一、單選題
1．設(shè)全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，將集合化簡(jiǎn)，結(jié)合集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，?br>則，所以.
故選：D
2．復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由虛數(shù)單位的乘方的性質(zhì)結(jié)合除法運(yùn)算可得，進(jìn)而可得共軛復(fù)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以可化為
所以，
所以.
故選：C.
3．已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)．若，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)離心率及，建立關(guān)于的等式即可得解.
【詳解】顯然離心率，解得，即，
分別為C的左右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，則，，
于是，而，
即，又，因此聯(lián)立解得，
所以橢圓的方程為.
故選：B
4．過(guò)圓內(nèi)點(diǎn)有若干條弦，它們的長(zhǎng)度構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，且，其中分別為過(guò)點(diǎn)的圓的最短弦長(zhǎng)和最長(zhǎng)弦長(zhǎng)，則的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，再結(jié)合等差數(shù)列運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，則，
可知，
因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，解得，
又因?yàn)榍遥瑒t，
所以的取值集合為.
故選：C.
5．如圖，正方形中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)給定圖形，用表示向量，再利用共線向量定理的推論，結(jié)合“1”的妙用求解即得.
【詳解】正方形中，，則，
而，則，
又點(diǎn)共線，于是，即，而，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故選：C
6．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由得，即函數(shù)的周期為4，利用函數(shù)的周期性，奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
【詳解】由以及偶函數(shù)可得，
故，由此可得，
即函數(shù)的周期是4．
偶函數(shù)在,上單調(diào)遞增，函數(shù)在,上單調(diào)遞減．
，
,,
故
即．
故選：A
7．2023賀歲檔電影精彩紛呈，小明期待去影院觀看．小明家附近有甲、乙兩家影院，小明第一天去甲、乙兩家影院觀影的概率分別為和．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率為；如果他第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率為．若小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)出事件，根據(jù)條件概率公式得到，結(jié)合全概率公式求出答案.
【詳解】設(shè)小明第一天去甲影院為事件A，第二天去甲影院為事件B，小明第一天去乙影院為事件C，第二天去乙影院為事件D.
故，
由可得，
故，
則小明第二天去了甲影院，則第一天去乙影院的概率為.
故選：D
8．已知，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，利用同構(gòu)得到，結(jié)合的單調(diào)性得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和最值，得到最大值為，故，求出答案.
【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，
即，，
令，則，
因?yàn)楹愠闪ⅲ试赗上單調(diào)遞增，
故，
即，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，最大值為，
故，解得.
故選：B
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來(lái)進(jìn)行求解，本題難點(diǎn)是將變形得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.
二、多選題
9．已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．“”是“與的夾角為鈍角”的充要條件
D．若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為
【答案】ABD
【分析】A項(xiàng)，利用向量的模的坐標(biāo)運(yùn)算；B項(xiàng)，利用向量共線的坐標(biāo)條件求解；C項(xiàng)，由共線反向特例可知；D項(xiàng)，結(jié)合數(shù)量積與單位向量表示投影向量即可.
【詳解】選項(xiàng)A，若，則，又，
則，
則，
故，A項(xiàng)正確；
選項(xiàng)B，，
若，則，解得，B項(xiàng)正確；
選項(xiàng)C，，
若，則，其中當(dāng)時(shí)，與共線且反向，
此時(shí)與的夾角為鈍角，故與的夾角為鈍角，
即“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件，C項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，若，則，又，
則，
則在上的投影向量的坐標(biāo)，
故D正確.
故選：ABD.
10．小張等四人去甲、乙、丙三個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，記事件A為“恰有兩人所去景點(diǎn)相同”，事件為“只有小張去甲景點(diǎn)”，則（ ）
A．這四人不同的旅游方案共有64種B．“每個(gè)景點(diǎn)都有人去”的方案共有72種
C．D．“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率是
【答案】CD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出答案；B選項(xiàng)，根據(jù)部分平均分組方法計(jì)算出答案；C選項(xiàng)，利用排列組合知識(shí)得到，，利用條件概率公式求出答案；D選項(xiàng)，求出四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)的方案數(shù)，結(jié)合A中所求，求出概率.
【詳解】A選項(xiàng)，每個(gè)人都有3種選擇，故共有種旅游方案，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，每個(gè)景點(diǎn)都有人去，則必有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人，另外兩個(gè)景點(diǎn)各去1人，
故有種方案，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，恰有兩人所去景點(diǎn)相同，即有1個(gè)景點(diǎn)去了2個(gè)人，另外兩個(gè)景點(diǎn)各去1人，
由B選項(xiàng)可知，，
又事件，即小張去甲景點(diǎn)，另外3人有兩人去了同一個(gè)景點(diǎn)，其余1人去另一個(gè)景點(diǎn)，
故，
所以，C正確；
D選項(xiàng)，“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”，分為2種情況，
第一，有3人去了同一個(gè)景點(diǎn)，另外一個(gè)去另外一個(gè)景點(diǎn)，則有種方案，
第二，2人去了同一個(gè)景點(diǎn)，另外2人去了另一個(gè)景點(diǎn)，故有種方案，
由A選項(xiàng)可知，這四人不同的旅游方案共有81種，
故“四個(gè)人只去了兩個(gè)景點(diǎn)”的概率為，D正確.
