1．集合，集合，則
A．B．C．D．
2．已知a為實數(shù)，若復數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．0C．D．
3．數(shù)列滿足，若，則等于（ ）
A．B．C．D．
4．若六位老師前去某三位學生家中輔導，每一位學生至少有一位老師輔導，每一位老師都要前去輔導且僅能輔導一位同學，由于就近考慮，甲老師不去輔導同學1，則有（ ）種安排方法
A．335B．100C．360D．340
5．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
7．已知是圓上不同的兩個動點，為坐標原點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知雙曲線的右焦點，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點，以為直徑的圓過點，延長交右支于點，若，則雙曲線的漸近線方程是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（20分）
9．下列命題為真命題的是（ ）
A．若，且，則B．若，則
C．若，則D．若，則
10．已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的圖象關于點對稱，且滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．函數(shù)是奇函數(shù)
B．函數(shù)的圖象關于軸對稱
C．函數(shù)是最小正周期為2的周期函數(shù)
D．若函數(shù)滿足，則
11．如圖，直角梯形中，，，，為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.則下列說法正確的有（ ）

A．平面
B．四棱錐外接球的體積為
C．二面角的大小為
D．與平面所成角的正切值為
12．已知直線與曲線相交于，兩點，與曲線相交于，兩點，，，的橫坐標分別為，，.則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題（20分）
13．的展開式中含項的系數(shù)為 .
14．如圖1是某校園內(nèi)的一座涼亭，已知該涼亭的正四棱臺部分的直觀圖如圖2所示，則該正四棱臺部分的體積為 .

15．已知函數(shù)（，且），曲線在點處的切線與直線平行，則 .
16．雙曲線的左焦點為F，直線與雙曲線C的右支交于點D，A，B為線段的兩個三等分點，且（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為 .
四、解答題（70分）
17．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知.
(1)求角的值；
(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.
18．已知數(shù)列中，，.
（1）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）令，當取得最大值時，求的值．
19．某單位組織知識競賽，有甲、乙兩類問題．現(xiàn)有、、三位員工參加比賽，比賽規(guī)則為：先從甲類問題中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該員工比賽結束；若回答正確再從乙類問題中隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該員工比賽結束．每人兩次回答問題的過程相互獨立．三人回答問題也相互獨立．甲類問題中每個問題回答正確得分，否則得分；乙類問題中每個問題回答正確得分，否則得分．已知員工能正確回答甲類問題的概率為，能正確回答乙類問題的概率為；員工能正確回答甲類問題的概率為，能正確回答乙類問題的概率為；員工能正確回答甲類問題的概率為，能正確回答乙類問題的概率為．
(1)求人得分之和為分的概率；
(2)設隨機變量為人中得分為的人數(shù)，求隨機變量的數(shù)學期望．
20．已知直三棱柱中，側面為正方形，，，分別為和的中點，為棱上的點，．
(1)證明：；
(2)當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最大？
21．已知函數(shù)
（1）若，證明：；
（2）若在上有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.
22．已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩個動點，面積的最大值為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線，的斜率分別為，，和的面積分別為，.若，求的最大值.
1．A
【分析】先由二次不等式的解法得，由對數(shù)不等式的解法得，再結合集合并集的運算即可得解.
【詳解】解不等式,解得,則,
解不等式,解得,即,
即,
故選:A.
【點睛】本題考查了二次不等式的解法及對數(shù)不等式的解法，重點考查了集合并集的運算，屬基礎題.
2．B
【分析】由復數(shù)為純虛數(shù)求出，再代入所求式化簡即可得出答案.
【詳解】若復數(shù)為純虛數(shù)，
所以，解得，
.
故選：B.
3．C
【分析】根據(jù)題設遞推式可得數(shù)列具有周期性，周期為4，進而求解即可.
【詳解】由，
因為，所以，，
，，，
所以數(shù)列具有周期性，周期為4，
所以．
故選：C.
4．C
【分析】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數(shù)分為三組；每種分組再分同學1安排的幾位老師輔導解答.
