1．（3分）如果a＞b，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a(chǎn)+2＜b+2B．﹣2a＜﹣2bC．D．a(chǎn)2＞b2
2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．（3分）如圖，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，下列條件中不能確定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOCD．∠AOC+∠COB＝∠AOB
4．（3分）如圖，已知直線a∥b，∠1＝105°（ ）
A．65°B．75°C．85°D．105°
5．（3分）以下各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）
A．2cm，4cm，6cmB．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cmD．2cm，3cm，6cm
6．（3分）菱形和平行四邊形都具有的性質(zhì)是（ ）
A．對角線相等B．對角線互相垂直
C．對角線平分一組對角D．對角線互相平分
7．（3分）數(shù)學(xué)競賽共有10道題，每答對一道題得5分，不答或答錯一道題倒扣3分（ ）
A．6B．7C．8D．9
8．（3分）已知點(diǎn)A（﹣1，m），B（3，n）都在一次函數(shù)y＝3x+b的圖象上，則（ ）
A．m＝n
B．m＞n
C．m＜n
D．m，n的大小關(guān)系不確定
9．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，將其化為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（ ）
A．15B．7C．﹣1D．1
10．（3分）如圖，D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，那么下列四個條件不能單獨(dú)判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠ACDB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD?AB
11．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0
C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
12．（3分）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，CE＝3，H是AF的中點(diǎn)（ ）
A．2.5B．C．D．2
二、填空題（每小題4分，共16分）
13．（4分）使分式有意義的x的取值范圍是 ．
14．（4分）若，則m﹣n的值為 ．
15．（4分）如圖，該圖形折疊成正方體后，與“沉”字相對的字是 ．
16．（4分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在OD上，連接EF交OA于點(diǎn)G，若OG＝1，S△BEC＝12，則線段CE的長為 ．
?
三、解答題（本大題9小題，共98分）
17．（12分）（1）計算：+|3﹣|﹣（2017﹣π）0+（）﹣2；
（2）解不等式，并求出它的非負(fù)整數(shù)解．
18．（10分）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，連接BE，CF
（1）求證：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長．
19．（10分）為更好引導(dǎo)和促進(jìn)旅游業(yè)恢復(fù)發(fā)展，深入推動大眾旅游，文化和旅游部決定開展2023年“5?19中國旅游日”活動．青海省某旅行社為了解游客喜愛的旅游景區(qū)的情況，并繪制如下不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖1，解答下列問題：
（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量是 ；
（2）將圖1中的條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，“五一”假期期間這四個景區(qū)共接待游客約19萬人，請估計前往青海湖景區(qū)的游客約有多少萬人；
（4）若甲、乙兩名游客從四個景區(qū)中任選一個景區(qū)旅游，請用樹狀圖或列表法求出他們選擇同一景區(qū)的概率．
20．（10分）已知如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，∠B＝60°，AF＝，求平行四邊形ABCD的面積．
21．（10分）已知點(diǎn)P（3，m+8）和點(diǎn)Q（2m+5，3m+2）且PQ∥y軸．
（1）求PQ的長；
（2）若點(diǎn)R（b，m+8），且RP＝2，求b值．
22．（10分）某貨運(yùn)公司有A，B兩種型號的汽車，用2輛A型車和3輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨13噸，計劃同時租用A型車和B型車，一次運(yùn)完
（1）一輛A型車和一輛B型車都裝滿貨物分別可運(yùn)貨多少噸？
