注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】為純虛數(shù)，∴，∴，選A.
2．設(shè)集合，，則集合的元素個數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，個元素.
3．已知圓錐的高為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)底面半徑為，母線長為，側(cè)面展開是一個半圓
∴，即，∴，∴，，選A.
4．在中，，點在邊上，則“”是“為中點”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】“”，不妨設(shè)，，則，則
滿足條件有兩個，一個是中點，一個是點，不充分.
為中點，，則，必要.
∴“”是“是中點”的必要不充分條件，選B.
5．記為等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，∴
，選C.
6．北京時間年月日時分，神舟十三號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，受到國際輿論的高度關(guān)注.為弘揚航天精神、普及航天知識、激發(fā)全校學(xué)生為國爭光的榮譽感和責(zé)任感，某校決定矩形以“傳航天精神、鑄飛天夢想”為主題的知識競賽活動.現(xiàn)有兩隊報名參加，兩隊均由兩名高一學(xué)生和兩名高二學(xué)生組成，比賽共進行三輪，每輪比賽兩隊都隨機挑選兩名成員參加答題，若每位成員被選中的機會均等，則第三輪比賽中被兩隊選中的四位學(xué)生不會來自同一年級的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】四個學(xué)生來自同一年級的概率為，
四個學(xué)生不全來自同一年級的概率為，選C.
7．已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，，A錯.
，，，B錯.
，∴，∴，，∴，
∴，∴，∴，C對.選C.
8．若斜率為的直線與拋物線和圓分別交于和兩點，且，則當(dāng)面積最大時的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】法一：，則的中點與的中點重合，設(shè)此點為，
當(dāng)時，取最大值，，
令，，，
，
∴，選D.
法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，
∴，∴，
設(shè)直線方程為，，
，中點
，，選D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．折紙發(fā)源于中國.世紀(jì)，折紙傳入歐洲，與自然科學(xué)結(jié)合在一起成為建筑學(xué)院的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支.我國傳統(tǒng)的一種手工折紙風(fēng)車（如圖）是從正方形紙片的一個直角頂點開始，沿對角線部分剪開成兩個角，將其中一個角折疊使其頂點仍落在該對角線上，同樣操作其余三個直角制作而成的，其平面圖如圖，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】如圖，，則與不平行，A錯.
設(shè)，
，B對.
，C對
∴，D對，選BCD.
10．下列命題正確的是（ ）
A．若為復(fù)數(shù)，則
B．若為向量，則
C．若為復(fù)數(shù)，且，則
D．若為向量，且，則
【答案】AD
【解析】令，，
，，，
∴，A對.
，∴，B錯.
，
，∴
，C錯.
選AD.
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．，函數(shù)在上均有極值
B．，使得函數(shù)在上無極值
C．，函數(shù)在上有且僅有一個零點
D．，使得函數(shù)在上有兩個零點
【答案】BC
【解析】，時，，無極值，A錯，B對.
時，在上單調(diào)遞增，，，
∴在有且僅有一個零點.
時，在恒成立，在上單調(diào)遞增
時，，，∴在有且僅有一個零點.
時，，或0，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減
.時，，∴有且僅有一個零點.
∴，有且僅有一個零點，C對，D錯.
12．甲同學(xué)投擲骰子次，并請乙同學(xué)將向上的點數(shù)記錄下來，計算出平均數(shù)和方差.由于記錄遺失，乙同學(xué)只記得這五個點數(shù)的平均數(shù)為，方差在區(qū)間內(nèi)，則這五個點數(shù)（ ）
A．眾數(shù)可能為B．中位數(shù)可能為
C．一定不會出現(xiàn)D．出現(xiàn)的次數(shù)不會超過兩次
【答案】ACD
【解析】法一：，眾數(shù)為，平均數(shù)為，方差，∴A對.
若中位數(shù)為，設(shè)五次數(shù)據(jù)為，
即，∴，，，矛盾，B錯.
若出現(xiàn)了，則其它四次和為，即數(shù)據(jù)為，矛盾，∴C對.
若出現(xiàn)次，則其它2次和為4，這2次為，
，D對.
法二：設(shè)向上的點數(shù)分別為，
∴，
，
不妨取，，，則，A正確.
對于B，不妨設(shè)，都中位數(shù)為3，則
∴，，∴不可能為，B錯.
