四川省廣元市重點高中2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理）試題

這是一份四川省廣元市重點高中2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理）試題，共8頁。試卷主要包含了考生必須保持答題卡的整潔等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考試時間：120分鐘 滿分：150分
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的班級、姓名和準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上。
2．選擇題用2B鉛筆在對應(yīng)的題號涂黑答案。主觀題用0.5毫米黑色簽字筆答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。
3．考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將答題卡上交。
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一．選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）
1.直線的傾斜角為（ ）
A． B． C．D．
2．已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
3．直線與直線平行，則的值為（ ）
A． B．2 C．D．0
4．直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(1，－1)對稱的直線方程是( )A．2x＋3y＋8＝0 B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋7＝0
已知實數(shù)x，y滿足，則z =2x -y的最小值是（ ）
A．5 B．0 C． D．-1
在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都為1，且兩兩夾角為 ，則的長為（ ）
A．1 B． C． D．3
已知直線ax＋y+1＝0, x＋ay+1＝0 和 x＋y+a＝0 能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（ ）
a ≠ - 2 B．a(chǎn) ≠ - 2且a ≠
C．a(chǎn) ≠ D．a(chǎn) ≠ - 2且a ≠ 1
8．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△ABC為等邊三角形，△PAC為等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D為AB的中點，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
9．已知平面上一點若直線l上存在點P使則稱該直線為點的“相關(guān)直線”，下列直線中不是點的“相關(guān)直線”的是（ ）
A． B． C． D．
10．過定點的直線與過定點的直線交于點，則的最大值為（ ）
A．1B．2 C．3 D．4
11.如圖，已知多面體是正方體，，分別是棱，的中點，點是棱上的動點，過點，，的平面與棱交于點，則以下說法不正確的是（ ）
四邊形是平行四邊形
四邊形是菱形
C．當(dāng)點從點往點運動時，四邊形的面積先增大后減小
D．當(dāng)點從點往點運動時，三棱錐的體積一直增大
12．設(shè)球是棱長為2的正方體的外接球，為的中點，點在球面上運動，且總有則點的軌跡的周長為（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.）
13．直線5x+12y+3=0與直線10x+24y+5=0的距離是________________;
14.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點，E是PC上的點，且EF⊥BC，則________；
15.已知 =(2,-1,2),=(2,2,1),則以,為鄰邊的平行四邊形的面積是_____；
16．點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1（線段BC1）上運動，給出下列五個命題，正確的是________________。
(14題圖） （16題圖）
①直線AD與直線B1P為異面直線；②A1P∥面ACD1；
③三棱錐A－D1PC的體積為定值；④面PDB1⊥面ACD1．
= 5 \* GB3 ⑤直線與平面所成角的大小不變；
三、解答題（本大題共6小題，共計70分，解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或推演步驟.）
17. (本題滿分10分)一個幾何體的三視圖如圖所示（單位長度為：）
（1）求該幾何體的體積；
（2）求該幾何體的表面積.
18．(本題滿分12分)已知△ABC的三個頂點分別為A(2，4)，B(1，1)，C(7，3).
（1）求BC邊上的中線所在直線的方程；
（2）求BC邊上的高所在直線的方程.
19．(本題滿分12分)如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分別是BC、C1D1、AD1、BD的中點．
(1)求證：PQ∥平面DCC1D1；
(2)求證：AC⊥EF.
20．(本題滿分12分)已知直線方程為，其中.
（1）求直線恒過定點的坐標(biāo)。當(dāng)變化時，求點到直線的距離的最大值及此時的直線方程；
（2）若直線分別與軸?軸的負(fù)半軸交于兩點，求面積的最小值及此時的直線方程.
21.(本題滿分12分)已知四棱錐如圖所示,，，，平面平面，點為線段的中點．
（1）求證：平面；
（2）求點到平面的距離.
