1．（3分）當(dāng)x＝1時(shí)，下列分式?jīng)]有意義的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）小明用長(zhǎng)度分別為5，a，9的三根木棒首尾相接組成一個(gè)三角形，則a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
3．（3分）畫△ABC的高BE，以下畫圖正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和是540°，那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2?x3＝x6C．（x3）2＝x6D．x9÷x3＝x3
6．（3分）圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
7．（3分）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：
畫一個(gè)Rt△ABC，使∠B＝90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫出了∠MBN＝90°之后
那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是（ ）
A．SAS，HLB．HL，SASC．SAS，AASD．AAS，HL
8．（3分）“楊輝三角”（如圖），也叫“賈憲三角”，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)無(wú)比睿智的成就之一（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序）的系數(shù)規(guī)律，例如，2，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）2的展開式a2+2ab+b2中各項(xiàng)的系數(shù)；第4行的4個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3的展開式a3+3a2b+3ab2+b3中各項(xiàng)的系數(shù)，等等．當(dāng)n是大于6的自然數(shù)時(shí)，上述規(guī)律仍然成立（a﹣）9的展開式中a7的系數(shù)是（ ）
A．9B．﹣9C．36D．﹣36
二、填空題（本題共24分，每小題3分）
9．（3分）計(jì)算（3﹣π）0＝ ．
10．（3分）一個(gè)正n邊形的每個(gè)外角都為60°，則邊數(shù)n為 ．
11．（3分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明將一副三角板按如圖方式疊放，則∠α等于 ．
12．（3分）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形，拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形．根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可以列出的等式為 ．
13．（3分）如圖，AE＝DF，∠A＝∠D，需要添加條件 ，證明全等的理由是 ．
14．（3分）已知xa＝7，xb＝3，則xa+b＝ ．
15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，下列結(jié)論：①AE＝CE；②BE＝DE；④四邊形ABCD的面積等于AC×BD．其中正確的有 ．（填序號(hào)）
16．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠ABC＝∠C．將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處（如圖乙）．再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 °．
三、解答題（共52分，17題6分，18題6分，19-21題，每題5分，22-24題，每題6分，
17．（6分）因式分解：
（1）x3﹣25x；
（2）3x2+6xy+3y2．
18．（6分）計(jì)算：
（1）（x+2y）（3x﹣y）；
（2）（9x3﹣12x2+6x）÷3x．
19．（5分）已知2a2+3a﹣4＝0，求代數(shù)式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
20．（5分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，AE＝DF，AB＝CD．
（1）求證：△AEC≌△DFB．
（2）若∠A＝40，∠ECD＝145°，求∠F的度數(shù)．
21．（5分）下面是小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：點(diǎn)D，使點(diǎn)D在BC邊上，且到AB和AC的距離相等．
作法：①如圖，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，AC于點(diǎn)M、N；
②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于，兩弧交于點(diǎn)P；
③畫射線AP，交BC于點(diǎn)D．
所以點(diǎn)D即為所求．
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程：
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接MP，NP．
在△AMP與△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ ＝∠ ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ ）（填推理的依據(jù)）
22．（6分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)
23．（6分）閱讀下列材料，回答問(wèn)題：
“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值、最小值等，例如：分解因式x2+2x﹣3，我們可以進(jìn)行以下操作：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，再利用平方差公式可得x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；再如：求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值，我們可以將代數(shù)式進(jìn)行如下變形：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，于是由平方的非負(fù)性可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)2+4x﹣6有最小值﹣8．
根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問(wèn)題：
（1）若多項(xiàng)式x2﹣4x+k是一個(gè)完全平方式，則常數(shù)k＝ ．
（2）分解因式：x2﹣4x﹣12＝ ，代數(shù)式2x2﹣8x﹣24的最小值為 ．
（3）試判斷代數(shù)式a2+2b2+11與2ab+2a+4b的大小，并說(shuō)明理由．
