一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化簡集合A，再去求即可解決
【詳解】由，得，
則
故選：B.
2. 已知命題，，則命題的否定為（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，再否定結(jié)論即可.
【詳解】命題，的否定為“”.
故選：D
【點睛】本題考查全稱命題的否定的求解，注意只否定結(jié)論即可，屬簡單題.
3. 設(shè)命題p：關(guān)于x的不等式對一切恒成立，命題q：對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，那么p是q的（ ）
A. 充分不必要條件B. 充要條件C. 必要不充分條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】p為真，利用判別式小于0求解a的范圍；q為真時，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解a的范圍，然后利用充分必要條件的判定得答案.
【詳解】關(guān)于x的不等式對一切恒成立，
則，即，
∴p為真：；
對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，即.
∴q為真：.
∵?
∴p是q的必要不充分條件.
故選：C.
4. 已知為等比數(shù)列，，，則（ ）
A 9B. －9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.
【詳解】∵,∴,又,可解得或
設(shè)等比數(shù)列的公比為,則
當(dāng)時,, ∴；
當(dāng)時, ,∴.
故選：C．
【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
5. 垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而變成公共資源的一系列活動的總稱．已知某種垃圾的分解率ν與時間t（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中a，b為非零常數(shù)）．若經(jīng)過6個月，這種垃圾的分解率為5%，經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為10%，那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過（ ）（參考數(shù)據(jù)）
A 20個月B. 40個月C. 28個月D. 32個月
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意先確定的值，令，求得時間t.
【詳解】依題意，解得，
故.
令，得，即，
則.
即這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過32個月.
故選：D.
6. 函數(shù)的大致圖像為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再由函數(shù)值的正負(fù)排除一個選項，得正確結(jié)論．
【詳解】函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，，所以為奇函數(shù)，故排除B、D選項.
當(dāng)時，，，所以，排除C，
故選：A．
7. 已知，且，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】據(jù)二倍角公式，兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.
【詳解】，
,
，
又，則，即
所以，
因為，所以，.
由平方可得，即，符合題意.
綜上，.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，則、、的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得出，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出、的大小，并比較與的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.
【詳解】因為，
對任意的，
，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，
當(dāng)時，，
因為二次函數(shù)在上為增函數(shù)，且，
所以，函數(shù)、在上為增函數(shù)，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
令，其中，則，
故函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，即，
所以，，所以，，
又因為，即，所以，.
故選：A.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.
9. 已知實數(shù)x，y滿足（0 - 1 ，
所以，
所以，
則，
解得，
故答案為：1.
14. 已知的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊長分別為a，b，c，，，則外接圓半徑為______．
【答案】2.5
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式化簡已知，結(jié)合，可求的值，然后利用正弦定理即可求出外接圓的半徑
【詳解】由得，又
所以，.
則由正弦定理可得外接圓半徑.
故答案為：.
15. 已知數(shù)列是首項為1的正項等差數(shù)列，公差不為0，若、數(shù)列的第2項、數(shù)列的第5項恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為______．
【答案】
【解析】
【分析】通過等差數(shù)列的通項公式用分別表示，，，再通過等比中項的性質(zhì)列出即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，
所以，，
又因為、數(shù)列的第2項、數(shù)列的第5項恰好構(gòu)成等比數(shù)列，
即構(gòu)成等比數(shù)列，所以，
解得（舍去），所以.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，，設(shè)兩曲線，有公共點P，且在P點處的切線相同，當(dāng)時，實數(shù)b的最大值是______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意可得，，聯(lián)立后把b用含有a的代數(shù)式表示，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案．
【詳解】設(shè)，
，．
由題意知，，，
即，
，
解得或舍，
代入得：，，
，
當(dāng)時，，當(dāng)時，．
實數(shù)b的最大值是．
故答案為．
【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知集合，函數(shù)的定義域為．
（1）若求集合；
（2）若，求實數(shù)的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）對數(shù)的真數(shù)大于零；（2）按與的大小分類討論求解.
【詳解】（Ⅰ）由，得，
故集合；
（Ⅱ）由題可知，
①若，即時，，
又因為，所以，無解；
②若時，顯然不合題意；
③若，即時，，
又因為，所以，解得．
綜上所述，．
【點睛】本題考查函數(shù)的定義域和集合的運(yùn)算. 求函數(shù)定義域的常用方法：1、分母不為零；2、對數(shù)的真數(shù)大于零；3、偶次方根的被開方方數(shù)大于或等于零；4、零次冪的底數(shù)不等于零；5、中.
18. 如圖，在中，內(nèi)角所對的邊分別為，.
