數(shù)學(xué)試卷
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名﹑準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)集合，，且，則
A.6B.4C.D.
2.若，則
A.B.0C.D.
3.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：，乙：是單調(diào)遞減數(shù)列，則
A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件
C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分也不必要條件
4.在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).設(shè)，，則
A.B.C.D.
5.某校學(xué)生在研究折紙?jiān)囼?yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對(duì)折后紙張達(dá)到一定的厚度時(shí)，便不能繼續(xù)對(duì)折了.在理想情況下，對(duì)折次數(shù)n與紙的長(zhǎng)邊長(zhǎng)（cm）和厚度x（cm）滿足：.一張長(zhǎng)邊長(zhǎng)為26cm，厚度為0.01cm的矩形紙最多能對(duì)折的次數(shù)為
A.6B.7C.8D.9
6.在△ABC中，，，且△ABC的面積為，則
A.B.C.D.
7.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，，且，當(dāng)取得最大值時(shí)，
A.6B.8C.9D.10
8.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為3，截去該三棱柱的三個(gè)角（如圖1所示，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點(diǎn)），得到幾何體如圖2所示，則所得幾何體外接球的表面積是
圖1圖2
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定正確的是
A.B.C.D.
10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.則
A.
B.在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)
C.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)的圖象
D.A，B，C是直線與曲線的從左至右相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若，則
11.正方體中，P是體對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，M是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是
A.異面直線與所成的角的最小值為B.異面直線與所成的角的最大值為
C.對(duì)于任意的P，存在點(diǎn)M使得D.對(duì)于任意的M，存在點(diǎn)P使得
12.已知函數(shù)，則
A.曲線在處的切線方程為
B.在上單調(diào)遞增
C.對(duì)任意的，，有
D.對(duì)任意的，，，，則
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.的展開(kāi)式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）.
14.已知同一平面內(nèi)的單位向量，，，滿足，則 .
15.若直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，≥8，則直線l的斜率的取值范圍為 .
16.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作漸近線的垂線，垂足為P，若，則雙曲線C的離心率為，過(guò)雙曲線C上任一點(diǎn)Q作兩漸近線的平行線QM，QN，它們和兩條漸近線圍成的平行四邊形OMQN的面積為，則雙曲線C的方程為 .
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.（10分）
已知數(shù)列滿足，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
18.（12分）
已知在△ABC中，，.
（1）求的值；
（2）若，求AC邊上的高.
19.（12分）
抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中3雙是一次性筷子，2雙是非一次性筷子，每次使用筷子時(shí)，從抽屜中隨機(jī)取出1雙（2只都為一次性筷子或都為非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過(guò)清洗再次放入抽屜中，求：
（1）在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
（2）取了3次后，取出的一次性筷子的雙數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
20.（12分）
如圖，在梯形ABCD中，，，，，AC與BD交于點(diǎn)M，將△ABD沿BD翻折至△PBD，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置.
（1）證明：；
（2）若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為，求三棱錐P-BCD的體積.
21.（12分）
已知橢圓C：（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且其離心率小于，P為橢圓C上一點(diǎn)，、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，的面積的最大值為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）A為橢圓C的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線為過(guò)點(diǎn)D且與AM平行的直線，設(shè)與直線的交點(diǎn)為Q.證明：直線QN過(guò)定點(diǎn).
22.（12分）
已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)（），且恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
2024屆11月高三聯(lián)考
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.D
【解析】，，∵，∴，∴，故選D.
2.D
【解析】，∴，∴.故選D.
3.A
【解析】若，則（），所以是單調(diào)遞減數(shù)列；若是單調(diào)遞減數(shù)列，則（），即（），但不一定小于0.所以甲是乙的充分不必要條件，故選A.
4.C
【解析】如圖，，故選C.
5.B
【解析】，因?yàn)?，所以，?故選B.
6.D
【解析】設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∵，∴，，∴.
∴，∴.
7.B
【解析】由題易知，，∵，∴，故是公比為的等比數(shù)列，∵，∴，故.∴，
∴，要使取得最大值，則為偶數(shù)，且取最小值，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)知，當(dāng)時(shí)，符合要求.故選B.
8.A
【解析】易知△DEF的外心即為的外心，如圖，設(shè)△DEF的外心為，△ABC的外心為，則所得幾何體外接球的球心O在直線上，，，設(shè)外接球的半徑為R，則，聯(lián)立解得：，，所以外接球的表面積為.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9.AC
【解析】
A.由得，∴，故A正確；B取，，可得，，故B錯(cuò)誤；C.∵，∴，故C正確；D.設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故時(shí)，，即，，故D錯(cuò)誤.
