2023.11
命題：丁君斌（臺(tái)州一中） 王強(qiáng)（三門中學(xué)）
審題：莊豐（玉環(huán)中學(xué)）
本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。
選擇題部分（共60分）
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．若，則的取值可以為（ ）
A．B．C．D．
3．已知非零向量，，滿足，，若為在上的投影向量，則向量，夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
4．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，且，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬9月14日在浙江臺(tái)州傳遞，火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺(tái)州活力城市”為主題，全長8公里．從和合公園出發(fā)，途經(jīng)臺(tái)州市圖書館、文化館、體育中心等地標(biāo)建筑．假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（ ）
A．288種B．360種C．480種D．504種
6．函數(shù)的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（ ）
A．B．
C．D．
7．已知二面角的平面角為，，，，，，與平面所成角為．記的面積為，的面積為，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
8．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取5次，每次取一個(gè)球．記錄每次取到的數(shù)字，統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)這5個(gè)數(shù)字的平均數(shù)為2，方差小于1，則（ ）
A．可能取到數(shù)字4B．中位數(shù)可能是2C．極差可能是4D．眾數(shù)可能是2
10．已知等差數(shù)列中，，公差為，，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則
D．若，則
11．已知為雙曲線：上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，則（ ）
A．若，則B．若，則的面積為9
C．D．的最小值為8
12．已知是定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，，，，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）
C．存在，D．若，則
非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．若（為虛數(shù)單位），則______．
14．浙江省高考實(shí)行“七選三”選科模式，賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．甲、乙、丙三所學(xué)玟分別有75%，60%，50%的學(xué)生選了物理，這三所學(xué)校的學(xué)生數(shù)之比為，現(xiàn)從這三所學(xué)玟中隨機(jī)選取一個(gè)學(xué)生，則這個(gè)學(xué)生選了物理的概率為______．
15．在中，角，，所對(duì)的分別為，，．若角為銳角，，，則的周長可能為______．（寫出一個(gè)符合題意的答案即可）
16．拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．過拋物線：上的點(diǎn)（不為原點(diǎn)）作的切線，過坐標(biāo)原點(diǎn)作，垂足為，直線（為拋物線的焦點(diǎn)）與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)，則的取值范圍是______．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，若，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
18．已知．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最小正周期以及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的值域．
19．如圖，已知四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，，．將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．
（第19題）
（Ⅰ）若平面平面，求證：；
（Ⅱ）若點(diǎn)到直線的距離為，求二面角的平面角的余弦值．
20．為了了解高中學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間（分鐘/每天）和他們的數(shù)學(xué)成繞（分）的關(guān)系，某實(shí)驗(yàn)小組做了調(diào)查，得到一些數(shù)據(jù)（表一）．
表一
（Ⅰ）請根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出，的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并由此預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間為100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績：（參考數(shù)據(jù)：，，的方差為200）
（Ⅱ）基于上述調(diào)查，某校提倡學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)．經(jīng)過一學(xué)期的實(shí)施后，抽樣調(diào)查了220位學(xué)生．按照是否參與周未在校自主學(xué)習(xí)以及成績是否有進(jìn)步統(tǒng)計(jì)，得到列聯(lián)表（表二）．依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”是否有關(guān)．
表二
附：，．．
21．已知橢圓：的上、下頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），中點(diǎn)的軌跡交軸于，兩點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）記直線，的斜率分別為，，求的最小值．
22．設(shè)
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若恒成立，求整數(shù)的最大值．（參考數(shù)據(jù)，）
臺(tái)州市2024屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量評(píng)估試題
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2023.11
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．B2．C3．B4．A
5．C6．A7．D8．A
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．BD10．BCD11．ABD12．ABD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．14．15．9（答案不唯一，內(nèi)的任何一個(gè)值均可）
16．
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）設(shè)的公比為，依題意得：，
即，解得或（舍去）．
又由，解得，故；
（Ⅱ）因?yàn)椋?br>所以
．
18．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
令，，得，，
所以函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（Ⅱ）設(shè)，則，
令，，又，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以的值域?yàn)椋?br>19．（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且為等邊三角形，所以?br>又為的中點(diǎn)，所以，所以為等腰三角形，
故，所以，即
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，又平面，所以．
（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>取的中點(diǎn)，則，由（Ⅰ）得，所以，
所以即為二面角的平面角，記為．
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，，
；，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
由，解得，或，
所以二面角的平面角的余弦值為或．
20．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ），
，又，的方差為，
所以，
，故，當(dāng)時(shí)，，
故預(yù)測每天課后自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到100分鐘時(shí)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?40.5分．
（Ⅱ）零假設(shè)為：學(xué)生周末在校自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步無關(guān)．
根據(jù)數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：
，
因?yàn)椋砸罁?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“周末自主學(xué)習(xí)與成績進(jìn)步”有關(guān)．
21．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設(shè)中點(diǎn)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，可得，即，
由點(diǎn)在橢圓：上，所以，
令，得，由，解得，故橢圓的方程為．
（Ⅱ）設(shè)：，，，．
由得，，，
又，，
，
令，得，
當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．
22．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）要證：，（，），
只要證：，因?yàn)榕c同號(hào)，只要證：，即證：．
令，（，），，
由，得，所以在上遞減，在上遞增，
所以，故原不等式得證．
（Ⅱ）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，有，
則，所以整數(shù)．
當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）可得，
下證：，，只要證：．
令，，
因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞減，故，所以得證．
綜上所述，整數(shù)的最大值為2．編號(hào)
1
2
3
4
5
學(xué)習(xí)時(shí)間
30
40
50
60
70
數(shù)學(xué)成績
65
78
85
99
108
沒有進(jìn)步
有進(jìn)步
合計(jì)
參與周末在校自主學(xué)習(xí)
35
130
165
未參與周末不在校自主學(xué)習(xí)
25
30
55
合計(jì)
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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