注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內(nèi)容：數(shù)列占60%，集合與常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、平面向量與復(fù)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形占40%.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求得集合，求函數(shù)的定義域求得集合，由此求得.
【詳解】由，解得，所以.
由得，所以，
所以.
故選：D
2. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】計(jì)算得到，再確定虛部得到答案.
【詳解】，故，
故的虛部為.
故選：B.
3. 已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A. 2B. C. D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】由遞推式得到數(shù)列的周期，利用周期性確定.
【詳解】由，，，……，
所以是周期為3的數(shù)列，故.
故選：A
4. 已知x，y為非零實(shí)數(shù)，向量，為非零向量，則“”是“存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】化簡得到得到，共線且方向相同，存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得得到，共線，得到答案.
【詳解】，故，整理得到，即，
故，共線且方向相同，
存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得，故，共線，
即“”是“存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 已知某公司第1年的銷售額為a萬元，假設(shè)該公司從第2年開始每年的銷售額為上一年的倍，則該公司從第1年到第11年（含第11年）的銷售總額為（ ）（參考數(shù)據(jù)：?。?br>A. 萬元B. 萬元C. 萬元D. 萬元
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)第年的銷售額為萬元，
依題意可得數(shù)列是首項(xiàng)為a，公比為的等比數(shù)列，
則該公司從第1年到第11年的銷售總額為萬元．
故選：D
6. 已知直線與曲線相切，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)、斜率、切線方程列方程來求得的值.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，
，故斜率為，
則切線方程為，
整理得，
所以，解得
故選：B
7. 設(shè)，，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求得正確答案.
【詳解】依題意，
，而，
所以.
故選：D
8. 已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式.
【詳解】令，易知為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增.
化簡，
即，
所以，解得，
故選：C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 的最大值為3B. 的最小正周期為
C. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D. 在上單調(diào)遞增
【答案】BCD
【解析】
【分析】化簡得到，驗(yàn)證周期對稱點(diǎn)和單調(diào)性得到BCD正確，函數(shù)最大值為，A錯(cuò)誤，得到答案.
【詳解】
，
對選項(xiàng)A：函數(shù)的最大值為，錯(cuò)誤；
對選項(xiàng)B：函數(shù)的最小正周期為，正確；
對選項(xiàng)C：，則，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，正確；
對選項(xiàng)D：，則，函數(shù)單調(diào)遞增，正確；
故選：BCD.
10. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. 數(shù)列可能是等差數(shù)列B. 數(shù)列一定是等差數(shù)列
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷AB，根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式計(jì)算CD.
【詳解】設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，則，，
所以當(dāng)時(shí)，即為常數(shù)列時(shí)，為等差數(shù)列，故A正確；
，所以是等差數(shù)列，故B正確；
，，所以，故C正確；
，，所以和不一定相等，故D錯(cuò).
故選：ABC.
11. 已知，則（ ）
A. B.
C. D. 當(dāng)時(shí)，最小值為4
【答案】ACD
【解析】
【分析】由對數(shù)化簡式和對數(shù)基本運(yùn)算逐一驗(yàn)證ABC選項(xiàng)即可；由換底公式和基本不等式可驗(yàn)證D項(xiàng)
【詳解】由題可知，則，A正確；
由，得，
所以，B錯(cuò)誤；
，C正確；
當(dāng)時(shí)，，則
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為4，D正確．
故選：ACD
12. 在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師設(shè)計(jì)了有序?qū)崝?shù)組，，，表示把中每個(gè)1都變?yōu)?，0，每個(gè)0都變?yōu)?，所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如，則.定義，，若，則（ ）
A. 中有個(gè)1
B. 中有個(gè)0
C. 中0的總個(gè)數(shù)比1的總個(gè)數(shù)多
D. 中1的總個(gè)數(shù)為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)給定有序數(shù)列的定義得到，，,，，探究得到的規(guī)律，然后利用數(shù)列的知識(shí)求通項(xiàng)求和即可.