10.ABD
【解析】
A.由的部分圖象可知，，可得，所以，
由五點(diǎn)作圖法可得，解得，，又，所以，所以函數(shù)的解析式為，故A正確；
B.令得，，所以在區(qū)間上有和兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；
C.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象，故C錯(cuò)誤；
D..
若，不妨設(shè)A，B，C的位置如圖1所示，
圖1
則，，
同理時(shí)，如圖2，，，所以，故D正確.
圖2
11.ABD
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，
設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則，
設(shè)，，則，
設(shè)異面直線與所成的角為，
則，
A.當(dāng)時(shí)，，，故A正確；
B.當(dāng)時(shí)，，，故B正確；
C.設(shè)，，則，，
當(dāng)時(shí)，無(wú)解，故C錯(cuò)誤；
D.，令，得，即對(duì)于任意的M，存在點(diǎn)P使得，故D正確.
12.BCD
【解析】A.由題意可知：，，則，
則曲線在處的切線方程為.故A錯(cuò)誤；
B.令，則，令，
則，則在上單調(diào)遞增，則，
則，則在上單調(diào)遞增，故B正確；
C.令，則，
則在上單調(diào)遞增，則，則，
∴，故C正確；
D.令，則，
令，則，
則在上單調(diào)遞增﹐則，則，則在上單調(diào)遞增，則，則，故D正確.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.
【解析】的系數(shù)為.
14.
【解析】由題意可知：，則，則，
∴.
15.
【解析】將圓C的方程整理得，
圓心坐標(biāo)為，半徑為，
要求，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，
∴，即（），
∴，，
設(shè)直線l的斜率為k，則，
∴，
直線l的斜率的取值范圍是.
16.；（第一空2分，第二空3分）
【解析】因?yàn)椋裕?br>作于H，如圖1，則|，.
圖1
又∵，
∴，
∴.
∴.
因?yàn)?，所以雙曲線C的漸近線方程為，如圖2，
圖2
設(shè)，因?yàn)?，所以?br>所以.
設(shè)，點(diǎn)Q到兩條漸近線的距離分別為，，
則四邊形OMQN的面積為，
而，
所以，解得：，
∴，故雙曲線C的方程為.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.【解析】
（1）由得：，
∵，所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，
所以，
所以；
（2），
所以
，
18.【解析】
（1）∵，
∴，，
又∵，
∴，，
∴，，
∴；
（2）∵，
∴B是鈍角，
∴，，
即.
又，，所以，
又因?yàn)镃為銳角，，所以解得，
∴，
設(shè)AC邊上的高為BD，
則，得，
故AC邊上的高為.
19.【解析】
（1）設(shè)第1次取出的是一次性筷子為事件A，第2次取出的是非一次性筷子為事件B，
則，
，
所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
（2）記取出的一次性筷子的雙數(shù)為X，則，1，2，3，
則，
，
，
則，
則X的分布列為
數(shù)學(xué)期望.
20.【解析】
（1）∵，，
∴，
∴，
∴，
即，，
∴，，又，
∴平面PMC，
∴；
（2）直角△ABC中，，
∵，
∴，
∴，，，
由（1）平面PMC，
以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz，
則，，，
設(shè)，其中，
所以，，，
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，
則，
取，，
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，
則，
取，則，
，
解得，或，.
故或.
21.【解析】
（1）由題意可知：，
∵，
∴，，，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)，，MN：.
聯(lián)立直線MN與橢圓C的方程可得：，則，
∴，
∵，則：，令，解得，
∴，
故直線QN的方程為：，
根據(jù)對(duì)稱性，直線QN所過(guò)的定點(diǎn)在y軸上，不妨令，
則
，
故直線QN過(guò)定點(diǎn).
22.【解析】
（1）法一：易知的定義域?yàn)椋?br>∵，
當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴在上有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，由得，由得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
ⅰ.當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，故函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；
ⅱ.當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
ⅲ.當(dāng)時(shí)，，，，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
，
設(shè)，令，，，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn).
綜上，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；
法二：令，得，令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，如圖1；
圖1
當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，如圖2；
圖2
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，如圖3；
圖3
（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（1）知，，且.
恒成立恒成立，
∵，
∴，
設(shè)，則，，
∵，
∴.
∴對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.
令，
當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)恒成立；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，故；
當(dāng)時(shí)，，，
故存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，不符合要求，舍去.
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
A
C
B
D
B
A
題號(hào)
9
10
11
12
答案
AC
ABD
ABD
BCD
X
0
1
2
3
P
0.064
0.366
0.47
0.1

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