1. 下列各式中關(guān)系符號(hào)運(yùn)用正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)“”與“”的區(qū)別，以及的含義直接判斷即可.
【詳解】“”是用于集合與集合之間，故A錯(cuò)誤；
“”用于元素與集合之間，故D錯(cuò)誤；
是任何集合的子集，故C正確；
是以為元素的集合，而集合的元素中沒(méi)有，故B錯(cuò)誤.
故選：C
2. 已知對(duì)數(shù)式有意義，則a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)式的意義列不等式組求解可得.
【詳解】由有意義可知，解得且，
所以a的取值范圍為.
故選：B
3. 已知R，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】解出兩個(gè)不等式，根據(jù)范圍判斷即可.
【詳解】由，得，
由，得，即或；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 已知，則( )
A. B. C. D. 的大小無(wú)法確定
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，采用作差法，可得答案.
【詳解】，
故，所以.
故選：C.
5. 若集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)分式不等式求解出集合，然后對(duì)集合中參數(shù)與的關(guān)系作分類(lèi)討論，根據(jù)子集關(guān)系確定出的范圍.
【詳解】因，所以，所以或，
所以或，
當(dāng)時(shí)，不成立，所以，所以滿足，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，所以?br>當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以，所以?br>綜上可知：.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解以及根據(jù)集合間的包含關(guān)系求解參數(shù)范圍，難度一般.解分式不等式的方法：將分式不等式先轉(zhuǎn)化為整式不等式，然后根據(jù)一元二次不等式的解法或者高次不等式的解法(數(shù)軸穿根法)求出解集.
6. 已知，，且，則( )
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式即可獲解.
【詳解】，，
，
，，
，
故選：A
7. 若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足上且存在這樣的x，y使不等式有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】妙用“1”，利用基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式求得的取值范圍.
詳解】原問(wèn)題等價(jià)于
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
所以，即
解得或，
所以的取值范圍是.
故選：C
8. 已知集合，對(duì)于它的任一非空子集A，可以將A中的每一個(gè)元素k都乘以再求和，例如，則可求得和為，對(duì)S的所有非空子集，這些和的總和為
A. 508B. 512C. 1020D. 1024
【答案】B
【解析】
【分析】由集合的子集個(gè)數(shù)的運(yùn)算及簡(jiǎn)單的合情推理可得；這些總和是.
【詳解】因?yàn)樵卦诩蟂的所有非空子集中分別出現(xiàn)次，則對(duì)S的所有非空子集中元素k執(zhí)行乘以再求和操作,則這些和的總和是.
故選B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的子集及子集個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)單的合情推理，屬于中檔題.
二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列計(jì)算正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得答案.
【詳解】，，
，，
故選：ABD
10. 已知集合，定義且，則下列說(shuō)法正確的有( )
A. 若，，則，
B.
C.
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合交集、并集的定義逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.
【詳解】集合，定義且，
對(duì)于A，集合，，則且，
且，A正確；
對(duì)于B，且，且，則，B正確；
對(duì)于C，取選項(xiàng)A中的集合A與B，有，而，C不正確；
對(duì)于D，當(dāng)，則且成立，D正確.
故選：ABD
11. 已知，，且，則( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式可判斷ABD的正誤，利用不等式的性質(zhì)可判斷C的正誤.
【詳解】因?yàn)?，，且，由基本不等式可得?br>故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤.
而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
故B正確.
又，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
故，故D正確.
而，故，故C正確.
故選：BCD.
12. 設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意，都存在，使得成立，那么稱(chēng)為集合X的聚點(diǎn).則下列集合中，0為該集合的聚點(diǎn)的有( )
A. B.
C. D. 整數(shù)集Z
【答案】AC
【解析】
【分析】利用集合聚點(diǎn)的新定義，集合集合的表示及元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.
【詳解】A.因?yàn)榧现械脑厥菢O限為0的數(shù)列，所以對(duì)于任意，都存在，使得成立，所以0為集合的聚點(diǎn)，故正確；
B. 因?yàn)榧现械脑厥菢O限為1的數(shù)列，除第一項(xiàng)外，其余項(xiàng)都至少比0大，所以對(duì)于時(shí)，不存在滿足的x，所以0不為集合的聚點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
C. 對(duì)任意，都存在，使得成立，那所以0為集合聚點(diǎn)，故正確；
D. 對(duì)任意，如，對(duì)任意的整數(shù)，都有或成立，不可能有成立，所以0不是集合整數(shù)集Z 的聚點(diǎn)，故錯(cuò)誤；
故選：AC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 的值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，指數(shù)的運(yùn)算，代入運(yùn)算即可得解.
【詳解】解：原式．
故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)冪的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.
14. 若，，，則的最小值為_(kāi)_______
【答案】
【解析】
【分析】將變形為，結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故的最小值為.
故答案為：.
15. 已知，，設(shè)不等式的解集為，則不等式的解集為_(kāi)_____．
【答案】或
【解析】
【分析】利用韋達(dá)定理可得a、b、c、d的關(guān)系，代入目標(biāo)不等式求解可得.
【詳解】由題知，為方程的兩根，
因?yàn)?br>所以
所以
解方程得，
因?yàn)椋圆坏仁降慕饧癁榛?
故答案為：或
16. 已知a＞b，關(guān)于x的不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在實(shí)數(shù)，使得成立，則最小值為_(kāi)________．
【答案】
【解析】
【分析】由對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，進(jìn)而可得的值為1，將可化為，利用基本不等式可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閷?duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為，
故答案為：
四．解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. (1)已知，，試用表示；
(2)已知()，求．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)利用換底公式即可求解.
