1．下列各式是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．把一元二次方程化為一般形式，若二次項(xiàng)系數(shù)是1，則一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A．和3B．和1C．和3D．和1
3．下列計(jì)算結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．用配方法解方程，變形正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，若，則下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若，則的值是（ ）
A．6B．8C．9D．12
7．若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是（ ）
A．B．0C．2D．4
8．如圖，，，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交y軸正半軸于點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
9．已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，則m的值為（ ）
A．或1B．或3C．D．3
10．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎發(fā)現(xiàn)：將三角板的直角頂點(diǎn)放在長(zhǎng)方形紙片的邊上移動(dòng)，恰好存在兩直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，情形（如圖）．如果，，則的長(zhǎng)應(yīng)為（ ）
A．1或9B．2或8C．3或7D．4或6
二、填空題（本題共有4小題，每小題5分，共計(jì)20分）
11．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則應(yīng)滿足的條件是________．
12．若關(guān)于的一元二次方程有一根為3，則的值是________．
13．《安徽省電動(dòng)自行車管理?xiàng)l例》自2023年3月1日起施行．《條例》規(guī)定，駕駛?cè)撕痛钶d人應(yīng)當(dāng)規(guī)范佩戴安全頭盔，同時(shí)，針對(duì)不規(guī)范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標(biāo)準(zhǔn)．某商店以每件80元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批安全頭盔，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該頭盔每周銷售量（件）與銷售單價(jià)（元/件）滿足一次函數(shù)，物價(jià)部門規(guī)定每件頭盔的利潤(rùn)不能超過進(jìn)價(jià)的30%．若商店計(jì)劃每周銷售該頭盔獲利200元，則每件頭盔的售價(jià)應(yīng)為________元．
14．如圖，在長(zhǎng)方形紙片中，，，將紙片分別沿，折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處．
（1）________；
（2）________．
三、解答題（本大題共有9小題，共計(jì)90分）
15．（本題滿分8分）計(jì)算：．
16．（本題滿分8分）解方程：．
17．（本題滿分8分）圍墻內(nèi)一棵大樹被風(fēng)吹歪后斜靠在旁邊的圍墻上，然后在圍墻的頂部被折斷，樹梢著地（如圖），已知圍墻高，樹的根部到圍墻的距離，樹梢著地點(diǎn)到圍墻的距離，．求大樹折斷前的高度．
18．（本題滿分10分）古希臘數(shù)學(xué)家海倫在他的著作《度量論》中，給出了計(jì)算三角形面積的公式：，（其中，，，分別為三角形的三邊長(zhǎng)，為三角形的面積）．我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》中，也曾提出由三角形三邊求三角形面積的方法，它們實(shí)質(zhì)上是相同的．請(qǐng)根據(jù)上面的公式解決問題：
已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，若，，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，請(qǐng)利用上面的公式求該三角形的面積．
19．（本題滿分10分）觀察下列等式：
，，，．
（1）按照上面的規(guī)律，寫出第2023個(gè)等式是________________；
（2）猜想第個(gè)等式，并證明你的猜想．
20．（本題滿分10分）自我縣開展文明城市創(chuàng)建工作以來，全縣人民凝聚力量，眾志成城全力打造精神文明高地，掀起了一場(chǎng)又一場(chǎng)“美麗風(fēng)暴”“整治風(fēng)暴”“文明風(fēng)暴”．某小區(qū)原有一塊寬為30m的長(zhǎng)方形荒地，物業(yè)部門計(jì)劃將其分為，，三部分，分別種植不同的花卉，美化人居環(huán)境．若，地塊為正方形，地塊的面積比地塊的面積少，試求該長(zhǎng)方形荒地的長(zhǎng)．
21．（本題滿分10分）下面各圖都是邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，小正方形的邊所在直線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若兩個(gè)格點(diǎn)間的距離是無理數(shù)，則稱該無理數(shù)為這兩個(gè)格點(diǎn)的“無理間距”．
例如，圖①中無理間距有，共有1個(gè)（數(shù)值相等的，不重復(fù)計(jì)數(shù)，下同）；圖②中無理間距除了外，還有，，共有個(gè)．
觀察圖形，解決下面問題：
（1）圖③中無理間距應(yīng)有個(gè)，除了，，外，還有________；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D③中畫出端點(diǎn)為格點(diǎn)的線段，使它們的長(zhǎng)度分別為你在（1）中所填的無理間距．（每個(gè)無理間距畫一條線段即可）
22．（本題滿分12分）觀察下面一元二次方程的解法：
①；
解：這里，，，，
所以，方程的根為，即，．
②；
解：這里，，，，
所以，方程的根為，
即，．
【觀察思考】
（1）方程①的兩個(gè)根都是有理數(shù)（稱為有理數(shù)根），而方程②的兩個(gè)根是含有無理數(shù)的實(shí)數(shù)根．若一元二次方程（，，均為整數(shù)，且）的根是有理數(shù)，應(yīng)滿足的條件是________；
【問題解決】
（2）若一元二次方程有兩個(gè)不相等的有理數(shù)根，求滿足條件的正整數(shù)的值．
23．（本題滿分14分）已知：如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，分別是在，上的點(diǎn)，連接，，且．延長(zhǎng)到，使，連接，．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
八年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）
1-5：DCDAA6-10：BCACB
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．；12．；13．100；14．（1）45；（2）．
三、解答題（本大題共有9小題，共計(jì)90分）
15．（本題滿分8分）
（4分）
．（8分）
16．（本題滿分8分）
移項(xiàng)，得，
方程左邊因式分解，得，（3分）
所以，，或，（5分）
解得，．（8分）
17．（本題滿分8分）
在中，，，
，
．（3分）
在中，，，
，
．（6分）
因此，大樹折斷前的高度為．（8分）
18．（本題滿分10分）
由韋達(dá)定理，得，，（3分）
又因?yàn)?br>所以，，（5分）
于是，（10分）
【注】本題也可先解方程求出和，再利用海倫-秦九韶公式求解，可參照給分．
19．（本題滿分10分）
（1）；（3分）
（2）第個(gè)等式：．（6分）
證明：左邊，
右邊，
所以，等式成立（10分）
20．（本題滿分10分）
設(shè)地塊的邊長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方形荒地的長(zhǎng)為，根據(jù)題意，得
．（3分）
解得，，（7分）
因?yàn)椴环项}意，舍去，取，（8分）
此時(shí)．
因此，長(zhǎng)方形荒地的長(zhǎng)為50m．（10分）
21．（本題滿分10分）
（1），，；（6分）
（2）如圖：
（10分）
圖③
22．（本題滿分12分）
（1）的值能夠從二次根號(hào)內(nèi)開盡方．
（或者的值能夠化成某個(gè)有理數(shù)平方的形式）；（4分）
（2）因?yàn)椋?br>所以，．（8分）
又因?yàn)槭钦麛?shù)，所以或2或3．（10分）
經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，開不盡方，不符合條件；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，都符合條件，
因此，滿足條件的正整數(shù)的值為2或3．（12分）
23．（本題滿分14分）
（1）證明：在和中，
；（4分）
（2）由（1）知，，所以；
在中，，所以，
；（8分）
（3）線段、與之間的數(shù)量關(guān)系：．（9分）
證明如下：
，，
；
由（1）知，，；
由（2）知，，
在中，
，
，
．（14分）

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