廣東外語外貿(mào)大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份廣東外語外貿(mào)大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版），共21頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
試卷說明：
本測(cè)試分為試題卷和答題卷兩部分．試卷共4頁，答題卷共2頁．試題卷全卷四大題共22小題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
本測(cè)試答題卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．必須在在答題卷上的答題區(qū)域作答，在試卷上作答或非答題區(qū)域上作答無效．
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)，則的值為（ ）
A. 1B. 0C. -1D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】由正方體的性質(zhì)可知兩兩垂直，從而對(duì)化簡(jiǎn)可得答案
【詳解】由題意可得,
所以，所以，
所以，
故選：B
2. 已知圓O：，直線與圓O相切，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由于直線與圓相切，所以圓心O（0，0）到直線：的距離等于半徑2，利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程可得結(jié)果
【詳解】解：直線l與圓O相切，則圓心O（0，0）到直線：的距離等于半徑2，
所以，得．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題
3. 如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，若記，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空間向量的基本定理求解.
詳解】解:
,
故選:A
4. 設(shè)x，，向量，，，且，，（ ）
A. B. 3C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，可得，即可求得x，根據(jù)，可得對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即可求得y，即可得坐標(biāo)，代入公式，即可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以?br>因?yàn)椋?，解得，所以?br>所以，
所以.
故選：B
5. =（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由三向量共面，則存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即，從而可得答案.
【詳解】解：因?yàn)槿蛄抗裁妫?br>所以存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使得，
即，
，解得，
所以.
故選：C.
6. 如圖，平面四邊形的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，直線的斜率為，直線的斜率為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用兩角差的正切公式可求得的值.
【詳解】三角形的外角公式可得，
所以，.
故選：C.
7. 已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量在向量上的投影向量為，計(jì)算即可求出答案．
【詳解】解：向量，
則，，，
所以向量在向量上的投影向量為．
故選：．
8. 已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn)，且．若，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意延長交橢圓另一交點(diǎn)為，由條件結(jié)合橢圓性質(zhì)可知，
再通過通徑的性質(zhì)有即可得解.
【詳解】由點(diǎn)P，Q是C上位于x軸上方的任意兩點(diǎn)，
延長交橢圓另一交點(diǎn)，
由再結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，
易知，
所以，
由橢圓過焦點(diǎn)的弦通徑最短，
所以當(dāng)垂直 軸時(shí)，最短，
所以，
所以，
解得.
故選：C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．
9. 設(shè)直線與圓，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. 與可能相離
B. 不可能將的周長平分
C. 當(dāng)時(shí)，被截得的弦長為
D. 被截得的最短弦長為
【答案】BD
【解析】
【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)的正誤；假設(shè)假設(shè)法可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓必相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，若直線將圓平分，則直線過原點(diǎn)，此時(shí)直線的斜率不存在，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為，
所以，直線被截得的弦長為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，圓心到直線的距離為，
所以，直線被截得的弦長為，D選項(xiàng)正確.
故選：BD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長的常用求法
（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；
（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.
10. 下列命題中，不正確的命題有（ ）
A. 是共線的充要條件
B. 若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得
C. 若A，B，C不共線，且，則P，A，B、C四點(diǎn)共面
D. 若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量的模相等關(guān)系，結(jié)合充要條件判斷A的正誤；利用平面向量的基本定理判斷B；利用共線向量定理判斷；利用空間向量的基底的概念和反證法判斷D的正誤即可．
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，共線成立，但當(dāng)，同向共線時(shí)，，
所以是，共線的充分不必要條件，故A不正確;
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故B不正確;
對(duì)于C，由于，而，根據(jù)共面向量定理知，，，，四點(diǎn)共面，故C正確;
對(duì)于D，若，，為空間的一個(gè)基底，則，，不共面，利用反證法證明，，不共面，假設(shè)，，共面，則,所以，所以，，共面，與已知矛盾.所以，，不共面，則，，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確．
故選：AB
11. 正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)，則（ ）
A. 直線與直線垂直
B. 平面截正方體所得的截面面積為
C. 三棱錐的體積為
D. 點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等
【答案】BD
【解析】
【分析】A.建立空間直角坐標(biāo)系，由是否為零判斷；B.根據(jù)，由平面的基本性質(zhì)得到截面是等腰梯形 求解判斷； C.由求解判斷；D. 根據(jù)平面，即平面判斷.
【詳解】如圖所示：
A.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，而，所以直線與直線不垂直，故錯(cuò)誤；
B.如圖所示：因?yàn)?，所以截面為等腰梯?，所以截面面積為,故正確；
C.，故錯(cuò)誤；
D. 因?yàn)椋矫?，即平?所以點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故正確；
故選：BD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．
12. 橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說法正確的是（ ）
A. 過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長為8
B. 橢圓上存在點(diǎn)，使得
C. 橢圓的離心率為
D. 為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為3
【答案】ABD
【解析】
【分析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項(xiàng)的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D選項(xiàng)的正確性.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，
所以，，
因此，
解得，，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，
因?yàn)?，所以?br>所以選項(xiàng)正確，
故選：ABD．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，且，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得.
故答案為：.
14. 已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為________.
【答案】.
