（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
本試卷為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.
注意事項(xiàng)：1.作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號填寫在試卷的規(guī)定位置上.
2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.
3.考試結(jié)束后，答題卡、試卷、草稿紙一并收回.
第I部分（選擇題，共60分）
一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，則集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集和并集的運(yùn)算即可求得.
【詳解】因?yàn)槿?，集合，則，
又因?yàn)?，所?
故選：A
2. 在下列函數(shù)中，值域?yàn)?0，+∞)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逐個(gè)對每個(gè)函數(shù)的值域分析求解，即可得答案
【詳解】解：對于A，由于，所以此函數(shù)的值域?yàn)?，不合題意；
對于B，由于，所以，所以，所以此函數(shù)的值域?yàn)?，符合題意；
對于C，的值域?yàn)?，不合題意；
對于D，由于，所以，所以此函數(shù)的值域?yàn)椋缓项}意，
故選：B
【點(diǎn)睛】此題考查求具體函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題
3. 德國數(shù)學(xué)家狄利克在1837年時(shí)提出：“如果對于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對應(yīng)，則是的函數(shù)，”這個(gè)定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵.只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的和它對應(yīng)就行了，不管這個(gè)對應(yīng)的法則是公式、圖象，表格或是其它形式.已知函數(shù)由下表給出，則的值為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先計(jì)算出，進(jìn)而求出的值.
【詳解】因?yàn)?，所以，?
故選：D
4. 下列說法中，正確的是（ ）
A. ，
B. “且”是“”的充要條件
C. ，
D. “”是“”的必要不充分條件
【答案】D
【解析】
【分析】AB選項(xiàng)可舉出反例；C選項(xiàng)，解方程得到C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，解方程得到或2，從而得到D正確.
【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，且時(shí)，，充分性成立，
但時(shí)，滿足，不滿足且，必要性不成立，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，解得，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，解得或2，所以不能推出，充分性不成立，
但能得到，必要性成立，
故“”是“”的必要不充分條件，D正確.
故選：D
5. 若函數(shù)在R上是增函數(shù)，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】使用函數(shù)單調(diào)性的定義，列不等式進(jìn)行求解即可.
【詳解】∵函數(shù)在R上是增函數(shù)，且，
∴由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，，
解得，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．
故選：C．
6. 已知集合，，則能使成立的實(shí)數(shù)a的范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再根據(jù)集合之間的交集運(yùn)算關(guān)系，得到，列出不等式，求解即可.
【詳解】由，
得，
∵，
∴．
又，
所以，
解得．
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了由集合之間的包含關(guān)系，求參數(shù)范圍的問題，屬較易題.
7. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)在上的單調(diào)遞減，可以列出相應(yīng)的不等式方程組，計(jì)算求解即可.
【詳解】在上單調(diào)遞減，，解得，
故選：C
8. 已知，且，當(dāng)取最小值時(shí)，的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式得到時(shí)，取最小值，此時(shí)消元得到，配方得到最大值；
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
所以
，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.
故選：D.
二.多選題（在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分.）
9. 下列各組函數(shù)能表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A. ，B. 與
C. ，D. 與
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)定義域和解析式是否都相同來判斷是否同一函數(shù).
【詳解】A. ，定義域和解析式都相同，是同一函數(shù)；
B. 的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)；
C. 的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù)；
D. ，的定義域均為，解析式都相同，是同一函數(shù).
故選：AD.
10. 下列說法正確的有（ ）
A. 的最小值為2
B. 已知，則的最小值為
C. 實(shí)數(shù)，滿足，的最小值為5
D. 若正數(shù)，為實(shí)數(shù)，若，則的最小值為3
【答案】BD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，變形后利用基本不等式求出最小值；CD選項(xiàng)，變形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；
【詳解】選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，B正確；
選項(xiàng)C，∵，
∴，
其中，
令，
則，，
又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值，
所以的最小值為，所以C不正確.