【詳解】把6位老師按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人數(shù)分為三組；
①把6為老師平均分為3組的不同的安排方法數(shù)有
在把這三組老師安排給三位不同學生輔導的不同安排方案數(shù)為：，
根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有不同安排方案為：
如果把甲老師安排去輔導同學1的方法數(shù)為：
所以把6位老師平均安排給三位學生輔導且甲老師不安排去輔導同學1的方法數(shù)為
②把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學生輔導的方法數(shù)為：
若1同學只安排了一位輔導老師則
若1同學安排了四位輔導老師則
所以把6位老師按照4，1，1分為3組給三位學生輔導，
甲老師不安排去輔導同學1的方法數(shù)為
③把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學生輔導的方法數(shù)為；
若1同學只安排了一位輔導老師則
若1同學只安排了兩位輔導老師則
若1同學只安排了三位輔導老師則
所以把6位老師按照3，2，1分為3組給三位學生輔導，
甲老師不安排去輔導同學1的方法數(shù)為
綜上把6位老師安排給三位學生輔導，甲老師不安排去輔導同學1的方法數(shù)為
故選：C
5．B
【解析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)排除，當時，排除得到答案.
【詳解】，
，函數(shù)為奇函數(shù)，排除.
當時，，，故，排除.
故選：.
【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，確定函數(shù)的奇偶性是解題的關鍵.
6．D
【分析】先把化成，求出的零點的一般形式為，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點可得關于的不等式組，結合為整數(shù)可得其相應的取值，從而得到所求的取值范圍.
【詳解】由題設有，
令，則有即.
因為在區(qū)間內(nèi)沒有零點，
故存在整數(shù)，使得，
即，因為，所以且，故或，
所以或，
故選：D.
【點睛】本題考查三角函數(shù)在給定范圍上的零點的存在性問題，此類問題可轉化為不等式組的整數(shù)解問題，本題屬于難題.
7．C
【分析】根據(jù)已知條件，結合弦長公式，即可求解的中點的軌跡方程，根據(jù)向量的運算可得，再結合點與圓的位置關系，即可求解.
【詳解】圓的圓心坐標，半徑，
設圓心到直線的距離為，
由圓的弦長公式，可得，即，解得，
設的中點為，
點的軌跡表示以為圓心，以為半徑的圓，
的軌跡方程為，
因為，
又，，
即,
即的取值范圍為 .
故選：C

8．A
【分析】作出圖形，設雙曲線的左焦點為點，連接、，設，則，利用雙曲線的定義及勾股定理求得，進而可得出，，然后利用勾股定理可求得的值，進而可求得的值，由此可求得雙曲線的漸近線方程.
【詳解】如下圖所示，設雙曲線的左焦點為點，連接、，設，則，
由雙曲線的定義可得，，
由于以為直徑的圓經(jīng)過點，且、，則四邊形為矩形，
在中，有勾股定理得，即，
解得，，，
由勾股定理得，即，，
所以，，則.
因此，雙曲線的漸近線方程是.
故選：A.
【點睛】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，考查了雙曲線定義的應用，考查計算能力，屬于中等題.
9．AD
【分析】A選項，作差法得到，結合，得到結論；B選項，可舉出反例；CD選項，作差法比較大小.
【詳解】對于A，，又，故，A正確；
對于B，不妨設，則，故B錯誤.
對于C，，
∵，∴，，，
∴，∴，所以C錯誤.
對于D，，
∵，∴，，∴，
∴，所以D正確.
故選：AD
10．ABD
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性，以及條件的變形，即可判斷ABC；首先判斷函數(shù)的周期性，再利用周期性和函數(shù)的性質，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；
因為，所以，又，
所以，所以，所以，所以為偶函數(shù).故B正確；
因為，所以是最小正周期為4的周期函數(shù)，故C錯誤；
因為，所以，那么，
所以也是周期為4的函數(shù)，
，
因為，所以，，
所以，
所以，故D正確.
故選：ABD.
【點睛】思路點睛：本題考查抽象函數(shù)的性質和應用，理解抽象函數(shù)，理解自變量的任意性，從而學會變形，達到判斷性質的目的.