24．（6分）在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如圖2，當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，若AB＝m，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）；
（3）如圖3，AD平分∠BAC，延長(zhǎng)AD到E．使得AD＝DE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值．
25．（7分）如圖，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)A，B分別在坐標(biāo)軸上．
（1）如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；
（2）如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，試猜想線段CD與AM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖③，OB＝BF，∠OBF＝90°，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPC與△AOB的面積比是否變化？若不變，若變化，直接寫出取值范圍．
2023-2024學(xué)年北京市豐臺(tái)八中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共24分，每題3分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．
1．（3分）當(dāng)x＝1時(shí)，下列分式?jīng)]有意義的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式有意義的條件分析得出答案．
【解答】解：A、，當(dāng)x＝1時(shí)；
B、，當(dāng)x＝1時(shí)，分式無(wú)意義符合題意；
C、，當(dāng)x＝7時(shí)；
D、，當(dāng)x＝1時(shí)；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握分式的定義是解題關(guān)鍵．
2．（3分）小明用長(zhǎng)度分別為5，a，9的三根木棒首尾相接組成一個(gè)三角形，則a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形任何兩邊之和都大于第三邊，任何兩邊之差都小于第三邊，可判定求解．
【解答】解：由題意得9﹣5＜a＜6+5，
解得4＜a＜14，
故a可能的值是8，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）畫△ABC的高BE，以下畫圖正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】畫ABC的高BE，即過(guò)B點(diǎn)作AC所在直線的垂線段，垂足為E．
【解答】解：畫△ABC的高BE，即過(guò)點(diǎn)B作對(duì)邊AC所在直線的垂線段BE，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖﹣基本作圖，掌握三角形的高是指從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)吽谥本€作垂線，連接頂點(diǎn)與垂足之間的線段是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和是540°，那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出凸多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系求解．
【解答】解：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，
則（n﹣2）?180°＝540°，
解得n＝5，
∴這個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)＝＝5．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式及多邊形的對(duì)角線的條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理．
5．（3分）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2?x3＝x6C．（x3）2＝x6D．x9÷x3＝x3
【分析】A、原式不能合并，錯(cuò)誤；
B、原式利用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷；
C、原式利用冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷；
D、原式利用同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷．
【解答】解：A、原式不能合并；
B、原式＝x5，錯(cuò)誤；
C、原式＝x6，正確；
D、原式＝x6，錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
6．（3分）圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵圖中的兩個(gè)三角形全等，
∴∠α＝180°﹣60°﹣65°＝55°．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)角是解題關(guān)鍵．
7．（3分）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：
畫一個(gè)Rt△ABC，使∠B＝90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫出了∠MBN＝90°之后
那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是（ ）
A．SAS，HLB．HL，SASC．SAS，AASD．AAS，HL
【分析】分別根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行解答即可．
【解答】解：∵小劉同學(xué)先確定的是直角三角形的兩條直角邊，
∴確定依據(jù)是SAS定理；
∵小趙同學(xué)先確定的是直角三角形的一條直角邊和斜邊，
∴確定依據(jù)是HL定理．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣復(fù)雜作圖，熟知全等三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．
8．（3分）“楊輝三角”（如圖），也叫“賈憲三角”，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)無(wú)比睿智的成就之一（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序）的系數(shù)規(guī)律，例如，2，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）2的展開式a2+2ab+b2中各項(xiàng)的系數(shù)；第4行的4個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）3的展開式a3+3a2b+3ab2+b3中各項(xiàng)的系數(shù)，等等．當(dāng)n是大于6的自然數(shù)時(shí)，上述規(guī)律仍然成立（a﹣）9的展開式中a7的系數(shù)是（ ）
