說明：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘，答案寫在答題卡上，交卷時只交答題卡.
第I卷（選擇題）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若曲線表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
2.若直線與平行，則與間的距離為（ ）
A. B. C. D.
3.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在軸上，且栯圓的離心率為，面積為，則橢圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
4.等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前20項和等于（ ）
A.160 B.180 C.200 D.220
5.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則等于（ ）
A. B. C. D.
6.已知圓的半徑為，過點的2023條弦的長度組成一個等差數(shù)列，最短弦長為，最長弦長為，則其公差為（ ）
A. B. C. D.
7.設(shè)是橢圓上一點，分別是圓和圓上的點，則的最小值?最大值分別為（ ）
A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12
8.橢圓的兩個焦點為是橢圓上一點，且滿足.則橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.
9.已知分別是橢圓的左?右焦點，為橢圓上異于長軸端點的動點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.的周長為10
B.面積的最大值為
C.的最小值為1
D.橢圓的離心率為
10.已知動點到原點與的距離之比為2，動點的軌跡記為，直線，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A.的方程為
B.直線被截得的弦長為
C.動點到直線的距離的取值范圍為
D.上存在三個點到直線的距離為
11.若圓和圓的交點為，則有（ ）
A.公共弦所在的直線方程為
B.線段中垂線的方程為
C.公共弦的長為
D.為圓上一動點，則到直線距離的最大值為
12.設(shè)首項為1的數(shù)列的前項和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.數(shù)列為等比數(shù)列
B.數(shù)列的通項公式為
C.數(shù)列為等比數(shù)列
D.數(shù)列為等比數(shù)列
第II卷（非選擇題）
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.橢圓的中心在原點，焦點在軸上，是橢圓上一點，且成等差數(shù)列，則橢圓的方程為__________.
14.定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為1，那么這個數(shù)列的前2023項和__________.
15.已知直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是__________.
16.如圖，橢圓的左?右焦點分別為，過焦點的直線交該橢圓于兩點，若的內(nèi)切圓（圓心記為）面積為兩點的坐標(biāo)分別為，則的面積__________，的值為__________.
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.（本小題滿分10分）
已知橢圓的離心率，求的值及橢圓的長軸長?焦點坐標(biāo).
18.（本小題滿分12分）
圓心在直線上的圓，經(jīng)過點，并且與直線相切.
（1）求圓的方程；
（2）圓被直線分割成弧長的比值為的兩段弧，求直線的方程.
19.（本小題滿分12分）
在數(shù)列中，.
（1）求的值；
（2）是否存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說理理由.
20.（本小題滿分12分）
如圖，已知圓及點.
（1）若點在圓上，求直線與圓的相交弦的長度；
（2）若是直線上任意一點，過點作圓的切線，切點為，當(dāng)切線長最小時，求點的坐標(biāo)，并求出這個最小值.
21.（本小題滿分12分）
已知橢圓的左?右頂點分別為，且，離心率為為坐標(biāo)原點.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上不同于的一點，直線與直線分別交于點.證明：以線段為直徑的圓過橢圓的右焦點.
22.（本小題滿分12分）
已知數(shù)列與滿足，且為正項等比數(shù)列，，.
（1）求數(shù)列與的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足為數(shù)列的前項和，求證：.
蘭州一中2023-2024-1學(xué)期期中考試答案
高二數(shù)學(xué)
第I卷（選擇題）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
第II卷（非選擇題）
二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 14.1010 15. 16.；
四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17.解：橢圓的焦點在軸上且
又
即橢圓方程為
橢圓的長軸長為?焦點坐標(biāo)為.
18.解（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由題意得解得
所以圓的方程為.
（2）如圖，設(shè)直線與圓交于兩點，過點作，垂足為，
因為圓被直線分割成弧長的比值為的兩段弧，
所以，則，
即圓心到直線的距離為，且，
因為直線的方程為，
所以，解得或，
故所求直線的方程為或.
19.解：（1）因為，且，
所以.
（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.
設(shè)，由為等差數(shù)列，得，
所以，
即，解得.
而當(dāng)時，有
，
，
則是首項為2，公差為1的等差數(shù)列.
所以存在實數(shù)，使得數(shù)列是以首項為2，公差是1的等差數(shù)列.
20.（本小題滿分12分）
解易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，半徑.
（1）將點代入圓的方程，
得，所以，
故直線的斜率.
因此直線的方程為，
即，
所以圓心到直線的距離，
所以.
（2）因為，
所以當(dāng)最小時，最小，
又當(dāng)與直線垂直時，最小，
所以，
所以.
由題易得過點且與直線垂直的直線方程為，
聯(lián)立得所以.
21.解由題意知，，得，
又離心率，
，
橢圓的方程為.
（2）證明由（1）得，
設(shè)，則，即.
直線，
直線，
點的縱坐標(biāo)，點的縱坐標(biāo)，
即，令橢圓的右焦點為，則，
即，
以為直徑的圓過點
22.（1）解，①
當(dāng)時，.②
①-②，得.
設(shè)的公比為，則.
又，
的通項公式為.
，
的通項公式為.
（2）證明由已知，得，
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
B
A
B
C
D
題號
9
10
11
12
答案
ABD
BD
ABD
CD

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