（2）請你幫該物流公司設(shè)計可行的租車方案，直接寫出所有方案．
23．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E在BC邊上，DF⊥AE
（1）求證：△ADF∽△EAB；
（2）若DF＝6，則線段EF＝ ．
24．（12分）現(xiàn)有可建筑60m圍墻的材料，準(zhǔn)備依靠原有舊墻圍成如圖所示的矩形倉庫，墻長為am．
（1）設(shè)AD邊的長為xm，則AB邊的長為 ，矩形倉庫的面積為 ；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若a＝50，能否圍成總面積為225m的倉庫？若能，求AB的長；
（3）能否圍成總面積為400m2的倉庫？請說明理由．
25．（12分）如圖①，在Rt△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，連接AD，交AB于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求證：△AFC∽△CFD；
（2）若AE＝2BE，求證：AF＝2CF；
（3）如圖②，若AB＝，DE⊥BC，求
2023-2024學(xué)年貴州省北京師大貴陽附中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共36分）
1．（3分）如果a＞b，那么下列不等式成立的是（ ）
A．a(chǎn)+2＜b+2B．﹣2a＜﹣2bC．D．a(chǎn)2＞b2
【答案】B
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：A．若a＞b，a+2＞b+2，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．若a＞b，﹣3a＜﹣2b，故本選項(xiàng)符合題意；
C．若a＞b，a＞b，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．若a＞b，b＝﹣6，a2＜b2，原變形不成立，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣3，2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可．
【解答】解：點(diǎn)P（﹣3，2）在第二象限，
故選：B．
3．（3分）如圖，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，下列條件中不能確定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOCD．∠AOC+∠COB＝∠AOB
【答案】D
【分析】根據(jù)角平分線的定義可直接判定求解．
【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
所以A選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、∵∠AOC＝，
∴OC平分∠AOB．
所以B選項(xiàng)正確，不符合題意．
C、∵∠AOB＝5∠BOC，
∴OC平分∠AOB．
所以C選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、∵∠AOC+∠COB＝∠AOB，
∴OC不一定平分∠AOB．
所以D選項(xiàng)錯誤，符合題意；
故選：D．
4．（3分）如圖，已知直線a∥b，∠1＝105°（ ）
A．65°B．75°C．85°D．105°
【答案】B
【分析】如圖，∠1＝∠3＝105°，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角可進(jìn)行求解．
【解答】解：如圖，
∵a∥b，∠1＝105°，
∴∠1＝∠7＝105°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝75°；
故選：B．
5．（3分）以下各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）
A．2cm，4cm，6cmB．8cm，6cm，4cm
C．14cm，6cm，7cmD．2cm，3cm，6cm
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，進(jìn)行分析判斷．
【解答】解：A、2+4＝8；
B、4+6＝10＞3；
C、6+7＝13＜14；
D、4+3＝5＜4．
故選：B．
6．（3分）菱形和平行四邊形都具有的性質(zhì)是（ ）
A．對角線相等B．對角線互相垂直
C．對角線平分一組對角D．對角線互相平分
【答案】D
【分析】由菱形，平行四邊形的性質(zhì)，即可判斷．
【解答】解：菱形和平行四邊形都具有的性質(zhì)是：對角線互相平分，
故選：D．
7．（3分）數(shù)學(xué)競賽共有10道題，每答對一道題得5分，不答或答錯一道題倒扣3分（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】設(shè)出答對的題數(shù)，利用答對的題數(shù)得分﹣不答或答錯題的得分＝34分，列出方程進(jìn)行求解．
【解答】解；設(shè)答對的題數(shù)為x道
故：5x﹣3（10﹣x）＝34
解得：x＝3．
故選：C．