A．9B．﹣9C．36D．﹣36
【分析】由（a+b）n計(jì)算規(guī)律可得，（a﹣）9的展開式中字母部分因式依次為a9，a7，a5，…，所以含a7的為第二項(xiàng)，又由“楊輝三角”可知，（a+b）n的展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)為n，所以（a﹣）9的展開式中a7的系數(shù)是﹣9．
【解答】解：由（a+b）n計(jì)算規(guī)律可得，（a﹣）9的展開式中字母部分因式依次為a2，a7，a5，…，
∴含a3的為第二項(xiàng)，
又由“楊輝三角”可知，（a+b）n的展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)為n，
∴（a﹣）9的展開式中含a6的項(xiàng)為﹣9a7，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了楊輝三角的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能發(fā)現(xiàn)完全平方公式與楊輝三角的規(guī)律解決問(wèn)題．
二、填空題（本題共24分，每小題3分）
9．（3分）計(jì)算（3﹣π）0＝ 1 ．
【分析】直接利用零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）求解可得．
【解答】解：（3﹣π）0＝4，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查零指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）．
10．（3分）一個(gè)正n邊形的每個(gè)外角都為60°，則邊數(shù)n為 6 ．
【分析】根據(jù)多邊形的外角和定理可直接求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：
n＝360°÷60°＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的外角，掌握多邊形的外角和定理是解題的關(guān)鍵．
11．（3分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明將一副三角板按如圖方式疊放，則∠α等于 75° ．
【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵圖形是一副三角板疊放而成，
∴∠α＝45°+30°＝75°，
故答案為：75°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
12．（3分）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形，拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形．根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可以列出的等式為 a2﹣9＝（a+3）（a﹣3） ．
【分析】用代數(shù)式分別表示圖1、圖2中陰影部分的面積即可．
【解答】解：圖1中陰影部分的面積可以看作是兩個(gè)正方形的面積差，即a2﹣5，
圖2拼成的是長(zhǎng)為a+3，寬為a﹣5的長(zhǎng)方形，
因此有a2﹣9＝（a+5）（a﹣3），
故答案為：a2﹣3＝（a+3）（a﹣3）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．
13．（3分）如圖，AE＝DF，∠A＝∠D，需要添加條件 ∠E＝∠F或∠ECA＝∠FBD或AB＝CD ，證明全等的理由是 ASA或AAS或SAS ．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法即可解決問(wèn)題．
【解答】解：①∠E＝∠F  兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
②∠ECA＝∠FBD 兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
③AB＝CD，AC＝BD
故答案為∠E＝∠F或∠ECA＝∠FBD或AB＝CD；ASA或AAS或SAS．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
14．（3分）已知xa＝7，xb＝3，則xa+b＝ 21 ．
【分析】根據(jù)逆用同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【解答】解：當(dāng)xa＝7，xb＝3時(shí)，
xa+b
＝xa?xb
＝5×3
＝21．
故答案為：21．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，下列結(jié)論：①AE＝CE；②BE＝DE；④四邊形ABCD的面積等于AC×BD．其中正確的有 ①③④ ．（填序號(hào)）
【分析】先證明△ABD≌△DBD，得∠ADB＝∠CDB，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AE＝CE，BD⊥AC，可判斷①正確、③正確；
若BE＝DE，則AC垂直平分BD，得AD＝AB，與已知條件不符，可知BE與DE不一定相等，可判斷②錯(cuò)誤；
由S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD，可求得S四邊形ABCD＝AE?BD+CE?BD＝AC?BD，可判斷④正確，于是得到問(wèn)題的答案．
【解答】解：在△ABD和△DBD中，
，
∴△ABD≌△DBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∴AE＝CE，BD⊥AC，
故①正確、③正確；
若BE＝DE，則AC垂直平分BD，
∴AD＝AB，與已知條件不符，
∴BE與DE不一定相等，
故②錯(cuò)誤；
∵S△ABD＝AE?BD，S△CBD＝CE?BD，
∴S△ABD+S△CBD＝AE?BD+AC?BD，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝AC?BD，
故④正確，
故答案為：①③④．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明△ABD≌△DBD是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中∠ABC＝∠C．將紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處（如圖乙）．再將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 72 °．
【分析】先設(shè)∠ABC＝∠C＝2α，然后用含有α的式子表示∠A，∠ADE，∠BED，進(jìn)而得到∠AED，最后利用三角形的外角性質(zhì)列出方程求得α，即可求得∠ABC的大?。?br>【解答】解：設(shè)∠ABC＝∠C＝2α，則∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣4α，
由折疊得，∠BED＝∠C＝8α，
∵∠BED是△AED的外角，
∴∠BED＝∠A+∠ADE，
∴2α＝180°﹣4α+180°﹣4α，
