一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項正確）
1．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱．
【解答】解：B，C，D選項中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
A選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
故選：A．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】如圖，先根據(jù)全等三角形的性質得到∠2＝70°，然后根據(jù)三角形內角和計算出∠1的度數(shù)．
【解答】解：如圖，
∵圖中的兩個三角形全等，
∴∠2＝70°，
∵∠1+∠2+50°＝180°，
∴∠1＝180°﹣70°﹣50°＝60°．
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的性質：全等三角形的對應角相等．
3．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一個條件仍無法說明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DFB．AC＝DFC．∠A＝∠DD．∠ACB＝∠F
【分析】根據(jù)題目中的條件和各個選項中的條件，利用全等三角形的判定方法，可以判斷出哪個選項中的條件不一定能得到△ABC≌△DEF，從而可以解答本題．
【解答】解：在△ABC和△DEF中，
AB＝DE，∠B＝∠DEF，
若AC∥DF，則∠ACB＝∠F，則△ABC≌△DEF（AAS），故選項A不符合題意；
若AC＝DF，則無法判定△ABC≌△DEF，故選項B符合題意；
若∠A＝∠D，則△ABC≌△DEF（ASA），故選項C不符合題意；
若∠ACB＝∠F，則△ABC≌△DEF（AAS），故選項D不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定方法解答．
4．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE相交于點O，連接CO，則有（ ）
A．△CEO≌△CDOB．OE＝ODC．CO平分∠ACBD．OC＝OD
【分析】過O作OF⊥AB于，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質即可得到結論．
【解答】解：過O作OF⊥AB于，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴OF＝OH，OF＝OG，
∴OG＝OH，
∴CO平分∠ACB．
故選：C．
【點評】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．
5．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，D、E是△ABC的BC邊上的兩點，DM，EN分別垂直平分AB、AC，垂足分別為點M、N．若∠DAE＝20°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【分析】根據(jù)三角形內角和定理得到∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到DA＝DB，EA＝EC，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，計算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
則∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵DM，EN分別垂直平分AB、AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC，
∵∠DAE＝20°，
∴∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝20°，
∴∠BAC﹣（∠B+∠C）＝20°，
∴∠BAC﹣（180°﹣∠BAC）＝20°，
解得：∠BAC＝100°，
故選：A．
【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
6．（2022秋?和平區(qū)校級期中）若一個正多邊形的一個內角是140°，則這個多邊形是（ ）
A．正七邊形B．正八邊形C．正九邊形D．正十邊形
【分析】首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù)．
【解答】解：∵正多邊形的一個內角是140°，
∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，
邊數(shù)n＝360°÷40°＝9．
故選：C．
【點評】此題主要考查了多邊形的外角與內角，做此類題目，首先求出正多邊形的外角度數(shù)，再利用外角和定理求出求邊數(shù)．
7．（2022秋?和平區(qū)校級期中）下列長度的三條線段，能構成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．5，12，17D．6，8，20
【分析】根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”對各選項進行進行逐一分析即可．
【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關系，得