8．（3分）已知點(diǎn)A（﹣1，m），B（3，n）都在一次函數(shù)y＝3x+b的圖象上，則（ ）
A．m＝n
B．m＞n
C．m＜n
D．m，n的大小關(guān)系不確定
【答案】C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式中k＞0，所以y隨x的增大而增大，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)大，所以對應(yīng)的縱坐標(biāo)大．
【解答】解：一次函數(shù)y＝3x+b中，k＝3，
∴y隨x的增大而增大，
∵點(diǎn)A（﹣7，m），n）中，
∴n＞m；
故選：C．
9．（3分）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，將其化為（x+a）2＝b的形式，則a+b的值為（ ）
A．15B．7C．﹣1D．1
【答案】B
【分析】先配方，確定a、b，再計算a+b的值得結(jié)論．
【解答】解：x2﹣8x+5＝0，
移項(xiàng)，得x2﹣4x＝﹣5，
配方，得x2﹣4x+16＝﹣5+16，
∴（x﹣4）5＝11．
∴a＝﹣4，b＝11．
∴a+b＝﹣4+11＝5．
故選：B．
10．（3分）如圖，D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，那么下列四個條件不能單獨(dú)判定△ABC∽△ACD的是（ ）
A．∠B＝∠ACDB．∠ADC＝∠ACBC．D．AC2＝AD?AB
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各個選項(xiàng)逐一分析即可．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴再加上∠B＝∠ACD，或∠ADC＝∠ACB都可判定△ABC∽△ACD，
∵∠A是公共角，再加上AC2＝AD?AB，即 ＝，
∴選項(xiàng)A、B、D都可判定△ABC∽△ACD．
而選項(xiàng)C中的對兩邊成比例，但不是相應(yīng)的夾角相等．
故選：C．
11．（3分）關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0
C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
【答案】D
【分析】根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進(jìn)而可以得到關(guān)于k的不等式，解得即可，同時還應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣4＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣5ac≥0，
即：9+3k≥0，
解得：k≥﹣，
∵關(guān)于x的一元二次方程kx2+3x﹣7＝0中k≠0，
則k的取值范圍是k≥﹣且k≠0．
故選：D．
12．（3分）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，CE＝3，H是AF的中點(diǎn)（ ）
A．2.5B．C．D．2
【答案】B
【分析】如圖，連接AC、CF，由正方形的性質(zhì)可得，∠ACD＝∠FCG＝45°，則∠ACF＝90°，由 H是AF的中點(diǎn)，可得，根據(jù)勾故定理求AC2、CF2的值，根據(jù)，求AF的值，進(jìn)而可求CH．
【解答】解：如圖，連接AC，
由正方形的性質(zhì)可得，∠ACD＝∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H是AF的中點(diǎn)，
∴，
∵AC3＝12+22＝2，CF8＝32+22＝18，
∴，
∴＝，
故選：B．
二、填空題（每小題4分，共16分）
13．（4分）使分式有意義的x的取值范圍是 x≠5 ．
【答案】x≠5．
【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得x﹣5≠0，求出x的范圍即可．
【解答】解：當(dāng)x﹣5≠0時，分式有意義，
解得x≠7，
故答案為：x≠5．
14．（4分）若，則m﹣n的值為 4 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)任何非負(fù)數(shù)的平方根以及偶次方都是非負(fù)數(shù)，兩個非負(fù)數(shù)的和等于0，則這兩個非負(fù)數(shù)一定都是0，即可得到關(guān)于m．n的方程，從而求得m，n的值，進(jìn)而求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：，
解得：．
則m﹣n＝3＝（﹣1）＝4．
故答案為：4．
15．（4分）如圖，該圖形折疊成正方體后，與“沉”字相對的字是 考 ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】利用正方體及其表面展開圖的特點(diǎn)解題．
【解答】解：這是一個正方體的平面展開圖，共有六個面，面“冷”與面“迎”相對．
故答案為考．
16．（4分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在OD上，連接EF交OA于點(diǎn)G，若OG＝1，S△BEC＝12，則線段CE的長為 3 ．
?