11．ABC
【分析】易證得四邊形為矩形，得到；利用勾股定理可得；由線面垂直的判定可證得A正確；根據(jù)平面和矩形外接圓半徑可求得外接球半徑，代入球的體積公式可知B正確；根據(jù)二面角平面角定義可知即為所求角，根據(jù)長度關系知C正確；根據(jù)線面角定義可知為所求角，由長度關系可知D錯誤.
【詳解】對于A，為中點，，，四邊形為平行四邊形，
又，四邊形為矩形，；
，，，
，，又，平面，
平面，A正確；
對于B，，，，即，
平面，平面，，
又，平面，平面；
矩形的外接圓半徑，
四棱錐的外接球半徑，
四棱錐外接球的體積，B正確；
對于C，平面，平面，；
又，二面角的平面角為，
，，，
二面角的大小為，C正確；
對于D，平面，即為直線與平面所成角，
，，，，
即直線直線與平面所成角的正切值為，D錯誤.
故選：ABC.
12．ACD
【分析】根據(jù)題意，構造函數(shù)，求導得其最大值，即可得到，然后對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】設，得，令，可得，
當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
則當時，有極大值，即最大值.
設，得，令，則，
當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，
則當時，有極大值，即最大值，
從而可得.由，得，故A正確；
由，得，即，
又，得，
又在上單調(diào)遞增，則，故B錯誤；
由，得，即.
又，得，
又在上單調(diào)遞減，則，故C正確；
由前面知，，得，又由，
得，，則，.故D正確.
故選：ACD.
13．
【分析】求出二項展開式的通項公式，由題設中的指定項可得項數(shù)即可作答.
【詳解】的展開式的通項為，
則展開式中含的項有，即，
所以展開式中含項的系數(shù)為.
故答案為：
14．##
【分析】根據(jù)棱臺體積公式求解即可；
【詳解】
由圖可知，
因為
故答案為：
15．
【分析】由題意有，可解出的值.
【詳解】函數(shù)，，
曲線在點處的切線與直線平行，
則有，得.
故答案為：.
16．
【分析】作出輔助線，得到，設出，，由雙曲線定義得到方程，并由勾股定理得到，兩方程聯(lián)立后求出離心率.
【詳解】由題意得，取中點，連接，設雙曲線C的右焦點為，連接，
因為，所以，
又A，B為線段的兩個三等分點，所以，即為的中點，
又為的中點，所以，故，
設，則，又，
由勾股定理得，則，
由雙曲線定義得，即①，
在Rt中，由勾股定理得，
即②，
由①得，兩邊平方得，
解得或（負值舍去），
將代入②得，故離心率為.

故答案為：
17．(1)
(2)
【分析】（1）首先利用正弦定理，將邊化為角，再結合三角恒等變換，即可求解；
（2）首先由三角形面積公式求得，再根據(jù)余弦定理，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）由及正弦定理可得：
，則，
因為，則，所以，，
可得，故.
（2）由于的面積為，所以，，解得
在中，由余弦定理得：
，故，
當且僅當，即，時，的最小值為.
18．（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）求得，，利用遞推公式計算得出，由此可證得結論成立；
（2）由（1）可知，利用累加法可求出數(shù)列的通項公式，可得出，利用定義法判斷數(shù)列的單調(diào)性，進而可得出結論.
【詳解】（1）在數(shù)列中，，，則，
，則，
則，
所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為，所以，；
（2）由（1）可知，即，可得，
累加得，
.
，，
，
令，則，
所以，.
，
，，所以，當時，.
所以，，.
所以，數(shù)列中，最大，故.
【點睛】方法點睛：求數(shù)列通項公式常用的七種方法：
（1）公式法：根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或進行求解；
（2）前項和法：根據(jù)進行求解；
（3）與的關系式法：由與的關系式，類比出與的關系式，然后兩式作差，最后檢驗出是否滿足用上面的方法求出的通項；
（4）累加法：當數(shù)列中有，即第項與第項的差是個有規(guī)律的數(shù)列，就可以利用這種方法；
（5）累乘法：當數(shù)列中有，即第項與第項的商是個有規(guī)律的數(shù)列，就可以利用這種方法；
（6）構造法：①一次函數(shù)法：在數(shù)列中，（、均為常數(shù)，且，）.