A、1+2＝3，不能組成三角形，不符合題意；
B、3+4＝7＞5，能夠組成三角形，符合題意；
C、12+5＝17，不能夠組成三角形，不符合題意；
D、6+8＝14＜20，不能夠組成三角形，不符合題意．
故選：B．
【點評】此題主要考查了三角形三邊關系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．
8．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，點M是∠AOB平分線上的一點，點P、點Q分別在射線OA、射線OB上，滿足OP＝2OQ，若△OMP的面積是2，則△OQM的面積是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】過點M作ME⊥OP，MF⊥OB，先利用角平分線的性質說明EM與MF的關系，再利用三角形的面積公式求出OP與EM的積，最后再利用三角形的面積公式得結論．
【解答】解：過點M作ME⊥OP，MF⊥OB，垂足分別為E、F．
∵M是∠AOB平分線上的一點，ME⊥OP，MF⊥OB，
∴ME＝MF．
∵S△OMP＝OP×EM＝2，
∴OP×EM＝4．
∵OP＝2OQ，
∴OQ×EM＝2．
∴S△OMQ＝OQ×EF
＝OQ×EM
＝1．
故選：A．
【點評】本題主要考查了角平分線的性質，掌握“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”、三角形的面積公式是解決本題的關鍵．
9．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，將長方形ABCD沿EF折疊，B，C分別落在點H，G的位置，CD與HE交于點M．下列說法中，不正確的是（ ）
A．∠MFE＜∠HMFB．ME＝MFC．FG+FM＝EBD．∠GFM＝∠MEA
【分析】根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角得∠HMF＞∠MFE，則∠MFE＜∠HMF，可判斷A正確；
由CD∥AB，得∠MFE＝∠BEF，由折疊得∠MEF＝∠BEF，則∠MFE＝∠MEF，所以ME＝MF，可判斷B正確；
由折疊得FG＝FC，則FG+FM＝MC，如果FG+FM＝EB，那么需要滿足的條件∠BEH＝90°，則∠HEF＝∠BEF＝45°，與已知條件不符，可判斷C錯誤；
由FG∥EH，得∠GFM＝∠EMF，由CD∥AB，得∠EMF＝∠MEA，則∠GFM＝∠MEA，可判斷D正確，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵∠HMF是△MEF的外角，
∴∠HMF＞∠MFE，
∴∠MFE＜∠HMF，
故A正確；
∵四邊形ABCD是長方形，
∴CD∥AB，
∴∠MFE＝∠BEF，
由折疊得∠MEF＝∠BEF，
∴∠MFE＝∠MEF，
∴ME＝MF，
故B正確；
∵FG＝FC，
∴FG+FM＝MC，
若FG+FM＝EB，則MC＝EB，需要滿足的條件是∠BEH＝90°，
∴∠HEF＝∠BEF＝45°，與已知條件不符，
∴FG+FM與EB不一定相等，
故C錯誤；
∵FG∥EH，
∴∠GFM＝∠EMF，
∵∠EMF＝∠MEA，
∴∠GFM＝∠MEA，
故D正確，
故選：C．
【點評】此題重點考查軸對稱的性質、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角、平行線的性質、等腰三角形的判定等知識，根據(jù)平行線的性質和軸對稱的性質推導出相等的角是解題的關鍵．
10．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，AD為BC邊上的中線，CG⊥AD于G，交AB于F，過點B作BC的垂線交CG于E．現(xiàn)有下列結論：①△ADC≌△CEB；②DF＝CD；③∠ADC＝∠BDF；④F為EG中點．其中結論正確的為（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①③
【分析】①由條件可知∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°，可得到∠E＝∠ADC，再結合條件可證明△ADC≌△CEB；
②AD為BC邊上的中線，得到BD＝CD，得到∠AFB≠90°，求得DF≠CD；
③BE＝CD＝BD，結合條件可證明△BEF≌△BDF，則有∠E＝∠BDF＝∠ADC，可得結論；
④由③可得EF＝DF，而DF＞FG，故F不可能為EG中點．
【解答】解：∵∠BCA＝90°，CG⊥AD，
∴∠ECD+∠ADC＝∠E+∠ECD＝90°，
∴∠E＝∠ADC，
∵BE⊥BC，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴①正確；
∵AD為BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
∵AG⊥CE，
∴∠BFC≠90°，
∴DF≠CB，
∴DF≠CD，
∴②不正確；
∵△ADC≌△CEB，且D為BC中點，
∴BE＝CD＝BD，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠DBF＝∠EBF＝45°，
在△BEF和△BDF中，
，
∴△BEF≌△BDF（SAS），
∴∠E＝∠BDF，又∠E＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠BDF，
∴③正確；
∵△BEF≌△BDF，
∴EF＝DF，
在Rt△DFG中，DF＞FG，
∴EF＞FG，
∴F不是EG的中點，
∴④不正確；
綜上可知正確的有①③共兩個，
