.
12.設(shè)點是圓：上的動點，定點，則的取值范圍為__________.
13.已知直三棱柱，則三棱柱的體積的最大值為__________；此時棱柱的高為__________.
14.素描是使用單一色彩表現(xiàn)明暗變化的一種繪畫方法，素描水平反映了繪畫者的空間造型能力，“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時常用的幾何體實物模型，圖1是某同學(xué)繪制的“十字貫穿體”的素描作品，“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點），若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”由兩個底面邊長為4，高為的正四棱柱構(gòu)成（圖2），則一只螞蟻從該“十字貫穿體”的點C出發(fā)，沿表面到達點D的最短路線長為__________.
15.在棱長為1的正方體中，點是對角線的動點（點與不重合），則下列結(jié)論正確的有__________.
①存在點，使得平面平面；
②分別是在平面，平面上的正投影圖形的面積，存在點，使得；
③對任意的點，都有；
④對任意的點的面積都不等于.
三?解答題共6小題，共85分.解答寫出文字說明?演算步驟或證明過程.
16.（13分）已知.
（1）求邊上的高所在的直線方程并求出高的長；
（2）求的外接圓的方程.
17.（14分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)面為等腰直角三角形，且，點為棱上的點，平面與棱交于點.
（1）求證：；
（2）從條件①?條件②?條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，求平面與平面所成銳二面角的大小.
條件①：；
條件②：平面平面；
條件③：.
18.（13分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
（1）求角的大??；
（2）若，，的面積為，求a，c的值.
19.（15分）已知點是邊長為2的菱形所在平面外一點，且點在底面上的射影是與的交點，已知，是等邊三角形.
（1）求證：；
（2）求點到平面的距離；
（3）若點是線段上的動點，問：點在何處時，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值時線段的長.
20.（15分）已知函數(shù).
（1）若，求曲線在點處的切線；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）當(dāng)時，若對任意實數(shù)，恒成立，求的取值范圍.
21.（15分）數(shù)列：，，…，滿足：，，或1（，2，…，），對任意i，j，都存在s，t，使得，其中且兩兩不相等.
（1）若，直接寫出下列三個數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號：
①1，1，1，2，2，2；
②1，1，1，1，2，2，2，2；
③1，1，1，1，1，2，2，2，2
（2）記，若，證明：；
（3）若，求n的最小值.
北京交大附中2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期12月診斷練習(xí)
高三數(shù)學(xué)參考答案
一?選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）
1.A 2.B 3.B 4.С 5.C 6.A 7.D 8.D 9.A 10.D
二?填空題（共5小題，每小題5分，共25分）
11. 12. 13.； 14.
15.①②③
三?解答題（共6小題，共85分）
16.（共13分）
解：（1），所以高所在直線斜率
所以高所在直線為方程為，就是方程
高的長為：方程為，所以高的長為
（2）設(shè)的外接圓的方程為，
將的坐標(biāo)代入，得
，即解得；
故所求圓的方程為.
17.（共14分）
（1）證明：因為底面是正方形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因為平面與交于點，平面，平面平面
所以.
（2）選條件①②，則，平面平面.
因為側(cè)面為等腰直角三角形，且，即，，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因為平面，平面，所以，，
又由為正方形得.
以點為坐標(biāo)原點，，，分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
因為，所以點為的中點，則，
從而，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，可得，
所以，
則兩平面所成的銳二面角為.
選條件①③，則，.
側(cè)面為等腰直角三角形，且，即，，
因為，，且兩直線在平面內(nèi)，可得平面，
因為平面，則.
又因為，，且兩直線在平面內(nèi)，
則平面，
因為平面則，
因為，所以為等腰三角形，所以點為的中點.
又因為，所以為等腰直角三角形，
則可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，以下用與①②相同的過程求解.
選條件②③，則平面平面，.
因為側(cè)面為等腰直角三角形，且，
即，，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因為平面，平面，所以，，
又由為正方形得.
因為，，且兩直線在平面內(nèi)，則平面，
因為平面，則，
因為，所以為等腰三角形，所以點為的中點，則.
則可建立與①②相同的空間直角坐標(biāo)系，以下的過程與①②相同.
18.（共13分）
（1），故，
即，整理得到，
，，
故，，
故.
（2），故，
，
故，
又，解得，.
19.（共15分）
（1）因為點在底面上的射影是與的交點，所以平面.
因為平面，所以.
因為四邊形為菱形，
所以.
因為平面，
所以平面.
因為平面，所以.
（2）由題意可得?與都是邊長為2的等邊三角形，
所以，.
所以.
因為，所以.
設(shè)點到平面的距離為，
由得，
即，解得.
故點到平面的距離為.
（3）設(shè)直線與平面所成的角為，
平面，
∴到平面的距離即為到平面的距離.
過作垂線平面交于點，則，
此時，要使最大，則需使最小，此時.
由題意可知：，
因為平面，且，
所以，，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，
由面積相等，
即，
經(jīng)計算得，
，則，
此時
20.（共15分）
（1）時，函數(shù)，則，切點坐標(biāo)為，
，則曲線在點處的切線斜率為，
所求切線方程為，
即.
（2），函數(shù)定義域為R，
①，解得或，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
②，解得或，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
③，恒成立，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時，由（2）可知為在上的極小值，也是最小值.
于是，所以
當(dāng)且時，
由于函數(shù)的圖像拋物線開口向上，對稱軸大于0，
因此，此時，符合題意.
所以的取值范圍為.
21.（共15分）
（1）對于①，由于，故或，不合題意；
對于②，當(dāng)時，存在s，t兩兩不相等，使得；
當(dāng)時，存在s，t兩兩不相等，使得；
當(dāng)時，存在s，t兩兩不相等，使得；符合題意；
同理③也符合題意，
故所有符合題目條件的數(shù)列的序號為②③；
（2）證明：當(dāng)時，設(shè)數(shù)列中1，2，3出現(xiàn)的頻數(shù)依次為，
由題意知，
假設(shè)，則有，（對任意），與已知矛盾，
故，同理可證；
假設(shè)，則存在唯一的使得，
那么對于，都有，（k，s，t兩兩不相等），
與已知矛盾，故；
綜上可得，
所以，
即.
（2）設(shè)出現(xiàn)的頻數(shù)依次為，
同（2）的證明，，，則；
取，，
得到的數(shù)列為：，
下面證明該數(shù)列滿足題目要求：
對于，不妨令，
如果，或，由于，故符合條件；
②如果，或，由于，，
故也符合條件；
③如果，則可選取，，
同樣的，如果，，則可選取，
使得，且兩兩不相等；
④如果，則可選取，
注意到這種情況每個數(shù)最多被選取了一次，因此也符合條件，
綜上，對任意i，j，都存在s，t，使得，其中且兩兩不相等，
即數(shù)列符合題目要求，
故n的最小值為2030.

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