解得：α＝36°，
∴∠ABC＝72°，
故答案為：72．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用折疊的性質(zhì)將其他角的度數(shù)用代數(shù)式表示．
三、解答題（共52分，17題6分，18題6分，19-21題，每題5分，22-24題，每題6分，
17．（6分）因式分解：
（1）x3﹣25x；
（2）3x2+6xy+3y2．
【分析】（1）直接提取公因式x，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣6）；
（2）原式＝3（x2+2xy+y2）
＝3（x+y）6．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
18．（6分）計(jì)算：
（1）（x+2y）（3x﹣y）；
（2）（9x3﹣12x2+6x）÷3x．
【分析】（1）運(yùn)用整數(shù)的乘法運(yùn)算即可；
（2）運(yùn)用多項(xiàng)式的除法運(yùn)算即可．
【解答】解：（1）（x+2y）（3x﹣y）
＝5x2﹣xy+6xy﹣5y2
＝3x4+5xy﹣2y5；
（2）（9x3﹣12x5+6x）÷3x
＝5x3÷3x﹣12x2÷3x+6x÷7x
＝3x2﹣3x+2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的除法，多項(xiàng)式除單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算法則．
19．（5分）已知2a2+3a﹣4＝0，求代數(shù)式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、平方差公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后根據(jù)2a2+3a﹣4＝0，即可得到化簡(jiǎn)后式子的值．
【解答】解：3a（2a+5）﹣（2a+1）（8a﹣1）
＝6a5+3a﹣4a3+1
＝2a3+3a+1，
∵4a2+3a﹣6＝0，
∴2a5+3a＝4，
∴原式＝3+1＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算﹣化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡(jiǎn)求值的方法．
20．（5分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在一條直線上，AE＝DF，AB＝CD．
（1）求證：△AEC≌△DFB．
（2）若∠A＝40，∠ECD＝145°，求∠F的度數(shù)．
【分析】（1）由“SAS”可證△AEC≌△DFB；
（2）由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．
【解答】（1）證明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
（2）解：∵∠ECD＝145°，∠A＝40，
∴∠E＝105，
∵△AEC≌△DFB，
∴∠F＝∠E＝105．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）下面是小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：點(diǎn)D，使點(diǎn)D在BC邊上，且到AB和AC的距離相等．
作法：①如圖，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，AC于點(diǎn)M、N；
②分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于，兩弧交于點(diǎn)P；
③畫射線AP，交BC于點(diǎn)D．
所以點(diǎn)D即為所求．
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程：
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明．
證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接MP，NP．
在△AMP與△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ PAM ＝∠ PAN ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 ）（填推理的依據(jù)）
【分析】（1）根據(jù)作圖過(guò)程即可補(bǔ)全圖形；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可完成證明．
【解答】解：（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接MP．
在△AMP與△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠PAM＝∠PAN．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）．
故答案為：PAM，PAN．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的作法．
22．（6分）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)
【分析】首先可證明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根據(jù)三角形角平分線的逆定理求得AD是角平分線即可．
【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分線．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了角平分線的逆定理，綜合運(yùn)用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正確解答本題的關(guān)鍵．
23．（6分）閱讀下列材料，回答問(wèn)題：
“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值、最小值等，例如：分解因式x2+2x﹣3，我們可以進(jìn)行以下操作：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，再利用平方差公式可得x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；再如：求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值，我們可以將代數(shù)式進(jìn)行如下變形：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，于是由平方的非負(fù)性可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)2+4x﹣6有最小值﹣8．
根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問(wèn)題：
（1）若多項(xiàng)式x2﹣4x+k是一個(gè)完全平方式，則常數(shù)k＝ 4 ．
（2）分解因式：x2﹣4x﹣12＝ （x﹣2）（x﹣6） ，代數(shù)式2x2﹣8x﹣24的最小值為 ﹣32 ．