故選：D．
【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL等．
二、填空題（本題共8小題，每小題3分，共24分）
11．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣1，3）關于y軸對稱的點的坐標是 （1，3） ．
【分析】根據(jù)關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變．即點P（x，y）關于y軸的對稱點P′的坐標是（﹣x，y），進而得出答案．
【解答】解：根據(jù)關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變，
則點A（﹣1，3）關于y軸對稱的點的坐標是（1，3）．
故答案為：（1，3）．
【點評】此題主要考查了關于y軸對稱點的性質，正確掌握橫縱坐標的符號關系是解題關鍵．
12．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，△ABE和△ADC是由△ABC沿著AB、AC邊翻折180°得到的，若∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，則∠1的度數(shù)為 80° ．
【分析】根據(jù)三角形內角和定理可得∠BAC的度數(shù)，根據(jù)翻折可得∠E＝∠BCA＝∠DCA，∠BAE＝∠BAC＝140°，求出∠EAC的度數(shù)，根據(jù)∠E＝∠ACD，對頂角相等，可知∠1＝∠EAC．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∵∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，
∴180°÷（28+5+3）＝5°，
∴∠BAC＝5°×28＝140°，
根據(jù)翻折，可知∠E＝∠BCA＝∠DCA，∠BAE＝∠BAC＝140°，
∴∠EAC＝360°﹣∠BAC﹣∠BAD＝80°，
∴∠1＝∠EAC＝80°，
故答案為：80°．
【點評】本題考查了三角形內角和定理，三角形翻折，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
13．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，△ABC≌△ADE，若∠E＝70°，∠D＝30°，∠CAD＝40°，則∠BAD＝ 40° ．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質分別求出∠C、∠B，根據(jù)三角形內角和定理計算∠BAC，則可求得∠BAD．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E＝70°，∠B＝∠D＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝80°﹣40°＝40°，
故答案為：40°．
【點評】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．
14．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，若AC＝1，則BC＝ 2 ．
【分析】利用全等三角形的性質和正六邊形的定義可判斷六邊形花環(huán)為正六邊形，根據(jù)多邊形的內角和定理可計算出∠ABD＝120°，易得∠ABC＝30°；然后由含30度角的直角三角形的性質作答．
【解答】解：如圖，
∵六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，
∴六邊形花環(huán)為正六邊形，
∴∠ABD＝＝120°，
而∠CBD＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°．
∵AC＝1，
∴BC＝2AC＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了全等圖形，多邊形內角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3且n為整數(shù)）；多邊形的外角和等于360°．
15．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，兩根旗桿AC和BD垂直于地面AB放置，它們相距AB＝12m．某人從點B出發(fā)，沿BA方向走了5m到達點M處．此時，他仰望旗桿的頂點C和D，兩次視線的夾角∠CMD＝90°，且CM＝DM，則可以推知旗桿AC的長是 5 m，旗桿BD的長是 7 m．
【分析】根據(jù)已知條件易證△CAM≌△MBD（AAS），根據(jù)全等三角形的性質可得AC＝BM，BD＝AM，進一步求解即可．
【解答】解：∵兩根旗桿AC和BD垂直于地面AB放置，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠C+∠CMA＝90°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
∴∠C＝∠DMB，
在△CAM和△MBD中，
，
∴△CAM≌△MBD（AAS），
∴AC＝BM，BD＝AM，
∵BM＝5m，AB＝12m，
∴AC＝5m，BD＝AM＝12﹣5＝7（m），
故答案為：5，7．
【點評】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