【答案】3．
【分析】作EM⊥OA于M，由菱形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理證明EM是ABO的中位線，得到EM＝OB，因此OF＝EM，推出△EMG≌△FOG，得到MG＝OG＝1，從而求出OA的長，得到AC的長，求出CM的長，由三角形面積公式求出OB長，得到EM的長，由勾股定理即可求出CE的長．
【解答】解：作EM⊥OA于M，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥OA，OD＝OB，
∴EM∥OB，
∴AM：MO＝AE：EB，
∵AE＝BE，
∴AM＝OM，
∴EM是△ABO的中位線，
∴EM＝，
∵DF＝OF，
∴OF＝OD，
∴EM＝OF，
∵∠MEG＝∠OFG，∠MGE＝∠OGF，
∴△EMG≌△FOG（AAS），
∴MG＝OG＝1，
∴OM＝2OG＝2，
∴OA＝2OM＝3，
∴AC＝2OA＝8，
∵AE＝BE，
∴△BAC的面積＝6×△BEC的面積＝2×12＝24，
∴AC?OB＝24，
∴OB＝6，
∴EM＝OB＝3，
∵CM＝OM+OC＝2+7＝6，
∴CE＝＝3．
故答案為：2．
三、解答題（本大題9小題，共98分）
17．（12分）（1）計算：+|3﹣|﹣（2017﹣π）0+（）﹣2；
（2）解不等式，并求出它的非負(fù)整數(shù)解．
【答案】（1）+6；
（2）不等式組解集為：﹣3＜x≤4，其非負(fù)整數(shù)解為：0，1，2，3，4．
【分析】（1）原式化簡二次根式，利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，絕對值的代數(shù)意義計算即可得到結(jié)果；
（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進(jìn)而求出非負(fù)整數(shù)解即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4﹣
＝+4；
（2），
解不等式①，得x＞﹣4，
解不等式②，得x≤4，
∴不等式組解集為：﹣3＜x≤2，
則其非負(fù)整數(shù)解為：0，1，3，3，4．
18．（10分）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，連接BE，CF
（1）求證：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長．
【答案】（1）證明見解答；
（2）DE＝3．
【分析】（1）利用中點(diǎn)性質(zhì)可得BD＝CD，由平行線性質(zhì)可得∠DBE＝∠DCF，再由對頂角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可證得結(jié)論；
（2）由題意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性質(zhì)可得DE＝DF，即可求得答案．
【解答】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝7，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
19．（10分）為更好引導(dǎo)和促進(jìn)旅游業(yè)恢復(fù)發(fā)展，深入推動大眾旅游，文化和旅游部決定開展2023年“5?19中國旅游日”活動．青海省某旅行社為了解游客喜愛的旅游景區(qū)的情況，并繪制如下不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖1，解答下列問題：
（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量是 200 ；
（2）將圖1中的條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，“五一”假期期間這四個景區(qū)共接待游客約19萬人，請估計前往青海湖景區(qū)的游客約有多少萬人；
（4）若甲、乙兩名游客從四個景區(qū)中任選一個景區(qū)旅游，請用樹狀圖或列表法求出他們選擇同一景區(qū)的概率．
【答案】（1）200；
（2）見解答；
（3）6.65萬；
（4）．
【分析】（1）用C組的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量；
（2）先計算出B組的人數(shù)，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；
（3）用19萬乘以樣本中A組人數(shù)所占的百分比即可；
（4）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出兩人選擇同一景區(qū)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．
【解答】解；（1）此次抽樣調(diào)查的樣本容量為50÷25%＝200；