對于C，若出現(xiàn)，則，與矛盾，故不可能出現(xiàn)，C正確.
對于6，假設(shè)出現(xiàn)2的次數(shù)超過2次，則至少有次.
不妨設(shè)，，，
這與矛盾，故D正確.
選：ACD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．記數(shù)列的前項積為，寫出一個同時滿足①②的數(shù)列的通項公式：________..
①是遞增的等比數(shù)列；②.
【答案】（答案不唯一）
【解析】，∴，∴.
不妨設(shè)，則，.
14．設(shè)點是曲線上的任意一點，則到直線的最小距離是________.
【答案】
【解析】的斜率為，設(shè)，切點，
，，切點到的距離.
15．已知分別為雙曲線的左、右焦點，若點關(guān)于雙曲線的漸近線的對稱點在上，則雙曲線的離心率為________.
【答案】
【解析】
法一：設(shè)的中點為，為中點.
∴為中位線，，則.，則，
∴，∴，.
法二：
令，則，如圖，關(guān)于對稱點為
即也在上，而，則，.
16．已知直三棱柱中，，，分別為棱，的中點，過點作平面將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為，則__________；平面截此三棱柱的外接球的截面面積為__________.（本小題第一空2分，第二空3分）
【答案】；
【解析】法一：
取中點，取中點，連，
∴平面為平面，，
，，
三棱錐外接球半徑，
如下圖建系，，，，，
設(shè)平面的法向量，
，∴，不妨設(shè)，則，
∴球心到平面距離，
∴，.
法二：秒殺一
q
圖（1） 圖（2）圖（3）
截面過四等分點，
由體積公式“”知，
而，∴.
棱柱外接球球心在中點，
其中為中點，如圖知，外接球半徑，如圖（3）知，
∴截面半徑，∴.
法三：秒殺二
截面過四等分點，：,，
建立空間坐標(biāo)系，，，
，∴，
∴，∴.
法四：設(shè)為上靠近的四等分點，則，
∴平面即為平面，∴
∴.
取中點，則三棱柱外接球球心為中點，外接球半徑，
到平面的距離即為到的距離，
∴截面面積.
故應(yīng)填：；.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）的橫線上，并解答下列題目.
在中，已知角的對邊分別為，且，.
（1）求；
（2）若為邊上一點，且，__________，求的面積.
（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）
【解析】
（1）由，得，
由正弦定理得.
因為，所以，
所以，即.
（2）選①，設(shè)，.因為，所以.
由余弦定理得，解得.
所以，所以的面積.
選②，因為，所以.
由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，解得.
所以，所以的面積.
選③，因為，所以.
由，解得，所以.
由余弦定理得，解得.
所以，所以的面積.
18．（12分）若數(shù)列滿足（，是不等于的常數(shù)）對任意恒成立，則稱是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”.已知在數(shù)列中，，.
（1）求證：是周期為的“類周期等差數(shù)列”，并求的值；
（2）若數(shù)列滿足，求的前項和.
【解析】
（1）法一：由，，相減得，
所以周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”，
由，，得，
所以.
法二：由，，相減得，
所以是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”，
從而的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是公差為的等差數(shù)列，
所以所以.
（2）法一：由，，得，
當(dāng)為偶數(shù)時，；
當(dāng)為奇數(shù)時，.
綜上所述，
法二：當(dāng)為偶數(shù)時，；
當(dāng)為奇數(shù)時，.
所以當(dāng)為偶數(shù)時，；
當(dāng)為奇數(shù)時，.
綜上所述，
19．（12分）年月國務(wù)院印發(fā)《全民健身計劃》，《計劃》中提出了各方面的主要任務(wù)，包括加大全民健身場地設(shè)施供給、廣泛開展全民健身賽事活動、提升科學(xué)健身指導(dǎo)服務(wù)水平、激發(fā)體育社會組織活動、促進重點人群健身活動開展和營造全民健身社會氛圍等.在各種健身的方式中，瑜伽逐漸成為一種新型的熱門健身運動.某瑜伽館在月份隨機采訪了名市民，對于是否愿意把瑜伽作為主要的健身方式作了調(diào)查.
