注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函數(shù)的部分圖象為（ ）
A． B．
C． D．
4．某學(xué)生社團(tuán)舉辦數(shù)學(xué)史知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)海選，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加最后一輪的現(xiàn)場(chǎng)決賽，角逐唯一的冠軍．有四位觀賽同學(xué)對(duì)冠軍的預(yù)測(cè)如下：
“甲或乙是冠軍”、“甲是冠軍”、“丁是冠軍”、“乙、丙兩人都不是冠軍”．
若賽后發(fā)現(xiàn)，這四位同學(xué)中有且只有兩位預(yù)測(cè)正確，則冠軍是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
6．已知四棱臺(tái)的兩底面均為長(zhǎng)方形，且上下底面中心的連線與底面垂直若，棱臺(tái)的體積為，則該棱臺(tái)的表面積是（ ）
A．60 B． C． D．
7．已知函數(shù)，點(diǎn)分別為圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為銳角三角形，則的取值范圍為（ ）
A． В． C． D．
8.．居民的某疾病發(fā)病率為，現(xiàn)進(jìn)行普查化驗(yàn)，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，而沒(méi)有患該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性．現(xiàn)有某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則他真的患該疾病的概率是（ ）
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
10．某高校有在校學(xué)生9000人，其中男生4000人，女生5000人，為了解學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國(guó)古典文學(xué)的時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了40名男生和50名女生，其中每天自主學(xué)習(xí)中國(guó)古典文學(xué)的時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的學(xué)生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調(diào)查結(jié)果如下表，則（ ）
參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：
A．該校某位學(xué)生為古文迷的概率的估計(jì)值為0.6
B．隨機(jī)調(diào)查的男女生人數(shù)符合分層抽樣的抽樣方法
C．有的把握認(rèn)為學(xué)生是否為“古文迷”與性別有關(guān)系
D．沒(méi)有的把握認(rèn)為學(xué)生是否為“古文迷”與性別有關(guān)系
11．設(shè)內(nèi)角所對(duì)的邊為，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則可能有 D．若，則可能有
12．已知為圓柱的母線，為圓柱底面圓的直徑，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面圓周上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），則（ ）
A．平面平面
B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿圓柱表面到點(diǎn)的最短距離是
C．三棱錐的體積最大值是
D．與平面所成角的正切值的最大值是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．將5本不同的書(shū)分發(fā)給4位同學(xué)，其中甲、乙兩本書(shū)不能同時(shí)發(fā)給某一位同學(xué)，每位同學(xué)都發(fā)到書(shū)，每本書(shū)只能給一位同學(xué)，則不同的分配方案數(shù)為_(kāi)________（用數(shù)字作答）
14．在提醒中，已知，點(diǎn)分別在線段和上，則的最大值為_(kāi)________．
15．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
16．在平面凸四邊形中，，且，將四邊形沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．若二面角的大小范圍是，則三棱錐的外接球表面積的取值范圍是_________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（10分）某校數(shù)學(xué)建模學(xué)生社團(tuán)進(jìn)行了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究，采集了的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
該社團(tuán)對(duì)上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系．
附：在線性回歸方程中，，其中為樣本平均值．
（1）畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并指出與之間的相關(guān)系數(shù)是正還是負(fù)；
（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的值．
18．（12分）已知中，，點(diǎn)在邊上，三等分，靠近靠近．
（1）若，且，求；
（2）若，求．
19．（12分）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）對(duì)于，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
20．（12分）盒子里放著三張卡片，一張卡片兩面都是紅色，一張卡片兩面都是黑色，剩下的一張卡片一面是紅色一面是黑色．
（1）隨機(jī)抽出一張卡片并隨機(jī)展示它一面的顏色．假設(shè)展示的這一面的顏色是紅色，那么剩下一面的顏色也是紅色的概率是多少？
（2）隨機(jī)抽出一張卡片并隨機(jī)展示它一面的顏色，放回后，再隨機(jī)抽出一張卡片并隨機(jī)展示它一面的顏色．兩次展示的顏色中，黑色的次數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的分布和數(shù)學(xué)期望．
21．（12分）已知三棱柱，，，為線段上的點(diǎn)，且滿足．
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）設(shè)平面平面，已知二面角的正弦值為，求的值．
22．（12分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．
（1）求函數(shù)的解析式，并直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式；
（2）若在內(nèi)恰有2023個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)與正整數(shù)的值．
常州市教育學(xué)會(huì) 學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)
高三數(shù)學(xué)
參考答案
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．.