一般化方法：設，得到，，可得出數(shù)列是以的等比數(shù)列，可求出；
②取倒數(shù)法：這種方法適用于（、、為常數(shù)，），兩邊取倒數(shù)后，得到一個新的特殊（等差或等比）數(shù)列或類似于的式子；
⑦（、為常數(shù)且不為零，）型的數(shù)列求通項，方法是在等式的兩邊同時除以，得到一個型的數(shù)列，再利用⑥中的方法求解即可.
19．(1)
(2)
【分析】（1）列舉出人得分之和為分的各種情況，結合獨立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（2）計算出人各自得分為的概率，可知，利用二項分布的期望公式可求出的值.
【詳解】（1）解：設事件為員工答對甲類問題；設事件為員工答對乙類問題；
設事件為員工答對甲類問題；設事件為員工答對乙類問題；
設事件為員工答對甲類問題；設事件為員工答對乙類問題；
三人得分之和為分的情況有：
①員工答對甲類題，答錯乙類題；與員工均答錯甲類題，
則；
②員工答對甲類題，答錯乙類題；與員工均答錯甲類題，
；
③員工答對甲類題，答錯乙類題；與員工均答錯甲類題，
，
所以三人得分之和為分的概率為.
（2）解：因為員工得分的概率為，
B員工得分的概率為，
員工得100分的概率為，
所以，隨機變量，所以，.
20．(1)證明見解析；
(2)當時，面與面所成的二面角的正弦值最大．
【分析】（1）連接，易知，，由，，再利用勾股定理求得和的長，從而證明，然后以為原點建立空間直角坐標系，證得，即可；
（2）易知平面的一個法向量為，0，，求得平面的法向量，再由空間向量的數(shù)量積可得，從而知當時，得解．
【詳解】（1）證明：連接，
，分別為直三棱柱的棱和的中點，且，
，，
，，
，，
，即，
故以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則， ， ， ， ，
設，且，則，
， ，
，即．
（2）解：平面，平面的一個法向量為，
由（1）知，， ，
設平面的法向量為，則，即，
令，則，，，
，
又
當時，面與面所成的二面角的余弦值最小，此時正弦值最大，
故當時，面與面所成的二面角的正弦值最大．
21．（1）證明見解析；（2）.
【分析】(1) 令,利用導數(shù)求出的最小值為1,而的最大值為1,所以;
(2)將問題轉化為在上有兩個不同的實數(shù)根,然后構造函,數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的最小值,根據(jù)最小值和端點值可以得到答案.
【詳解】(1)證明:時,,令,則,
當時,,在上為遞減函數(shù),
當時,,在上為增函數(shù),
所以,而,且,
所以,即.
(2)在上有兩個極值點等價于在上有兩個不同的實數(shù)根,
等價于,設,
,令,得,
當時,,在上為減函數(shù),
當時,,在上為增函數(shù),
又,,
所以當時,方程在上有兩個不同的實數(shù)根,
所以的取值范圍是.
【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)最值證明不等式,考查了根據(jù)極值點的個數(shù)求參數(shù),第(1)問中轉化為證的最小值大于的最大值是解題關鍵,第(2)問題中對分離參數(shù)后構造函數(shù)求導是解題關鍵,本題屬于較難題.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質，建立方程組，可得答案；
（2）分情況設直線的方程，聯(lián)立方程，寫出韋達定理，根據(jù)斜率之間的關系，求得直線方程的參數(shù)，整理所求值的函數(shù)，利用導數(shù)，求得最值.
【詳解】（1）
當點P為橢圓C短軸頂點時，的面積取最大值，
結合及，解得 ，
故橢圓C的標準方程為 .
（2）
設點，
若直線PQ的斜率為零，由對稱性知，，
則，，，不合題意.
設直線PQ 的方程為 ，由于直線PQ不過橢圓 C 的左、右頂點，則
聯(lián)立 得，由可得 ，
，，
所以
解得
即直線PQ的方程為，故直線PQ過定點 .
由韋達定理可得，
由平面幾何知識，
所以，
設，則，當時，，故在單調(diào)增，
因為，所以，
因此，的最大值為.

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