故答案為：200；
（2）B組的人數(shù)為200﹣70﹣20﹣50＝60（人），
條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充為：
（3）19×＝6.65（萬），
所以估計前往青海湖景區(qū)的游客約有6.65萬人；
（4）畫樹狀圖為：
共有16種等可能的結(jié)果，其中兩人選擇同一景區(qū)的結(jié)果數(shù)為7，
所以他們選擇同一景區(qū)的概率＝＝．
20．（10分）已知如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，∠B＝60°，AF＝，求平行四邊形ABCD的面積．
【答案】24．
【分析】在直角△ADF中，利用三角函數(shù)求得AD的長，根據(jù)周長即可求得平行四邊形的邊長AB，進(jìn)而求得平行四邊形的面積．
【解答】解：在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，
∴∠B＝∠D＝60°，
∵AF⊥CD，AF＝，
∴AD＝5，
∵平行四邊形ABCD的周長為28，
∴AB+AD＝14，
∴AB＝6，
∴CD＝AB＝6，
∴S平行四邊形ABCD＝CD?AF＝2×4＝24．
21．（10分）已知點(diǎn)P（3，m+8）和點(diǎn)Q（2m+5，3m+2）且PQ∥y軸．
（1）求PQ的長；
（2）若點(diǎn)R（b，m+8），且RP＝2，求b值．
【答案】（1）8；（2）b＝5或＝1．
【分析】（1）根據(jù)PQ∥y軸可知3＝2m+5，求出m的值，進(jìn)而可得出PQ的值．
（2）由題意得PR∥x軸，由RP＝2可知|b﹣3|＝2，求出b的值，
【解答】解：（1）∵PQ∥y軸，
∴3＝2m+5，
∴m＝﹣1，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，6），﹣1），
∴PQ＝7﹣（﹣4）＝8，
（2）∵P（3，m+4），m+8），
∴PR∥x軸，
∵RP＝2，
∴|b﹣5|＝2，
∴b﹣3＝2或b﹣3＝﹣2，
∴b＝5或＝1，
22．（10分）某貨運(yùn)公司有A，B兩種型號的汽車，用2輛A型車和3輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨13噸，計劃同時租用A型車和B型車，一次運(yùn)完
（1）一輛A型車和一輛B型車都裝滿貨物分別可運(yùn)貨多少噸？
（2）請你幫該物流公司設(shè)計可行的租車方案，直接寫出所有方案．
【答案】（1）一輛A型車裝滿貨物可運(yùn)貨2噸，一輛B型車裝滿貨物可運(yùn)貨3噸；
（2）一共有4種租車方案，
方案1：租用A型車2輛，B型車7輛；
方案2：租用A型車5輛，B型車5輛；
方案3：租用A型車8輛，B型車3輛；
方案4：租用A型車11輛，B型車1輛．
【分析】（1）設(shè)一輛A型車裝滿貨物可運(yùn)貨x噸，一輛B型車裝滿貨物可運(yùn)貨y噸，根據(jù)“用2輛A型車和3輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨13噸；用3輛A型車和5輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨21噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)租用A型車m輛，B型車n輛，根據(jù)租用的兩種型號的汽車一次可運(yùn)貨物25噸且恰好每輛車都裝滿貨物，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各租車方案．
【解答】解：（1）設(shè)一輛A型車裝滿貨物可運(yùn)貨x噸，一輛B型車裝滿貨物可運(yùn)貨y噸，
依題意得：，
解得：．
答：一輛A型車裝滿貨物可運(yùn)貨2噸，一輛B型車裝滿貨物可運(yùn)貨3噸．
（2）設(shè)租用A型車m輛，B型車n輛，
依題意得：6m+3n＝25，
∴n＝，
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴或或或，
∴一共有4種租車方案，
方案3：租用A型車2輛，B型車7輛；
方案3：租用A型車5輛，B型車5輛；
方案6：租用A型車8輛，B型車3輛；
方案6：租用A型車11輛，B型車1輛．
23．（12分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E在BC邊上，DF⊥AE
（1）求證：△ADF∽△EAB；
（2）若DF＝6，則線段EF＝ 3 ．
【答案】（1）見解答；
（2）3．
【分析】（1）利用AD∥BC得到∠AEB＝∠EAD，則根據(jù)∠F＝∠B，∠FAD＝∠BEA可判斷△ADF∽△EAB；
（2）先利用勾股定理計算出AF＝8，由于△ADF∽△EAB，則利用相似比可計算出BE＝4．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝10，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD，