【詳解】因，所以，，，，，
顯然，，，中共有2,4,8項(xiàng)，其中1和0的項(xiàng)數(shù)相同，
，，中共有3,6,12項(xiàng)，其中為1，為0，
設(shè)中總共有項(xiàng)，其中有項(xiàng)1，項(xiàng)0，
則，，，
所以中有個(gè)1，A正確；
中有個(gè)0，B錯(cuò)；
，則，，，，中的總數(shù)比1的總數(shù)多，C正確；
，，，，中1的總數(shù)為，D錯(cuò).
故選：AC.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13. 已知，， 是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，再結(jié)合基本不等式求在最小值.
【詳解】因?yàn)?，?是與的等比中項(xiàng)，
，則
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為4.
故答案為：4
14. 在等腰直角中，，，是邊上一點(diǎn)，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求得.
【詳解】以為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
由于，所以，由于，
所以，
，所以
故答案為：
15. 剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù).如圖，原紙片為一圓形，直徑，需要剪去四邊形，可以通過對折、沿，裁剪、展開實(shí)現(xiàn). 已知點(diǎn)在圓上，且，，則四邊形面積為______________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線得到，結(jié)合勾股定理得到，利用余弦定理得到，再計(jì)算面積得到答案.
【詳解】如圖所示：設(shè)圓心為，連接，，
，，故平分，，
又，解得，，，
中：，即，
解得或（舍）.
故，
故四邊形的面積為.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)的最小值為1，則的取值范圍為_______________.
【答案】
【解析】
【分析】變換得到，換元構(gòu)造新函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到有解，變換得到，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出圖像，根據(jù)圖像得到答案.
【詳解】，，
設(shè)，，，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
故，故有解，即，，，
即，，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：
根據(jù)圖像知，解得或，即.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將取值范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再利用函數(shù)圖像求解是解題的關(guān)鍵.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增
（1）求的值；
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及冪函數(shù)的單調(diào)性即可求出符合條件的參數(shù)的值；
（2）首先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的恒成立問題，最后根據(jù)函數(shù)恒成立求得參數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
已知函數(shù)為冪函數(shù)，
得，解得：或；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；
綜上可得：.
【小問2詳解】
由（1）可知，，
，
由于在上單調(diào)遞減，
所以在上恒成立；
故得，解得：.
因此得得取值范圍為
18. 正項(xiàng)數(shù)列滿足，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）確定數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，計(jì)算得到答案.
（2），根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到答案.
【小問1詳解】
正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，故，，
同理得到，，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，即，.
【小問2詳解】
，
數(shù)列的前項(xiàng)和.
19. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且向量，，.
（1）求角A的大??；
（2）若為上一點(diǎn)，且，，求面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量垂直得到，計(jì)算化簡得到，根據(jù)余弦定理得到答案.
（2）根據(jù)余弦定理得到，再利用均值不等式得到，計(jì)算面積得到最值.
【小問1詳解】
，故，
即，故，
整理得到，即，，故.
【小問2詳解】
，，故為等邊三角形，即，
中：，
即，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
.
20. 已知數(shù)列滿足，.
（1）證明為等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式對于任意都成立，求正數(shù)的最大值.
【答案】（1）證明見解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的定義，即可證明，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，將不等式變形，可得，令，由其單調(diào)性可得，即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
因?yàn)?，兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，，即，
所以，且，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且，所以.
【小問2詳解】
由（1）可知，則，
令，所以，
由可知，隨增大而增大，只需即可，
且，所以的最大值為.
21. 已知數(shù)列滿足．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系作差即可求解，
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求和.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，，
即，
當(dāng)時(shí)，上式也成立，
所以．
當(dāng)時(shí)，也符合，所以．
【小問2詳解】
由（1）知．
，
，
則，
所以．
22. 已知函數(shù).
（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
（2）若，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)根據(jù)單調(diào)性得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值得到答案.
（2）確定函數(shù)定義域，構(gòu)造，分別求導(dǎo)得到函數(shù)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最大最小值得到證明.
【小問1詳解】
，，
在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，
即，
設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，
故.
【小問2詳解】
，，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
故.
設(shè)，，則，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
，
故，即，即恒成立，得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.

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