22.(本題滿分12分)如圖1，在中，，，別為棱，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖2，連結(jié)，
（1）求證：平面平面；
（2）若為中點，求直線與平面所成角的正弦值；
線段上是否存在一點，使二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
2021～2022學(xué)年度上期半期考試
高二理科數(shù)學(xué)答案
一．選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）
1.D 2. A 3.B 4.A 5. B 6. C 7. B 8. B 9. C 10. D 11. C 12. A 解:如圖，根據(jù)題意，該正方體的外接球半徑為由題意，取的中點，連接 ，以為原點，建立如下圖所示的空間直角坐
，
則， 又平面，平面 點的軌跡為平面與外接球的交線設(shè)點到平面距離為，則到過平面距離截面圓的半徑點的軌跡周長為 故選：A
二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.）
13． 14. 15. 1 16.(2)(3)(4)
三．解答題：(本大題共6小題，滿分70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17（10分）解：（1）由圖知該幾何體是一個上面是正四棱錐，下面是一個正方體的組合體.且正四棱錐的底面邊長為4，四棱錐的高為2，所以體積分
（2）由三視圖知，四棱錐的側(cè)面三角形的高.
該幾何體表面積為分18．（12分）解：（1）B(1，1)，C(7，3)，BC的中點為M(4，2).
又A(2，4)在BC邊上的中線上，所求直線方程為=，即BC邊上的中線所在直線的方程為x+y-6=分
（2）B(1，1)，C(7，3)，直線BC的斜率為=. 而BC邊上的高所在直線與直BC垂直，BC邊上的高所在直線的斜率為-3.又A(2，4)在BC邊上的高上，所求直線方程為y-4=-3(x-2)，即BC邊上的高所在直線的方程為3x+y-10=分
19.（12分）解：(1)如圖所示，連接CD1.∵P、Q分別為AD1、AC的中點．∴PQ∥CD1.而CD1平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，∴PQ∥平面分
(2)如圖，取CD中點H，連接EH，F(xiàn)H.
∵F、H分別是C1D1、CD的中點，在平行四邊形CDD1C1中，F(xiàn)H//D1D.而D1D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，而AC面ABCD，∴AC⊥FH.又E、H分別為BC、CD的中點，∴EH∥DB.而AC⊥BD，∴AC⊥EH.
因為EH、FH是平面FEH內(nèi)的兩條相交直線，所以AC⊥平面EFH，
而EF平面EFH，所以AC⊥分
20．（12分）解：（1）直線方程為，
可化為對任意都成立，
所以，解得，所以直線恒過定點分
設(shè)定點為當(dāng)變化時，直線時，
點到直線的距離最大，可知點與定點的連線的距離就是所求最大值，
即，此時直線過點且與垂直，
∴，解得 故直線的方程為分
（2）由于直線經(jīng)過定點．直線的斜率存在且，
可設(shè)直線方程為可得與軸、軸的負(fù)半軸交于，兩點∴，，解得．
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，面積的最小值為4 , 此時直線的方程為：
，即：．分
21.（12分）（1）證明：取中點，連接 ，
，，即又，，四邊形為平行四邊形，，，分別是，的中點，，
又平面,平面,平面，同理平面,
又平面,,平面平面，
平面，平面．分
（2）解：平面，且，平面，
過點作平面的高，交平面于點，，
，，，
面面且面，面，，
，，
，記點到平面的距離為，，
作，則有且，
，
，，
點到平面的距離為．分
22.（12分）（1）證明：，分別為，中點，//．
，．．，．
又 =， 平面．
又平面，平面 平面．分
解： ，，，，，兩兩互相垂直．以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意有，，，，，．則，，，，，．設(shè)平面的一個法向量，則有，即，令得，．
所以．設(shè)直線與平面所成角為，則．
故直線與平面所成角的正弦值為．分
（3）解：假設(shè)線段上存在一點，使二面角的余弦值為．
設(shè)，，則，即 ．，，.易得平面的一個法向量為．
設(shè)平面的一個法向量，則有，即，
令，則．若二面角的余弦值為，
則有，即，
解得，，．又因為，所以．
故線段上存在一點，使二面角的余弦值為，且分