16．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，△ABC的周長為19cm，AB的垂直平分線DE交BC于點D，E為垂足，AE＝4cm，則△ACD的周長為 11cm ．
【分析】根據(jù)垂直平分線的性質計算．△ACD的周長＝AC+CD+AD＝AC+BD+CD＝AC+BC．
【解答】解：∵AB的垂直平分線DE交BC于點D，E為垂足，
∴AD＝BD，AB＝2AE＝8cm，
∵△ABC的周長為19cm，
∴AC+BC＝11cm，
∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝11cm．
故答案為：11cm．
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質；解決本題的關鍵是利用線段的垂直平分線性質得到相應線段相等．
17．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，AF是∠BAC的外角∠EAB的平分線，交CB的延長線于點F，BG是∠ABC的外角∠DBC的平分線，交AC的延長線于點G，若AF＝BG＝AB，則∠F的大?。?48 （度）．
【分析】可設∠BAC的度數(shù)是x，根據(jù)三角形外角的性質和等腰三角形的性質得到∠DBG＝2x度，根據(jù)角平分線的性質得到∠DBC＝4x，根據(jù)三角形外角的性質和等腰三角形的性質和對頂角相等得到∠ABF＝4x，∠F＝4x，∠ACB＝3x，∠EAF＝7x，根據(jù)角平分線的性質得到∠BAF＝7x，再根據(jù)平角的定義即可求解．
【解答】解：設∠BAC的度數(shù)是x，
∵BG＝AB，
∴∠BAC＝∠G＝x，
∴∠DBG＝∠BAC+∠G＝2x，
∵BG是∠DBC的外角∠DBC的平分線，
∴∠DBC＝4x，
∴∠ABF＝∠DBC＝4x，
∵AB＝AF，
∴∠F＝∠ABF＝4x，
∴∠ACB＝3x，
∴∠EAF＝∠F+∠ACB＝7x，
∵AF是∠A的外角∠EAB的平分線，
∴∠BAF＝7x，
∴7x+7x+x＝180，
解得x＝12°，
∴∠F＝12°×4＝48°，
故答案為：48．
【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質，角平分線的性質，三角形內角與外角的關系，關鍵是熟練掌握三角形外角的性質；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．
18．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，下列結論：①AE＝CE；②BE＝DE；③BD⊥AC；④四邊形ABCD的面積等于AC×BD．其中正確的有 ①③④ ．（填序號）
【分析】先證明△ABD≌△DBD，得∠ADB＝∠CDB，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AE＝CE，BD⊥AC，可判斷①正確、③正確；
若BE＝DE，則AC垂直平分BD，得AD＝AB，與已知條件不符，可知BE與DE不一定相等，可判斷②錯誤；
由S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD，可求得S四邊形ABCD＝AE?BD+CE?BD＝AC?BD，可判斷④正確，于是得到問題的答案．
【解答】解：在△ABD和△DBD中，
，
∴△ABD≌△DBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∴AE＝CE，BD⊥AC，
故①正確、③正確；
若BE＝DE，則AC垂直平分BD，
∴AD＝AB，與已知條件不符，
∴BE與DE不一定相等，
故②錯誤；
∵S△ABD＝AE?BD，S△CBD＝CE?BD，
∴S△ABD+S△CBD＝AE?BD+CE?BD＝AC?BD，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝AC?BD，
故④正確，
故答案為：①③④．
【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質、等腰直角形的性質等知識，證明△ABD≌△DBD是解題的關鍵．
三、解答題（共66分）
19．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，點D是AB邊上一點，且CD＝CB，BF⊥CD于點E，交AC于點F．
（1）求證：∠BCD＝2∠ABF；
（2）判斷△BCF的形狀，并說明理由．
【分析】過點C作CG⊥AB于點G，（1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及角平分線的定義即可得解；
（2）由∠A＝45°，CG⊥AB得出∠ACG＝45°，即得∠ACB＝45°+∠BCG，根據(jù)三角形外角定理得出∠BFC＝45°+∠ABF，由（1）知∠BCG＝∠ABF，可得∠BCF＝∠BFC，由“等角對等邊”即可得解．
【解答】（1）證明：過點C作CG⊥AB于點G，
∴∠DCG+∠CDG＝90°，
∵BC＝DC，
∴∠BCG＝∠DCG＝∠BCD，
∵BF⊥CD于點E，
∴∠ABF+∠CDG＝90°，
∴∠ABF＝∠DCG＝∠BCD，
即∴∠BCD＝2∠ABF；
（2）解：如圖，△BCF是等腰三角形，
理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，
∴∠ACG＝45°，
∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，
∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，
∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴BC＝BF，
∴△BCF是等腰三角形．
【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質，熟記“等角對等邊”及“等邊對等角”是解題的關鍵．
20．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，在直角坐標系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1；
（2）寫出點A1，B1，C1的坐標；
（3）求△ABC的面積．
【分析】（1）根據(jù)對稱性即可在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1；
（2）結合（1）即可寫出點A1，B1，C1的坐標；
（3）根據(jù)網格利用割補法即可求△ABC的面積．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；
（3）△ABC的面積為：3×5﹣2×5﹣1×3﹣2×3＝．
【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，解決本題的關鍵是掌握軸對稱性質．
21．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，點E和點F分別在BA和BC邊上，且BE＝BF，連接EF并延長交AC的延長線于點G，∠G＝20°，取EF的中點O，連接BO并延長交AC于點D．
（1）求∠BEF的度數(shù)；
（2）求∠BDC的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質，解答即可；
（2）根據(jù)三角形的內角和定理解答即可．
【解答】解：（1）∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠ABC＝50°，
∴，
即∠BEF的度數(shù)為65°；
（2）∵EF的中點為O，
∴OE＝OF，即BO是△BEF的中線，
又∵BE＝BF，
∴BO⊥EF，
∴∠DOG＝90°，
又∵∠G＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DOG﹣∠G＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
即∠BDC的度數(shù)為70°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．
22．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝AD，∠BAC＝∠EAD，BC的延長線交DE于點F．
求證：（1）△ACB≌△ADE；
（2）BC＝CF+EF．
【分析】（1）由ASA證明△ACB≌△ADE即可；
（2）連接AF，由全等三角形的性質得BC＝DE，再證Rt△ACF≌Rt△ADF（HL），得CF＝DF，即可得出結論．
【解答】證明：（1）在△ACB和△ADE中，
，
∴△ACB≌△ADE（ASA）；
（2）如圖，連接AF，
由（1）可知，△ACB≌△ADE，
∴BC＝DE，
∵∠ACB＝∠ADE＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠ADF，
在Rt△ACF和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ADF（HL），
∴CF＝DF，
∵DE＝DF+EF，
∴BC＝CF+EF．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
23．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若BE＝CF．求證：AD平分∠BAC．
請你補全下述證明過程：
證：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，，① BE ，② CF ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（ HL ）
∴DE＝DF．
∵DE＝DF， DE⊥AB ， DF⊥AC
∴AD平分∠BAC．
【分析】由DE⊥AB，DF⊥AC，得∠BED＝∠CFD＝90°即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明Rt△DBE≌Rt△DCF，得DE＝DF，再根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”證明AD平分∠BAC，于是得到問題的答案．
【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
故答案為：BE，CF，HL，DE⊥AB，DF⊥AC．
【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質、到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上等知識，證明Rt△DBE≌Rt△DCF是解題的關鍵．
24．（2022秋?和平區(qū)校級期中）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：AD⊥CF；
（2）連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．