（1）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別有關(guān)？
附：
（2）為了推廣全民健身，某市文化館計劃聯(lián)合該瑜伽館舉辦“瑜你一起”的公益活動，在全市范圍內(nèi)開設(shè)一期公益瑜伽課，先從上述參與調(diào)查的人中選擇“愿意”的人按分層抽樣抽出人，再從人中隨機抽取人免費參加.市文化館撥給瑜伽館一定的經(jīng)費補貼，補貼方案為：男性每人元，女性每人元.求補貼金額的分布列及數(shù)學(xué)期望（四舍五入精確到元）
【解析】
（1）由已知得.
所以能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“愿意把瑜伽作為主要健身方式”與性別有關(guān).
（2）調(diào)查的人中選擇“愿意”的人按分層抽樣抽出人，
其中男性人數(shù)為，女性人數(shù)為.
記補貼金額為，則可能為，，.
，，，
則的分布列為
數(shù)學(xué)期望（元）.
20．（12分）如圖，在四面體中，已知是邊長為的等邊三角形，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，為線段的中點，為線段的中點，為線段上的點.
（1）若平面，求線段的長；
（2）若二面角的大小為，求與平面所成角的大小.
【解析】
（1）因為面，面，面面，所以.
又因為為線段的中點，所以為線段的中點，
因為為線段的中點，且，所以.
因為是以點為直角頂點的等腰直角三角形，所以.
在直角中，.
（2）法一：連接，因為在等邊中，為的中點，所以.
又因為是以點為直角頂點的等腰直角三角形，為線段的中點，
所以，所以為二面角的平面角，所以.
過點作，垂足為，連接.
因為，，，面，
所以面.又因為面，所以.
又因為，面，所以面，
所以為與面所成的角.
因為，，所以，，
因為，所以為線段的的中點.
所以，且，所以，
所以與面所成角的大小為.
法二：連接.因為在等邊中，為的中點，所以.
又因為是以點為直角頂點的等腰直角三角形，為線段的中點.
所以，所以為二面角的平面角，所以.
以點為原點，所在的直線分別為軸，軸，
過點且垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
則，，.
因為，，，所以，
所以，，
所以，.
設(shè)平面的法向量為，則
即解得，
取其中一個法向量為.
因為，所以，
設(shè)與平面所成的角為，則.
又，所以，即與面所成角的大小為.
21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，直線與直線的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）若點為曲線上的任意一點（不含短軸端點），點，直線與直線交于點，直線與軸交于點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.
【解析】
（1）法一：設(shè)，，，，
∴，∴曲線的方程為.
法二：設(shè)動點，由題意可得，
所以曲線的方程為.
（2）法一：設(shè)點
設(shè)，直線方程為
直線方程為：，方程為：
在方程中令，
聯(lián)立，
∴
，∴
為定值.
法二：設(shè)線
設(shè)直線方程為，方程：
，
∴，，
方程：
令，
∴為定值.
法三：
設(shè)的直線方程為，
聯(lián)立方程組得，
由，得，
代入直線方程得，所以，
所以的直線方程為，所以.
聯(lián)立方程組解得.
所以，所以為定值.
法四：設(shè)，則直線的方程為，
聯(lián)立方程組解得.
由直線的方程為，得，
所以.
又因為，
所以為定值.
22．（12分）已知函數(shù).
（1）判斷的單調(diào)性，并說明理由；
（2）若數(shù)列滿足，，求證：對任意，.
【解析】
法一：巧妙推理
（1）
令，
在上單調(diào)遞增，∴，∴，
在上單調(diào)遞增.
（2）由
要證，只需證
即證：，∵，∴，∴
先證左邊：
令證，即證
令，，在上單調(diào)遞增，∴，得證.
再證右邊：，即證，
令，
∴在上單調(diào)遞增，，也得證.
綜上：對，，∴.
法二：（1）顯然定義域為.
當(dāng)時，
記，
，故在時為增.
（2）令，只需證明恒成立和恒成立.
因為
若，則有
①先證明，記
記，，恒成立，
故，
，故成立.
②記
，簡記為
，，，
恒成立，故命題得證！
（不想多取幾個名字，就用二階，三階導(dǎo)數(shù)了.）
法三：
（1）的定義域是，.
令，.
因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，
所以.又，，從而，
所以在上單調(diào)遞增.
（2）設(shè)，.
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以.
由（1）可知，即，
所以，即，從而.
設(shè)，則.
當(dāng)時，，所以，
所以在上單調(diào)遞增.
故當(dāng)時，，即，
從而，即，即.
因為，所以.
綜上，
愿意
不愿意
合計
男性
女性
合計

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