D選項(xiàng)，因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，D正確；
故選：BD
11. 下列說法正確的有（ ）
A. 若，，，則
B. 的一個(gè)必要不充分條件是
C. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>D. 已知，，若，則實(shí)數(shù)的范圍是
【答案】CD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，作差法比較大??；B選項(xiàng)，不能得到，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，先得到的定義域?yàn)?，進(jìn)而得到不等式，求出的定義域；D選項(xiàng)，先求出時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，從而得到時(shí)的的取值范圍.
【詳解】A選項(xiàng)，若，，，
故，
因?yàn)?，，所以，?br>又，所以，故，所以A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，不能得到，所以一個(gè)必要不充分條件是不成立，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，故，則，
所以的定義域?yàn)椋裕?br>即函數(shù)定義域?yàn)?，故C正確；
D選項(xiàng)，已知，，若，
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)，此時(shí)，則需要或，無解，
綜上可知，當(dāng)時(shí)，，
故時(shí)實(shí)數(shù)的范圍是，D正確.
故選：CD
12. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱為的“保值區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)不存保值區(qū)間
B. 函數(shù)存在保值區(qū)間
C. 若函數(shù)存在保值區(qū)間，則
D. 若函數(shù)存在保值區(qū)間，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】由新定義與函數(shù)的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷，
【詳解】對于A，在和上單調(diào)遞增，
令，得，，故不存在保值區(qū)間，故A正確，
對于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，
若存在保值區(qū)間，
若，令得無解，
若，則，作差后化簡得或，不合題意，
故不存在保值區(qū)間，故B錯(cuò)誤，
對于C，若存在保值區(qū)間，
而在上單調(diào)遞增，故，得，故C正確，
對于D，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
若存在保值區(qū)間，
則，作差得，
得，則原式等價(jià)于在上有兩解，
令，則在上有兩解，
而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，故，故D正確，
故選：ACD
第II部分（非選擇題，共90分）
三.填空題（每小題5分，共20分.）
13. 不等式的解集是_______
【答案】
【解析】
【分析】移項(xiàng)通分，再轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解即得.
【詳解】不等式化為：，即，因此，解得，
所以不等式的解集是.
故答案為：
14. 的單調(diào)增區(qū)間是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求函數(shù)定義域,再求復(fù)合函數(shù)中內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)同增異減原則,寫出結(jié)果即可.
【詳解】解:由題知,
由解得或,
故函數(shù)的定義域?yàn)榛?
因?yàn)閷ΨQ軸為,開口向上,
故在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增,
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法可知,的單調(diào)增區(qū)間為:.
故答案為:
15. 已知，滿足，，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】變形得到，從而相加后得到取值范圍.
【詳解】顯然有，
∵，，
∴相加得到.
故答案為：
16. 高斯函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要函數(shù)，在自然科學(xué)、社會科學(xué)以及工程學(xué)等領(lǐng)域都能看到它的身影. 設(shè),用符號表示不大于x的最大整數(shù)，如稱函數(shù)叫做高斯函數(shù). 給出下列關(guān)于高斯函數(shù)的說法：
①
②若,則
③函數(shù)的值域是
④函數(shù)在上單調(diào)遞增
其中所有正確說法的序號是_____________
【答案】①②④
【解析】
【分析】由高斯函數(shù)的定義逐一判斷即可.
【詳解】對①，由高斯函數(shù)的定義，可得，故①正確；
對②，若，則，而表示不大于x的最大整數(shù)，
則，即，故②正確；
對③，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；
對④，函數(shù)，即函數(shù)為分段函數(shù)，
在上單調(diào)遞增，故④正確.
故選：①②④.
四、解答題：本題共6小題，17題10分，其余各題每題12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集?br>（1）求集合；
（2）求，
【答案】（1）；
（2），或.
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)定義域的求法即可求出集合；
（2）可求集合，然后進(jìn)行交集，并集和補(bǔ)集的運(yùn)算即可.