故選：CD
11．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．過(guò)的平面截該正方體，所得截面面積的最大值為16
C．當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為
D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球表面積為
【答案】ACD
【分析】利用面面平行的性質(zhì)判斷A；求出對(duì)角面面積判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出夾角余弦判斷C；確定點(diǎn)N位置求出外接球表面積判斷D.
【詳解】在棱長(zhǎng)為4的正方體中，
對(duì)于A，連接，正方體的對(duì)角面是矩形，則，
而平面，平面，于是平面，同理平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
所以平面，A正確；
對(duì)于B，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，平面是過(guò)的平面，
矩形是該平面截該正方體所得截面，而矩形的面積為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
設(shè)異面直線與所成的角為，則
，C正確；
對(duì)于D，三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)面積最大，當(dāng)且僅當(dāng)與重合，
此時(shí)三棱錐的外接球即為正方體的外接球，其球半徑，
所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球表面積為，D正確.
故選：ACD
12．已知函數(shù)，則（ ）
A．若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的值可能為3
B．若關(guān)于的方程在上恰有四個(gè)實(shí)根，則的取值范圍為
C．若將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值是1
D．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則
【答案】BC
【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸代入得出判斷A，由根的個(gè)數(shù)可確定，據(jù)此判斷B，平移后由函數(shù)為奇函數(shù)可得，可判斷C，特殊值檢驗(yàn)可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，則，
因?yàn)?，則的值不可能為3，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
若在上恰有四個(gè)實(shí)根，
則，解得，故B正確；
對(duì)于C，由已知得，
因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為奇函數(shù)，
所以，即，
因?yàn)?，所以的最小值?，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?br>所以，所以函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
三、填空題
13．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．若為和的等差中項(xiàng)，，則 ．
【答案】11
【分析】利用性質(zhì)轉(zhuǎn)化為基本量運(yùn)算，求出，再利用前項(xiàng)和公式可求.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
為和的等差中項(xiàng)，
，即，
化簡(jiǎn)得，則，
又，即，代入，解得，
故，
故答案為：.
14．商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，提升顧客購(gòu)物體驗(yàn)，從2023年第三季度消費(fèi)過(guò)的顧客中隨機(jī)抽取部分人進(jìn)行滿意度問(wèn)卷調(diào)查．并將這部分人滿意度的得分分成以下6組：，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示．那么該商場(chǎng)顧客滿意度得分的第60百分位數(shù)為 ．

【答案】75
【分析】利用頻率分布直方圖每個(gè)小矩形面積代表頻率表示第60百分位數(shù)求解即可.
【詳解】由圖可知，第1個(gè)小矩形面積為0.1，第2個(gè)小矩形面積為0.15，第,3個(gè)小矩形面積為0.2，第4個(gè)小矩形面積為0.3，
則第60百分位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)60百分位數(shù)為，則有，
則，所以商場(chǎng)顧客滿意度得分的第60百分位數(shù)為75.
故答案為：75
15．已知為銳角，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用二倍角、差角的正切公式求解即得.
【詳解】由，得，解得，，
由為銳角，，知，，
于是，所以.
故答案為：
16．已知雙曲線，過(guò)其上焦點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)A，并與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)不重合）．若，則雙曲線的離心率為 ．
【答案】/
【分析】設(shè)出過(guò)上焦點(diǎn)的直線方程為，由圓心到直線距離等于半徑得到，再分別聯(lián)立直線與圓，直線與漸近線，求出，，根據(jù)比例關(guān)系得到方程，得到的關(guān)系式，求出離心率.
【詳解】由題意得，漸近線方程，
設(shè)過(guò)其上焦點(diǎn)的直線方程為，
則圓心到直線的距離為，解得，不妨取負(fù)值，
如圖所示，故過(guò)其上焦點(diǎn)的直線方程為，
聯(lián)立與可得，，
解得，
聯(lián)立與，可得，此時(shí)，重合，舍去，
聯(lián)立與，可得，此時(shí)不重合，滿足要求，
因?yàn)?，所以，故?br>化簡(jiǎn)得，
又，故，即，
解得，雙曲線的離心率為.
故答案為：
四、解答題
17．銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，設(shè)
(1)求；
(2)若，求的面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化邊為角，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與二倍角公式化簡(jiǎn)求解即可；
（2）利用余弦定理化角為邊，利用基本不等式得到的最大值，再由面積公式可求.
【詳解】（1）已知銳角中，則，
，
，
是銳角，，
，，
即，，即；
（2），，
，
由余弦定理得：，
，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
的面積的最大值為．
18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)利．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，再由與的關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)椋圆粸槌?shù)，
由，得，
即，解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，.