1．【答案】C
【解析】，，選C．
2．【答案】A
【解析】位于第一象限，選A．
3．【答案】D
【解析】為奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BC，時(shí)，，排除A，選D．
4．【答案】D
【解析】若甲是冠軍，則三位預(yù)測(cè)正確，A錯(cuò)．
若乙是冠軍，則一位預(yù)測(cè)正確，B錯(cuò)．
若丙是冠軍，則沒(méi)人預(yù)測(cè)正確，C錯(cuò)．
若丁是冠軍，則兩人預(yù)測(cè)正確，D對(duì)，選D．
5．【答案】A
【解析】，則，則，A對(duì)．
，В錯(cuò)．
，C錯(cuò)，，D錯(cuò)，選A．
6．【答案】D
【解析】，，，，
側(cè)棱，，
，，選D．
7．【答案】B
【解析】為銳角三角形，，
恒成立；，，
，選B．
8．【答案】C
【解析】記“陽(yáng)性”為，記“患病”為，，，，，
，，
選C．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合
題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．【答案】AD
【解析】，，，，D對(duì)，C錯(cuò)．
，A對(duì)．
，B錯(cuò)．
本題考查知識(shí)點(diǎn)：三次函數(shù)韋達(dá)定理：
有三個(gè)零點(diǎn)，則，
．
10．【答案】BC
【解析】，A錯(cuò)．
，B對(duì)．
，C對(duì)，D錯(cuò)，選BC．
11．【答案】ABD
【解析】，則，，A對(duì)．
，
，B對(duì)．
，則，即，則與矛盾，C錯(cuò)．
，則，不妨設(shè)，則，D對(duì)．選ABD．
12．【答案】AB
【解析】在以為直徑的圓上，，又面，
面面，A對(duì)．
時(shí)，為半圓中點(diǎn)，展開(kāi)后，，B對(duì)．
到面的距離為2，，，C錯(cuò)．
為直徑作為另一條直徑，為面的直徑，以中點(diǎn)建系，面的法向量的，，，
設(shè)與面所成的角為，
，
，
，最大值不是，D錯(cuò)，選AB．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．【答案】216
【解析】5本書(shū)送4人共有，甲，乙送一人有個(gè)結(jié)果，．
14．【答案】3
【解析】如圖建系，，，
設(shè)，令，，
．
15．【答案】
【解析】，
，
在，，，．
在，，時(shí)，；時(shí)，；
，，有兩個(gè)根．
16．【答案】
【解析】，
利用雙距離單交線公式，外心到的距離，
的外心到的距離交線，
設(shè)二面角平面角為，外接球半徑為，
，
，
三棱錐外接球的表面積．
應(yīng)填：
注：第16題考得是進(jìn)階班第二講外接球的公式，雙距離單交線公式的運(yùn)用．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．【解析】
（1）是負(fù)．
（2）
，∴關(guān)于線性回歸方程為
當(dāng)時(shí)，．
18．【解析】
（1），
在中，，
．
（2）設(shè)，，故，
在中，由正弦定理
，
在中，由正弦定理，
．
在中，
，
．
19．【解析】
（1），
①當(dāng)時(shí)，在上；
②當(dāng)時(shí)，令．
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
（2）對(duì)恒成立．
①當(dāng)時(shí)，，舍去．
②當(dāng)時(shí)，在上，故只需符合．
綜上：．
20．【解析】
（1）記事件為展示的一面顏色是紅色，事件為剩下一面的顏色也是紅色
，
．
（2）隨機(jī)抽出一張卡片，顏色是黑色的概率為，
的二項(xiàng)分布的所有可能取值為0，1，2
，，，
的分布列如下：
或由．
21．【解析】
（1）過(guò)分別作交于點(diǎn)交于點(diǎn)，
且，
，∴四邊形為平行四邊形，平面．
（2），
，
，，．
（3）取中點(diǎn)，連接為等邊三角形且，．
在中，，由
在中，為中點(diǎn)，，，
如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
．
，又，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
而平面的一個(gè)法向量
，或．
22．【解析】
（1）由圖象知周期，且
．
再由，
．
（2）
令兩根記為，其中，
作出在上的大致圖象如下：
顯然中有一個(gè)為或1．
①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有個(gè)交點(diǎn)，有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)舍去．
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有個(gè)解，有個(gè)解，有，舍去．
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有個(gè)交點(diǎn)，有個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)舍去．
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有個(gè)解，有個(gè)解．
，故．古文迷
非古文迷
男生
20
20
女生
40
10
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
0.455
0.708
1.321
3.841
5.024
6.635
2
3
4
5
6
7
52.5
45
40
30
25
17.5
0
1
2

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