【分析】（1）欲求證AD⊥CF，先證明∠CAG+∠ACG＝90°，需證明∠CAG＝∠BCF，利用三角形全等，易證．
（2）要判斷△ACF的形狀，看其邊有無關系．根據(jù)（1）的推導，易證CF＝AF，從而判斷其形狀．
【解答】（1）證明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°．
∴∠BDE＝45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF＝90°．
∴∠BFD＝45°＝∠BDE．
∴BF＝DB．
又∵D為BC的中點，
∴CD＝DB．
即BF＝CD．
在△CBF和△ACD中，
，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．
∴∠BCF＝∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA＝90°，
∴∠CAD+∠GCA＝90°．
即AD⊥CF．
（2）△ACF是等腰三角形，理由為：
連接AF，如圖所示，
由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分線，
∴BE垂直平分DF，
∴AF＝AD，
∵CF＝AD，
∴CF＝AF，
∴△ACF是等腰三角形．
【點評】此題難度中等，考查全等三角形的判定和性質及等腰三角形性質和判定．
25．（2022秋?思明區(qū)校級期中）如圖，AD為△ABC的角平分線．
（1）如圖1，若CE⊥AD于點F，交AB于點E，AB＝7，AC＝5．則BE＝ 2 ；
（2）如圖2，若AB＝7，AC＝5，△ACD的面積是10，求△ABC的面積；
（3）如圖3，若∠C＝2∠B，AB＝m，AC＝n，請直接寫出BD的長（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）利用ASA證明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；
（2）過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論；
（3）在AB上取AN＝AC，可得CD＝DN＝m﹣n，根據(jù)△ABD和△ACD的高相等，面積比等于底之比可求出BD的長．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的平分線，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA＝∠EFA，
在△AEF和△ACF中，
，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC＝5，
∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，
故答案為：2；
（2）過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，
∵AD為△ABC的角平分線，
∴DF＝DE，
∵AC＝5，△ACD的面積是10，
∴DE＝4，
∴DF＝4，
∴S△ABD＝AB?DF＝×7×4＝14，
∴△ABC的面積＝24；
（3）在AB上取AN＝AC，
∵AD是△ABC的平分線，
∴∠NAD＝∠CAD，
在△ADN與△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（SAS），
∴∠AND＝∠C，DN＝CD，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AND＝2∠B，
∴∠B＝∠BDN，
∴BN＝DN＝AB﹣AC＝m﹣n，
∴CD＝DN＝m﹣n，
根據(jù)△ABD和△ACD的高相等，面積比等于底之比可得：
＝，
∴＝，
∴BD＝﹣m．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，三角形的面積等知識，利用角的軸對稱性構造全等三角形是解題的關鍵．
26．（2022秋?和平區(qū)校級期中）已知△ABC，△EFG是邊長相等的等邊三角形，點D是邊BC，EF的中點．
（1）如圖①，連接AD，GD，則∠ADC的大?。?90 （度）；∠GDF的大?。?90 （度）；
AD與GD的數(shù)量關系是 AD＝GD ；DC與DF的數(shù)量關系是 DC＝DF ；
（2）如圖②，直線AG，F(xiàn)C相交于點M，求∠AMF的大小．
【分析】（1）如圖①中，根據(jù)等邊三角形的性質解答即可．
（2）如圖連接AD，DG，利用等邊三角形的性質即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖①，連接AD，GD，∵△ABC是等邊三角形，BD＝DC，則∠ADC的大小＝90°；
∵△EGF是等邊三角形，ED＝DF，
∴∠GDF＝90°；
∵BC＝EF，
∴AD＝GD；DC＝DF；
故答案為：90；90；AD＝GD；DC＝DF．
（2）連接AD，DG，
由（1）得：∠ADC＝∠GDF＝90°，
∴∠ADC﹣∠GDC＝∠GDF﹣∠GDC，
即∠1＝∠2，
由（1）得：AD＝GD，
∴∠DGA＝∠DAG＝，
由（1）得：DC＝DF，
∴∠3＝∠DCF＝，
∴∠DGA＝∠3，
∵∠AMF＝∠AGF+∠5，
∴∠AMF＝∠DGA+∠5+∠4
＝∠3+∠5+∠4
＝180°﹣∠GDF
＝180°﹣90°
＝90°．
【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是根據(jù)等邊三角形的性質解答．

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