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，①
則，②
①-②：
.
所以，
所以．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，
所以.
19．“馬街書(shū)會(huì)”是流行于河南省寶豐縣的傳統(tǒng)民俗活動(dòng)，為國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．每年農(nóng)歷正月十三來(lái)自省內(nèi)外的說(shuō)書(shū)藝人負(fù)鼓攜琴，匯集于此，說(shuō)書(shū)亮藝，河南墜子、道情、曲子、琴書(shū)等曲種應(yīng)有盡有，規(guī)模壯觀．為了解人們對(duì)該活動(dòng)的喜愛(ài)程度，現(xiàn)隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：
附：，其中．
(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別與對(duì)該活動(dòng)的喜愛(ài)程度有關(guān)聯(lián)？
(2)為宣傳曲藝文化知識(shí)，當(dāng)?shù)匚幕衷跁?shū)會(huì)上組織了戲曲知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，戲迷甲正確完成每道題的概率都是，且每道題正確完成與否互不影響；戲迷乙只能正確完成其中的6道題．
①求戲迷甲至少正確完成其中3道題的概率；
②設(shè)隨機(jī)變量表示戲迷乙正確完成題的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，性別與對(duì)活動(dòng)的喜愛(ài)程度無(wú)關(guān)．
(2)①概率為；②的分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望
【分析】（1）計(jì)算出卡方，與2.706比較后得到結(jié)論；
（2）①利用二項(xiàng)分布求概率公式求出概率；②得到的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，
因此我們可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為對(duì)該場(chǎng)活動(dòng)的喜愛(ài)程度與性別無(wú)關(guān)．
（2）①記“戲迷甲至少正確完成其中3道題”為事件A，則
．
②的可能取值為，
，
，
的分布列為；
數(shù)學(xué)期望.
20．如圖，在三棱臺(tái)中，分別為上的點(diǎn)，平面平面．
(1)求證：平面；
(2)若，求平面和平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解
(2)平面和平面的夾角的余弦值
【分析】（1）證明，即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求平面與平面的夾角.
【詳解】（1）證明：平面平面，平面平面，
平面平面．
四邊形為平行四邊形，則．
為的中點(diǎn)．
同理為的中點(diǎn)，則，
．
又且四邊形是平行四邊形，則．
又．
又平面，
平面；
（2）．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
為等腰直角三角形，即．
則，
，
．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
由，取，得；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
由，取，得．
．
設(shè)平面和平面的夾角為，則
．
平面和平面的夾角的余弦值．
21．已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)和的圖象都與平行于軸的同一條直線相切，求的值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)詳解
【分析】（1）求導(dǎo)得到與的單調(diào)性，進(jìn)而分別可得兩函數(shù)斜率為0的切線方程，根據(jù)題意得到方程，求出的值；
（2）令可得，由函數(shù)單調(diào)性可得，結(jié)合（1）可得，不妨設(shè)，構(gòu)造差函數(shù)，解決極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.
【詳解】（1）由題意：函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
由可得，圖象與直線相切．
，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，，
即圖象與直線相切．
兩函數(shù)圖象均與平行于軸的同一條直線相切，則，即．
（2），令，
由，得，
函數(shù)在上為減函數(shù)，故，即
即，不妨設(shè)，
要證，只需證，
只需證，即證，
因?yàn)椋?br>只需證，即，
令，
則，
在上單調(diào)遞增，
，
原題得證．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，通常會(huì)構(gòu)造差函數(shù)來(lái)進(jìn)行求解，若函數(shù)較為復(fù)雜，可先結(jié)合函數(shù)特征變形，比如本題中設(shè)進(jìn)行變形，得到再利用導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求解.
22．已知拋物線，直線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與直線交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在定點(diǎn)
【分析】（1）由相關(guān)點(diǎn)代入法求軌跡方程即可；
（2）先由特殊位置確定定點(diǎn)在軸上，設(shè)定點(diǎn)，由相切求出切點(diǎn)滿足的關(guān)系式，再由垂直的坐標(biāo)條件求解.
【詳解】（1）設(shè)，則，
由題意線垂直于軸，與交于兩點(diǎn)，知，
過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線方程為：，
直線的方程為：，
令，得，即，
由得，
因?yàn)樵趻佄锞€上，即，
則，化簡(jiǎn)得，
由題意知不重合，故，
所以曲線的方程為

（2）由（1）知曲線的方程為，
點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)， 當(dāng)點(diǎn)在特殊位置時(shí)，
兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，
故要使得，則點(diǎn)在軸上．

故設(shè)，
曲線的方程為，求導(dǎo)得，
所以切線的斜率，
直線的方程為，
又點(diǎn)在直線上，
所以，
整理得，
同理可得，
故和是一元二次方程的根，
由韋達(dá)定理得，
，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
所以存在定點(diǎn)，使得恒成立．

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