2022-2023學(xué)年江蘇省南通中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則的真子集的個(gè)數(shù)為（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】集合的元素是個(gè)，則其真子集個(gè)數(shù)是個(gè).【詳解】，則的真子集為：故選：C2．下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的有（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的概念逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)的概念知，對(duì)于定義域內(nèi)任意，都有唯一確定的和它對(duì)應(yīng)，由圖象可看出，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，不符合；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，不符合；對(duì)于C，符合定義域內(nèi)任意，都有唯一確定的和它對(duì)應(yīng)，可表示函數(shù)關(guān)系；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)值與其對(duì)應(yīng)，不符合.故選：C.3．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且時(shí)，單調(diào)遞減，則的值為（    ）A． B．1 C．2或 D．2【答案】A【分析】利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列式計(jì)算并判斷.【詳解】∵ 是冪函數(shù)，∴，即，解得，或，又當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)，，符合題意，故．故選：A．4．鏡片的厚度是由鏡片的折射率決定，鏡片的折射率越高，鏡片越薄，同時(shí)鏡片越輕，也就會(huì)帶來(lái)更為舒適的佩戴體驗(yàn)．某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙、丙三位同學(xué)分別制作了三種不同的樹(shù)脂鏡片，折射率分別為，，．則這三種鏡片中，制作出最薄鏡片和最厚鏡片的同學(xué)分別為（    ）A．甲同學(xué)和乙同學(xué) B．丙同學(xué)和乙同學(xué)C．乙同學(xué)和甲同學(xué) D．丙同學(xué)和甲同學(xué)【答案】C【分析】判斷出，，的大小關(guān)系即可得出答案.【詳解】，．∵．∴．又∵，，∴．∴有．又因?yàn)殓R片折射率越高，鏡片越薄，故甲同學(xué)創(chuàng)作的鏡片最厚，乙同學(xué)創(chuàng)作的鏡片最?。?/span>故選：C.5．已知為實(shí)數(shù)，使“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的真假性求得的取值范圍，然后確定其充分不必要條件.【詳解】解：依題意，全稱量詞命題：為真命題，所以，在區(qū)間上恒成立，所以，所以使“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是“”.故選：B6．已知函數(shù)由下表給出，若，則12341312 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】結(jié)合表格數(shù)據(jù)可得的值,進(jìn)而可求得的值,即可求得.【詳解】由題可得,,則,故.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的求法,利用表格中的數(shù)據(jù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意列出不等式組，求解即可．【詳解】要使有意義，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．故選：D．8．一次速算表演中，主持人出題：一個(gè)35位整數(shù)的31次方根仍是一個(gè)整數(shù)，下面我報(bào)出這個(gè)35位數(shù)，請(qǐng)說(shuō)出它的31次方根.這個(gè)35位數(shù)是……未等主持人報(bào)出第一位數(shù)字，速算專(zhuān)家己經(jīng)寫(xiě)出了這個(gè)數(shù)的31次方根：13.其實(shí)因?yàn)橹挥幸粋€(gè)整數(shù)，它的31次方是一個(gè)35位整數(shù).速算專(zhuān)家心中記住了右表（表中常用對(duì)數(shù)為近似值）.請(qǐng)你也嘗試借助此表求一求：一個(gè)31位整數(shù)的64次方根仍是一個(gè)整數(shù)，這個(gè)64次方根是（    ）真數(shù)常用對(duì)數(shù)真數(shù)常用對(duì)數(shù)20.30111.0430.48121.0840.60131.1150.70141.1560.78151.1870.85161.2080.90171.2390.95181.26101.00191.28 A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由題意可知，兩邊取對(duì)數(shù)，然后計(jì)算出的取值范圍，查表即可得出答案.【詳解】解：由題意得：，，，即，故此，即，又因?yàn)?/span>為整數(shù)，故根據(jù)上表可知：，故選：B 二、多選題9．若不等式的解集是，則下列對(duì)于系數(shù)，，的結(jié)論中，正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由一元二次不等式與一元二次方程根的關(guān)系及韋達(dá)定理可得b、c可用a的代數(shù)式表示，檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得結(jié)果.【詳解】由題意知： A項(xiàng)： ，即：A項(xiàng)正確；B項(xiàng)： ，即：B項(xiàng)正確；C項(xiàng)： ，即：C項(xiàng)正確；D項(xiàng)：，即：D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.10．下列說(shuō)法中，正確的是（    ）A．集合和表示同一個(gè)集合B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C．若，，則用，表示D．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，【答案】BC【分析】對(duì)于A，根據(jù)集合的定義即可判斷；對(duì)于B，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于C，利用對(duì)數(shù)的換底公式及運(yùn)算性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D，利用函數(shù)的奇偶性求對(duì)稱區(qū)間上的解析式即可判斷.【詳解】對(duì)于A，集合中元素為數(shù)，集合為點(diǎn)，可知表示的不是同一個(gè)集合，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)解得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，令則，為二次函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)為增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，，根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式可得，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，可令，則，所以，又因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以，與題干結(jié)果不符，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知，，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用換元結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解；對(duì)于B、C、D三個(gè)選項(xiàng)可以利用基本不等式證明求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，，所以，即，所以，又因?yàn)?/span>，所以，可知A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，可知B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?/span>，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，可知C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，可知D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12．定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則以下結(jié)論正確的是（    ）A． B．為奇函數(shù)C．為單調(diào)減函數(shù) D．為單調(diào)增函數(shù)【答案】ABD【分析】A.令求解判斷；B.令求解判斷；CD.令，，且，由判斷其符號(hào)即可.【詳解】解：令得，即得，A正確；在定義域范圍內(nèi)令得，即得是奇函數(shù)，B正確；令，，且，所以，又且，，所以，即，所以，即所以在上是單調(diào)增函數(shù)，D正確，C錯(cuò)誤．故選：ABD． 三、填空題13．計(jì)算：________.【答案】3【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)恒等式運(yùn)算即可.【詳解】解：.故答案為：3.14．已知函數(shù)，則________.【答案】【分析】用換元法求解析式,令,得,代入,即可得到的解析式【詳解】解：令,得,代入得即的解析式為故答案為：15．已知為正實(shí)數(shù)，則的最小值為__________． 【答案】6【分析】將原式變形為，結(jié)合基本不等式即可求得最值.【詳解】由題得，設(shè)，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.所以的最小值為6.故答案為：6 四、雙空題16．