（1）求角；
（2）若，，求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，然后利用兩角和的正弦公式即可求解.
（2）由余弦定理得到為等邊三角形，在中，利用余弦定理表達(dá)出，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解.
【小問1詳解】
由正弦定理得：,所以
即
,
【小問2詳解】
由
由余弦定理得，
為等邊三角形，設(shè)，
在中，，解得
當(dāng)，即時，S有最大值
19. 已知數(shù)列的前項和為，若，且.
（1）求的通項公式;
（2）設(shè)，，數(shù)列的前項和為，求證.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由已知等式可得，采用累乘法可求得當(dāng)時的，利用可求得，檢驗首項后可得結(jié)論；
（2）由（1）可得時的通項，由，采用裂項相消法可求得，由可得結(jié)論.
【小問1詳解】
由得：，
則當(dāng)時，，
又，，，
經(jīng)檢驗：滿足；
.
【小問2詳解】
由（1）得：當(dāng)時，；
，
，，.
20. 已知函數(shù)，，
（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值；
（3）將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上所有零點之和．
【答案】（1）
（2）最小值，最大值為
（3）
【解析】
【分析】（1）先將函數(shù)化簡成一個三角函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間公式求得即可；
（2）先由求出整體角的取值范圍，再求得的最大值和最小值；
（3）先根據(jù)圖形變換求出，在求其零點得出結(jié)果.
【小問1詳解】
函數(shù)
.
令
解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
【小問2詳解】
由（1）得，
由于，所以，
所以，故，
當(dāng)時，函數(shù)的取最小值，最小值為，
當(dāng)時，函數(shù)的取最大值，最大值為.
小問3詳解】
將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，
令，，即，
整理得，即或，
當(dāng)時，或，即，；
當(dāng)時，，；
當(dāng)時，；
故所有零點之和為．
21. 小張于年初支出萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費(fèi)用需支出萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出萬元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為萬元.小張在該車運(yùn)輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第年年底出售，其銷售收入為萬元（國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年）.
（1）大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑?，該車運(yùn)輸累計收入超過總支出？
（2）在第幾年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤最大？
（利潤=累積收入+銷售收入-總支出）
【答案】（1）第三年；（2）第5年.
【解析】
【分析】
（1）求出第x年年底，該車運(yùn)輸累計收入與總支出的差，令其大于0，即可得到結(jié)論；
（2）利用利潤＝累計收入+銷售收入﹣總支出，可得平均利潤，利用基本不等式，可得結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)大貨車運(yùn)輸?shù)降趚年年底，該車運(yùn)輸累計收入與總支出的差為y萬元，
則y＝25x﹣[6x+x（x﹣1）]﹣50＝﹣x2+20x﹣50（0＜x≤10，x∈N）
由﹣x2+20x﹣50＞0，可得10﹣5＜x＜10+5，
∵2＜10﹣5＜3，故從第3年，該車運(yùn)輸累計收入超過總支出；
（2）∵利潤＝累計收入+銷售收入﹣總支出，∴二手車出售后，
小張的年平均利潤為＝19﹣（x+）≤19﹣10＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時，等號成立，
∴小張應(yīng)當(dāng)在第5年年底將大貨車出售，能使小張獲得的年平均利潤最大．
【點睛】思路點睛：
首先構(gòu)建函數(shù)的模型一元二次函數(shù)，再解一元二次不等式，再利用基本不等式求最值.
22. 已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值；
（3）當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個不同的零點，且，求證：.
【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為
（2）2 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)增區(qū)間；
（2）先利用分離參數(shù)法得到對恒成立.令，求導(dǎo)得到，再令，判斷出，使，得到在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，求出，得到.由，求出整數(shù)a的最小值；
（3）用分析法證明：當(dāng)時，把題意轉(zhuǎn)化為只需證.先整理化簡得到，只需證.令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出.即證.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，所以，
則，定義域為.
令，解得：.
所以的單調(diào)增區(qū)間為.
【小問2詳解】
依題意對恒成立，等價于對恒成立.
令，則
令在上是增函數(shù)，
，
所以，使即
對，，，所以在上單調(diào)遞增；
對，，，所以在上單調(diào)遞減.
所以.
所以.
又，所以整數(shù)a的最小值2
小問3詳解】
當(dāng)時，由（2）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，時，；時，；
依題意存在，使得
已知可得
要證成立，只需證
因為是的零點，所以，
兩式相減得：
即
只需證
又因為只需證
即證
令則，所以，
所以在增函數(shù)，所以即.
即成立.
所以原不等式得證.
【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：
(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．
(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．

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