長郡中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（一）

這是一份長郡中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（一），共8頁。試卷主要包含了本試卷分第Ⅰ卷兩部分等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單選題：本題共8題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.如圖1,在空間四邊形中,,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段 上,且,則（ ）
A. B.C.D.
【答案】D
【解析】∵為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且,且,
∴
, 故選 D.
2．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直線的斜率等于，設(shè)它的傾斜角等于，則，且，所以，故選：B．
3.已知直線與直線相互垂直,則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A.0B.1C.D.
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€與直線相互垂直,所以,解得,
即實(shí)數(shù)的值是0,故選A.
4．傾斜角為，在軸上的截距為的直線方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)閮A斜角為，所以直線的斜率為，
又在軸上的截距為，
所以所求直線的方程為，即．
故選：B．
5.一束光線,從點(diǎn)出發(fā),經(jīng)軸反射到圓上的最短路徑的長度是（ ）
A.B.C.D.
【答案】
【解析】如圖1,由圓的方程可得圓心坐標(biāo),半徑,設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn),連接交軸于點(diǎn),交圓于點(diǎn),則為所求的最短距離,證明如下;任取軸上一點(diǎn),則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號,
所以,故選.
6．已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】兩條?面直線的方向向量分別是，，，，，又兩條異面直線所成的角為，
則，故選C．
7.已知的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn),且被直線截得的弦長為6,則的方程為（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn),且被直線截得的弦長為6,設(shè)的方程為,則弦心距為,解得,可得圖的標(biāo)準(zhǔn)方程為,故選C.
8．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在上，且關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，，四邊形的面積為6，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】原點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)，
四邊形為平行四邊形，
又，四邊形為矩形，
四邊形的面積為6，，
又，，
，解得，
，
故雙曲線的方程為．
故選：B．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．已知，，，四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使成為空間的一個基底的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】AC
【解析】對于A，因?yàn)?，且，利用平面向量基本定理可知：點(diǎn)不在平面內(nèi)，向量，，能構(gòu)成一個空間基底；
對于B，因?yàn)?，利用取面向量基本定理可知：向量，，共面，不能?gòu)成一個空間基底；
對于C，由，，利用平面向量基本定理和空間平行六面體法可知： 是以點(diǎn)為頂點(diǎn)的對角線，向量，，能構(gòu)成一個空間基底；
對于D，由，根據(jù)平面向量的基本定理可知：向量，，共面，不能構(gòu)成空間的一個基底，故選AC．
10. 已知直線和圓，則（ ）
A．直線恒過定點(diǎn)
B．存在使得直線與直線垂直
C．直線與圓相交
D．若，直線被圓截得的弦長為
【答案】BCD
【解析】直線，即，則直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；
當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，故B正確；
因?yàn)槎c(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交，故C正確；
當(dāng)時(shí)，直線化為，即，
圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，故D正確．
故選BCD．
11.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)，到直線的距離相等，則直線的方程可能為（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】到距離相等，則或過線段的中點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
過線段的中點(diǎn)時(shí)，，故選AB.
12.如圖2，為橢圓上的動點(diǎn)，過作的切線交圓于，，過點(diǎn)，作的切線交于點(diǎn)，則（ ）
A.的最大值為B.的最大值為
C.的軌跡方程是D.的軌跡方程是
【答案】AD
【解析】設(shè)，則，即，過，作切線交于，則，所以，，即，，因?yàn)辄c(diǎn)為柞圓上的動點(diǎn)，所以，可得點(diǎn)的軌跡方程為，故C錯誤，D正確；
因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以，即的最大值為，故A正確，B錯誤，故選AD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13.已知點(diǎn)，且，則的值為 .
【答案】或
【解析】，解得或.
14.已知圓，其中，如果圓C與圓相外切，則的值為 .
【答案】
【解析】圓，其圓心，半徑為，所以由題設(shè)知：，解得：.
15. 已知圓，其中，如果圓與圓相外切，則的值為
【答案】
【解析】圓，即，
因?yàn)閳A與圓相外切，所以圓心距，解得
故的值為
16．如圖3所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截而得到的，若，，，，（1） ；（2）點(diǎn)到平面的距離為 ．
【答案】；
【解析】如圖2，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，．
（1）設(shè)，由，得，∴，∴，，∴．
（2）設(shè)為平面的法向量，由得，取，則，又，∴到平面的距離．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
已知點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為.
（1）求中過,邊上中點(diǎn)的直線方程;
（2）求的面積.
【答案】（1），（2）.
【解析】（1）∵點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,∴，
又∵點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,∴，
∴的中點(diǎn)坐標(biāo)是，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
過，的直線方程是,整理得.
（2）由題意知,，，
∴的面積.
18．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線上；圓．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷圓與圓的位置關(guān)系；
（2）直線上是否存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)，使得過點(diǎn)分別作圓與圓的切線，切點(diǎn)分別為（不重合），滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】（1），外切；（2）
【解析】（1）由題意知，圓的圓心也在直線上，
聯(lián)立解得，
，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
又，而，
圓與圓相外切．
（2），，直線的方程為，
設(shè)直線上是存在點(diǎn)B滿足題意，設(shè)，由可知，，
即，所以，
即，整理得，解得或，
或，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為圓與圓的公切點(diǎn)，此時(shí)重合，不符合題意．
存在點(diǎn)，滿足．
19.(本小題滿分12分)
如圖4，是圓柱的母線，正△是該圓柱的下底面的內(nèi)接三角形，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】（1）證明：如圖4，連接，
∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵D，E分別為，的中點(diǎn)，∴，
∴平面，平面，∴平面，
又，平面，且，
∴平面平面，而平面，
∴平面
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
∵△是正三角形，且，不妨設(shè)，
∴，，，.
，，.
設(shè)平面的一個法向量為，
則取，則
設(shè)直線與平面所成角為，
則
直線與平面所成角的正弦值為.
20．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）記的右頂點(diǎn)為，與軸平行的直線與交于，兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓過點(diǎn)．
【答案】（1）（2）證明略
【解析】（1）由已知設(shè)雙曲線的方程為：，
由已知得，且，解得：，
∴雙曲線的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為：，
與聯(lián)立解得：或，
不妨設(shè)，
由（1）知點(diǎn)，
∴，的斜率分別為：，
∴，
所以，
故以為直徑的圓過點(diǎn)．
21.（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，
，底面，且.
（1）證明：平面平面；（2）若是的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】（1）證明：如圖，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由題設(shè)知，
，，由此得平面，又平面，所以平面平面.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于，設(shè)，則，，，，
，，則，，，
設(shè)平面的一個法向量為，有，令，得，，
所以；設(shè)平面的一個法向量為，有，令，得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，
有，所以平面與平面的夾角的余弦值為.
22.已知橢圓，其長軸為8，離心率為，過橢圓上一點(diǎn)P作圓O：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與x，y軸的交點(diǎn)分別為E，Q.
（1）求橢圓得方程；
（2）求面積的最小值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】（1）依題意，得，，
，，.
所以橢圓方程為.
（2）設(shè)橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，，
因?yàn)橹本€AP，BP為圓O的兩切線，圓O方程為，
∵，∴.
得到:,即,
同理可得,
所以點(diǎn)同時(shí)滿足直線方程,
即直線AB方程為:,
令 , 得 點(diǎn)坐標(biāo)為 ,
令,得點(diǎn)坐標(biāo)為,
所以,
因?yàn)樵跈E圓上,,
即最小值為2,當(dāng)時(shí)取得.