【解析】
【分析】由圓的方程，得到圓心的坐標(biāo)，由圓的特征可得： ，從而可求出直線的斜率，再由直線過點(diǎn)，即可得出直線方程.
【詳解】因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，又點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以直線的斜率為；
又因?yàn)槭菆A的一條弦，為的中點(diǎn)，
所以，故，即直線的斜率為，
因此，直線的方程為，即.
故答案為
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓位置關(guān)系，以及由弦中點(diǎn)坐標(biāo)，求弦所在直線方程的問題，屬于?？碱}型.
15. 設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為___________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).
【詳解】由已知可得，
．∴．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
16. 在棱長為的正方體中，、、分別為棱、、上一點(diǎn)，，且平面．當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，三棱錐的側(cè)面積為_________；與所成角的余弦值為__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】設(shè)，則，則，可得出，利用基本不等式可求得面積的最大值，可得出三棱錐體積的最大值，利用等號(hào)成立的條件求出的值，然后以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可確定點(diǎn)的位置，然后利用空間向量法可求得與所成角的余弦值.
詳解】設(shè)，則，則，由題意得，可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則，
此時(shí)三棱錐的側(cè)面積為.
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，設(shè)點(diǎn)，
，，設(shè)平面的法向量為，
由，取，可得，且，
因?yàn)槠矫?，則，解得，
所以，，，
所以，與所成角的余弦值為.
故答案為：；.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知點(diǎn)A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點(diǎn)C在直線l：x-2y+2=0上.
（1）求AB邊上的高CE所在直線的方程；
（2）求△ABC的面積.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由題意可知，為的中點(diǎn)，，利用斜率計(jì)算公式、點(diǎn)斜式即可得出．
（2）由 得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式、三角形面積計(jì)算公式即可得出．
【小問1詳解】
解：由題意可知，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，所以?br>所在直線方程為，即．
【小問2詳解】
解：由 解得，所以，所以平行于軸，平行于軸，即，
，
．
18. 已知空間三點(diǎn)，設(shè)．
（1）若，求；
（2）求夾角的余弦值；
（3）若與的夾角是鈍角，求k的取值范圍．
【答案】（1）或；
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)模的公式和向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程，解方程即可；
(2)利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式計(jì)算即可；
(3)根據(jù)向量夾角為鈍角可推出夾角的余弦值小于0且不等于-1，結(jié)合向量數(shù)量積的定義，列出不等式組，解之即可.
【小問1詳解】
設(shè)，則，則，
因，則，即，
所以，解得，
則或；
【小問2詳解】
由于，
則，
所以；
【小問3詳解】
設(shè)與的夾角為，則為鈍角，所以且，
即且，
又，
，，
所以，
解得且
即k的取值范圍為
19. 如圖，在底面為矩形的四棱錐中，為棱上一點(diǎn)，底面．
（1）證明：；
（2）若，，求二面角的大?。?br>【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）證明出平面，利用線面垂直的性質(zhì)可證得；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的大?。?br>【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則，
平面，平面，則，
，平面，
平面，因此，；
（2）平面，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取，可得，
設(shè)平面的法向量為，，
由，取，可得，
所以，，
由圖可知，二面角的平面角為鈍角，
因此，二面角的大小為.
20. 已知過點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，利用圓心到直線的距離公式，即可求解；
（2）直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，求得，可知圓心在直線上，即為直徑長．
【小問1詳解】
圓，圓心，半徑
設(shè)直線的方程為，即
因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn)，所以，解得．
所以的取值范圍為．
【小問2詳解】
設(shè)，．
聯(lián)立，整理得，
所以，，
所以．
由題設(shè)得，解得，
所以直線方程為，所以圓心在直線上，
所以．
21. 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】（I）根據(jù)題意得到，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，得到，化簡(jiǎn)得出，從而求得其離心率；
（II）結(jié)合（I）的結(jié)論，設(shè)出橢圓的方程，寫出直線的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線與圓相切的條件，列出等量關(guān)系式，求得，從而得到橢圓的方程.
【詳解】（I）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，
又由，消去得，解得，
所以，橢圓的離心率為.
（II）解：由（I）知，，故橢圓方程為，
由題意，，則直線的方程為，
點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，消去并化簡(jiǎn)，得到，
解得，
代入到的方程，解得，
因?yàn)辄c(diǎn)在軸的上方，所以，
由圓心在直線上，可設(shè)，因?yàn)椋?br>且由（I）知，故，解得，
因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑為2，
又由圓與相切，得，解得，
所以橢圓的方程為：.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.
22. 如圖，在直四棱柱中，，，，，點(diǎn)和分別在側(cè)棱、上，且．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）分別取、的中點(diǎn)、，證明四邊形、為平行四邊形，可得出，，利用平行線的傳遞性結(jié)合線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，如圖所示：
、分別為、的中點(diǎn)，則為梯形的中位線，
所以，，且有，
，，所以，，且，
所以，四邊形為平行四邊形，故，
為的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，則，
所以，四邊形為平行四邊形，則，故，
平面，平面，因此，平面；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，平面內(nèi)垂直于的直線為軸，為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，，
由，可得，令，則，
，
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；
（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.