【小問1詳解】
（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)榧希?br>則
【小問2詳解】
因?yàn)榛颍?br>所以，
又因?yàn)榛颍?br>則或.
18. （1）已知為二次函數(shù)，且 ，求函數(shù)的解析式；
（2）已知，求函數(shù) 的解析式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)解析式，將分別代入化簡計(jì)算，再用恒等思想既可計(jì)算得出結(jié)論；
（2）用換元法，令代入計(jì)算即可.
【詳解】（1）設(shè) ，
則有：
，
所以 ， 所以 ，
所以 .
（2） 令 .
則 ，
所以 ，
所以 的解析式為 .
19. 已知函數(shù),（）.
（1）分別計(jì)算， 的值.
（2）由（1）你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?并加以證明.
（3）利用（2）中結(jié)論計(jì)算的值.
【答案】（1），.
（2）結(jié)論，證明見解析.
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，代入求值即得答案；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可得結(jié)論，并利用函數(shù)解析式進(jìn)行證明即可；
（3）求出，根據(jù)（2）的結(jié)論，分組求和，可得答案.
【小問1詳解】
由題意得，
.
【小問2詳解】
由（1），得結(jié)論.
證明如下:
.
【小問3詳解】
由，可得，
故
.
20. 已知恒成立.
（1）求a的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式.
【答案】（1）；
（2）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)一元二次方程兩根的大小分類討論進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>①當(dāng)時(shí)，恒成立；
②當(dāng)時(shí)，要使恒成立.則且，
即，解得：.
綜上，a的取值范圍為：；
【小問2詳解】
由，得.
因?yàn)椋海?br>①當(dāng)，即時(shí)，則；
②當(dāng)，即時(shí)，，不等式無解；
③當(dāng)，即時(shí)，則.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.
21. 根據(jù)市場調(diào)查知，某數(shù)碼產(chǎn)品公司生產(chǎn)某款運(yùn)動手環(huán)的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入20萬元．若該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款運(yùn)動手環(huán)x萬只并能全部銷售完，平均每萬只的銷售投入為萬元，且當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款運(yùn)動手環(huán)5萬只并全部銷售完時(shí)，年利潤為300萬元．
（1）求出k的值，并寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時(shí)，公司在該款運(yùn)動手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
【答案】（1），
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為30萬只時(shí)，公司在該款運(yùn)動手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為850萬元．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)利潤的定義，結(jié)合所給函數(shù)的含義即可求解，
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比較大小求解.
【小問1詳解】
由題意可得，
當(dāng)時(shí)，，
所以，解得．
所以
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，其圖象開口向下，對稱軸為，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值750萬元；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)取得最大值850萬元，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)年產(chǎn)量為30萬只時(shí)，公司在該款運(yùn)動手環(huán)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大，最大利潤為850萬元．
22. 已知函數(shù)，．
（1）若，說明函數(shù)在的單調(diào)性并證明；
（2）若對任意，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）單調(diào)遞增，證明見詳解.
（2）
【解析】
【分析】（1）按照定義法證明單調(diào)性的步驟：取值、作差后通分、因式分解、定號、下結(jié)論；
（2）先對a進(jìn)行分類討論函數(shù)的單調(diào)性，由恒成立可知，然后可得a的范圍，結(jié)合最小值對進(jìn)行放縮，最后由二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在的單調(diào)遞增.
且，
則
，
因?yàn)榍?，所以?br>所以，即，
所以函數(shù)在的單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，和在都為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，顯然在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)，要使不等式恒成立，
必有，即，解得，不滿足；
當(dāng)時(shí)，，所以，
由，解得，
所以；
當(dāng)時(shí)，，所以，
由，解得，
所以.
綜上，
因?yàn)?，所以?br>所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于分類討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)求出a的取值范圍，然后利用得，再由二次函數(shù)性質(zhì)可解.
1
2
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