已知函數(shù)，其中，（1）若函數(shù)在單調(diào)，則實(shí)數(shù)的范圍是__________；（2）若存在互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，，，使得，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>__________.【答案】          【分析】（1）利用單調(diào)性的定義進(jìn)行處理.（2）利用函數(shù)圖象以及換元法來(lái)處理.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，其對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，若函數(shù)在單調(diào)，則，解得.（2）若存在互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，，，使得，則的圖象如圖所示：則，即，解得或(舍去).對(duì)于函數(shù)，令，，所以，其對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，所以，則函數(shù)的值域?yàn)?/span>.故答案為：，. 五、解答題17．（1）求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）把平方，結(jié)合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案．【詳解】（1）；（2），，，，．18．已知命題：對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式都成立，命題：關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根.若命題，有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【分析】先求出真、真時(shí)的取值范圍，根據(jù)題設(shè)條件可得真假或假真，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若真，對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式都成立.∴當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)于任意實(shí)數(shù)，不等式不都成立當(dāng)時(shí)，，解得∴真時(shí)，；若真，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴， ∴真時(shí)，.∵命題、中有且僅有一個(gè)真命題，∴當(dāng)真假時(shí)，且，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是：；當(dāng)假真時(shí)，且，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是：；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為19．已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù).（1）確定的解析式；（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）解不等式.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）利用奇函數(shù)的定義，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)計(jì)算可求得實(shí)數(shù)，進(jìn)而可得出函數(shù)的解析式；（2）任取、，且，作差，化簡(jiǎn)變形后判斷的符號(hào)，即可證得結(jié)論；（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)將所求不等式變形為，再利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由于函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，因此，；（2）任取、，且，即，則，，，，，，，.，，因此，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）由（2）可知，函數(shù)是定義域?yàn)?/span>的減函數(shù)，且為奇函數(shù)，由得，所以，解得.因此，不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)不等式的求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20．某地?cái)M建造一座大型體育館，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓如圖所示，曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的四分之一部分，其中，軸，垂足為；曲線是拋物線的一部分；，垂足為，且恰好等于的半徑，假定擬建體育館的高（單位：米，下同）.(1)試將用和表示；(2)若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過(guò)75米，求的取值范圍.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)拋物線方程求得，從而可得半徑，即，進(jìn)而求解出點(diǎn)坐標(biāo)后，可知；（2）根據(jù)題意，恒成立，即恒成立，再根據(jù)基本不等式求最值即可得答案.【詳解】（1）解：由拋物線方程得： ，∵，均為圓的半徑，，圓的半徑為：，∴，入拋物線方程可得，解得，∵曲線是以點(diǎn)為圓心的圓的四分之一部分，其中，軸，垂足為，∴，∴，.（2）解：∵要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過(guò)75米，，整理可得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）， ，.∴的取值范圍為：21．已知集合，集合.(1)若，求的取值范圍；(2)在中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，求的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解法、集合并集的性質(zhì)分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)集合交集的定義，結(jié)合題意進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由，所以.由，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式為，顯然該不等式解集為空集，即，顯然成立；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，要想，只需，而，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，要想，只需，而，所以，綜上所述：的取值范圍為；（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不符合題意；由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，要想中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，只需，或，由，顯然，所以，由，所以；由（1）可知：時(shí)，，要想中有且僅有兩個(gè)整數(shù)，只需，或，由，而，即，由，所以，綜上所述：的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)一元二次方程兩根的大小確定一元二次不等式的解集，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.22．對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是，則稱是該函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”．(1)寫(xiě)出函數(shù)的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”；(2)求證：函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”；(3)已知函數(shù)有“優(yōu)美區(qū)間”，當(dāng)變化時(shí)，求出的最大值．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3) 【分析】（1）結(jié)合“優(yōu)美區(qū)間”的定義，即可寫(xiě)出函數(shù)的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”；（2）若函數(shù)存在“優(yōu)美區(qū)間”，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而可得，聯(lián)立可推出矛盾，即可證明結(jié)論；（3）函數(shù)有“優(yōu)美區(qū)間”，結(jié)合單調(diào)性可得，說(shuō)明是方程的兩個(gè)同號(hào)且不等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求得的關(guān)系，進(jìn)而可求得的最大值．【詳解】（1）是的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”，證明如下：在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，∴的值域?yàn)?/span>，∴是的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”．（2）設(shè)是函數(shù)的定義域的子集．由，可得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減．若是函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”，則，兩式相減得，，則，，則，顯然等式不成立，∴函數(shù)不存在“優(yōu)美區(qū)間”．（3）的定義域?yàn)?/span>，是函數(shù)的定義域的子集，則或，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，若是函數(shù)的“優(yōu)美區(qū)間”，則，∴是方程，即的兩個(gè)同號(hào)且不等的實(shí)數(shù)根．，∴同號(hào)，只需，解得或，，，，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值． 

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