(2)利用指數(shù)的運(yùn)算即可求解.
【詳解】(1)由換底公式得．
(2)由于，且，所以；
又；
所以．
18. 設(shè)集合，，或．
(1)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若中只有一個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根據(jù)集合交集性質(zhì)，可得兩集合之間的關(guān)系，分類(lèi)討論是否為空集，列出不等式，可得答案；
(2)由題意，明確交集中的唯一的整數(shù)，結(jié)合這個(gè)整數(shù)，列出不等式，可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以?br>①當(dāng)時(shí)，由，得，解得；
②當(dāng)，即時(shí)，成立．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)橹兄挥幸粋€(gè)整數(shù)，所以，且，解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．
19. 已知：，:.
(1)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)將代入即可求解；(2)首先結(jié)合已知條件分別求出命題和的解，寫(xiě)出，然后利用充分不必要的特征即可求解.
【詳解】(1)由題意可知，，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為；
(2)由，解得或，
由，解得，
故命題：或；命題：，
從而：或，
因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，
所以或或，
從而，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
20. 已知二次函數(shù)．
(1)若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，求的解集；
(2)若點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖象上，且，求的最小值．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】(1)由題意可得，即，討論，，，時(shí)，結(jié)合二次不等式的解法，不等式的解集，可得所求解集；
(2)依題意可得，，可得，運(yùn)用基本不等式和討論，，可得所求最小值．
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)上，
所以，即，
所以不等式，即，即，
①當(dāng)時(shí)，解得，即不等式的解集為；
②當(dāng)時(shí)，原不等式即為，則不等式的解集為；
③當(dāng)時(shí)，解得或，即不等式的解集為；
④當(dāng)時(shí)，解得或，即不等式的解集為；
綜上可得，當(dāng)時(shí)不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)不等式的解集為.
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)上，
所以，即，
因，所以，
所以，
當(dāng)時(shí)，，可得的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，，可得的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立．
所以的最小值為．
21. 為了加強(qiáng)“平安校園”建設(shè)，有效遏制涉校案件的發(fā)生，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門(mén)口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的校園警務(wù)室.由子此警務(wù)室的后背靠墻，無(wú)需建造費(fèi)用，甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元，設(shè)屋子的左右兩面墻的長(zhǎng)度均為米.
(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？并求出最低報(bào)價(jià).
(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此警務(wù)室的建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，苦無(wú)論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度為4米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低為28800元；(2).
【解析】
【分析】(1)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為元，求出，再利用基本不等式求解；
(2)由題意可得對(duì)任意的恒成立，化簡(jiǎn)得恒成立，利用基本不等式求函數(shù)的最小值得解.
【詳解】(1)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為元，
則，
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度為4米時(shí)，甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低為28800元.
(2)由題意可得，對(duì)任意的恒成立.
即，從而恒成立，
令，，
故.所以.
【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題的求解，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
22. 對(duì)于任意的，記集合，，若集合滿足下列條件：① ；② ，且，不存在，使，則稱(chēng)具有性質(zhì)．如當(dāng)時(shí)，，，，且，不存在，使，所以具有性質(zhì)．
(1)寫(xiě)出集合，中的元素個(gè)數(shù)，并判斷是否具有性質(zhì)．
(2)是否存在、具有性質(zhì)，且，使，若存在請(qǐng)求出、，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)若存在、具有性質(zhì)，且，使，求的最大值．
【答案】(1)，中的元素個(gè)數(shù)分別為9，14，不具有性質(zhì)．
(2)證明見(jiàn)解析 (3)
【解析】
【分析】(1)由已知條件能求出集合，中的元素個(gè)數(shù)，并判斷出不具有性質(zhì)．
(2)假設(shè)存在，具有性質(zhì)，且，使．其中，2，3，，，從而，由此推導(dǎo)出與具有性質(zhì)矛盾．從而假設(shè)不成立，即不存在，具有性質(zhì)，且，使．
(3)當(dāng)時(shí)，不存在，具有性質(zhì)，且，使．，根據(jù)、、分類(lèi)討論，能求出的最大值為14．
【小問(wèn)1詳解】
解： 對(duì)于任意的，記集合，2，3，，，．當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，集合，中的元素個(gè)數(shù)分別為9，，
集合滿足下列條件：①；②，，且，不存在，使，則稱(chēng)具有性質(zhì)，
因?yàn)?，，，，不符合題意，
不具有性質(zhì)．
【小問(wèn)2詳解】
證明：假設(shè)存在，具有性質(zhì)，且，使．其中，2，3，，．
因?yàn)?，所以?br>不妨設(shè)．因?yàn)椋?，?br>同理，，．因?yàn)?，這與具有性質(zhì)矛盾．
所以假設(shè)不成立，即不存在，具有性質(zhì)，且，使．
【小問(wèn)3詳解】
解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由(2)知，不存在，具有性質(zhì)，且，使．
若，當(dāng)時(shí)，，
取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，，
則，具有性質(zhì)，且，使．
當(dāng)時(shí)，集合中除整數(shù)外，其余的數(shù)組成集合為，
令，，
則，具有性質(zhì)，且，使．
當(dāng)時(shí)，集中除整數(shù)外，其余的數(shù)組成集合，
令，．
則，具有性質(zhì)，且，使．
集合中的數(shù)均為無(wú)理數(shù)，
它與中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，
因此，令，，則，且．
綜上，所求的最大值為14．

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