（3）試判斷代數(shù)式a2+2b2+11與2ab+2a+4b的大小，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）設(shè)x2﹣4x+k＝（x+m）2，再根據(jù)多項(xiàng)式恒等性質(zhì)列出方程組解答便可；
（2）仿樣例進(jìn)行解答便可；
（3）用差值解答便可．
【解答】解：（1）設(shè)x2﹣4x+k＝（x+m）8，則x2﹣4x+k＝x8+2mx+m2，
∴，
解得，
故答案為：4；
（2）x8﹣4x﹣12＝（x2﹣3x+4）﹣4﹣12＝（x﹣8）2﹣48＝（x﹣2+4）（x﹣8﹣4）＝（x﹣2）（x﹣4），
2x2﹣7x﹣24＝2（x2﹣2x﹣12）＝2（x2﹣6x+4﹣4﹣12）＝4（x﹣2）2﹣32，
由平方的非負(fù)性可知，當(dāng)x＝3時(shí)2﹣8x﹣24有最小值﹣32，
故答案為：（x﹣5）（x﹣6）；﹣32；
（3）a2+7b2+11＞2ab+3a+4b．理由如下：
∵（a2+2b2+11）﹣（2ab+2a+4b）
＝a2+8b2+11﹣2ab﹣7a﹣4b
＝[（a2﹣4ab+b2）+（﹣2a﹣6b）+1]+（b2﹣2b+9）+1
＝[（a﹣b）8﹣2（a﹣b）+1]+（b﹣7）2+1
＝（a﹣b﹣7）2+（b﹣3）5+1＞0，
∴a4+2b2+11＞7ab+2a+4b．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，將多項(xiàng)式配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．
24．（6分）在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ACD＝ 1：1 ；
（2）如圖2，當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，若AB＝m，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）；
（3）如圖3，AD平分∠BAC，延長(zhǎng)AD到E．使得AD＝DE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值．
【分析】（1）過(guò)A作AE⊥BC于E，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE＝DF，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）根據(jù)已知和（1）（2）的結(jié)論求出△ABD和△ACD的面積，即可求出答案．
【解答】解：（1）
過(guò)A作AE⊥BC于E，
∵點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（BD?AE）：（，
故答案為：1：5；
（2）
過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD為∠BAC的角平分線，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（AB?DE）：（；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：6，
∵S△BDE＝10，
∴S△ABD＝10，
∵AC＝3，AB＝5，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝2：3，
∴S△ACD＝6，
∴S△ABC＝10+5＝16，
故答案為：16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，能根據(jù)（1）（2）得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．
25．（7分）如圖，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)A，B分別在坐標(biāo)軸上．
（1）如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 （0，3） ；
（2）如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，試猜想線段CD與AM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖③，OB＝BF，∠OBF＝90°，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPC與△AOB的面積比是否變化？若不變，若變化，直接寫出取值范圍．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，由“AAS”可證△ABO≌△BCH，可得CH＝BO＝3，可求解；
（2）延長(zhǎng)AB，CD交于點(diǎn)N，由“ASA”可證△ADN≌△ADC，可得CD＝DN，由“ASA”可證△ABM≌△CBN，可得AM＝CN，可得結(jié)論；
（3）如圖③，作EG⊥y軸于G，由“AAS”可證△BAO≌△CBG，可得BG＝AO，CG＝OB，由“AAS”可證△CGP≌△FBP，可得PB＝PG，可得PB＝BG＝AO，由三角形面積公式可求解．
【解答】解：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥y軸于H，
∴∠BHC＝90°＝∠ABC，
∴∠BCH+∠CBH＝∠ABH+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝∠ABH，
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣3，
∴CH＝3，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝BO＝8，
∴點(diǎn)B（0，3）；
故答案為：（3，3）；
（2）AM＝2CD，
如圖②，延長(zhǎng)AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADN和△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（ASA），
∴CD＝DN，
∴CN＝4CD，
∵∠N+∠BAD＝90°，∠N+∠BCN＝90°，
∴∠BAD＝∠BCN，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴AM＝CN，
∴AM＝2CD；
（3）△BPC與△AOB的面積比不會(huì)變化，
理由：如圖③，作EG⊥y軸于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBG＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
在△BAO和△CBG中，
，
∴△BAO≌△CBG（AAS），
∴BG＝AO，CG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝GC，
在△CGP和△FBP中，
，
∴△CGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝，
∵S△AOB＝×OB×OA，S△PBC＝×PB×GC＝×，
∴S△PBC：S△AOB＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/11/9 16:19:36；用戶：婁老師；郵箱：15225657626；學(xué)號(hào)：48669677

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