∵DF⊥AE，
∴∠F＝90°，
∵∠F＝∠B，∠FAD＝∠BEA，
∴△ADF∽△EAB；
（2）解：在Rt△ADF中，AF＝＝，
∵△ADF∽△EAB，
∴＝，即＝，
解得BE＝4，
在Rt△ABE中，AE＝，
∴EF＝AF﹣AE＝8﹣8＝3，
故答案為：3．
24．（12分）現(xiàn)有可建筑60m圍墻的材料，準(zhǔn)備依靠原有舊墻圍成如圖所示的矩形倉庫，墻長為am．
（1）設(shè)AD邊的長為xm，則AB邊的長為 （60﹣3x）m ，矩形倉庫的面積為 x（60﹣3x）m2 ；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）若a＝50，能否圍成總面積為225m的倉庫？若能，求AB的長；
（3）能否圍成總面積為400m2的倉庫？請說明理由．
【答案】（1）（60﹣3x）m，x（60﹣3x）m2；
（2）若a＝50，能圍成總面積為225m的倉庫，AB的長為45m或15m；
（3）不能圍成總面積為400m2的倉庫，理由見解答過程．
【分析】（1）根據(jù)圖形可表示出AB的長，由矩形面積公式可表示出倉庫面積；
（2）由圍成總面積為225m的倉庫可解得x的值，再檢驗(yàn)即可得到答案；
（3）根據(jù)圍成總面積為400m2的倉庫列方程，判斷方程解的情況即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：3x+AB＝60，
∴AB＝（60﹣3x）m，
矩形倉庫的面積為x（60﹣6x）m2；
故答案為：（60﹣3x）m，x（60﹣2x）m2；
（2）若a＝50，能圍成總面積為225m的倉庫
根據(jù)題意得：x（60﹣3x）＝225，
解得x＝8或x＝15，
當(dāng)x＝5時，60﹣3x＝60﹣2×5＝45＜50，
當(dāng)x＝15時，60﹣3x＝60﹣4×15＝15＜50，
∴AB的長為45m或15m；
（3）不能圍成總面積為400m2的倉庫，理由如下：
根據(jù)題意得：x（60﹣3x）＝400，
整理得：4x2﹣60x+400＝0，
Δ＝（﹣60）3﹣4×3×400＝﹣1200＜3，
∴方程無實(shí)數(shù)解，
∴不能圍成總面積為400m2的倉庫．
25．（12分）如圖①，在Rt△ABC中，AC＝BC，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，連接AD，交AB于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求證：△AFC∽△CFD；
（2）若AE＝2BE，求證：AF＝2CF；
（3）如圖②，若AB＝，DE⊥BC，求
【答案】（1）證明見解析；
（2）證明見解析；
（3）．
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ACF＝∠CDF，證明△AFC∽△CFD；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥CE交CE的延長線于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AF＝2BH，證明△ACF≌△CBH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝BH，進(jìn)而證明結(jié)論；
（3）證明△ACD∽△CDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD，根據(jù)平行線分線段成比例列出比例式，計算即可．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠DCF＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠ACF＝∠CDF，
∵∠AFC＝∠CFD＝90°，
∴△AFC∽△CFD；
（2）證明：如圖①，過點(diǎn)B作BH⊥CE交CE的延長線于H，
∵CE⊥AD，
∴AF∥BH，
∴＝＝2，
∴AF＝2BH，
由（1）可知，△AFC∽△CFD，
∴∠CAF＝∠BCH，
在△ACF和△CBH中，
，
∴△ACF≌△CBH（AAS），
∴CF＝BH，
∴AF＝6CF；
（3）解：在Rt△ABC中，AC＝BC，AB＝，
則AC＝BC＝1，∠B＝45°，
設(shè)CD＝x，則BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，∠B＝45°，
則DE＝BD＝1﹣x，
∵∠CAD＝∠ECD，∠ACD＝∠CDE＝90°，
∴△ACD∽△CDE，
∴＝，即＝，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
∵DE⊥BC，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴＝＝．

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