1．如圖，四個(gè)圖標(biāo)分別是劍橋大學(xué)、北京理工大學(xué)、浙江大學(xué)和北京大學(xué)的?；盏闹匾M成部分，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．13B．17C．13或17D．13或10
3．如圖，為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做使用的數(shù)學(xué)道理是（ ）
A．兩點(diǎn)之間線段最短
B．三角形的穩(wěn)定性
C．兩點(diǎn)確定一條直線
D．長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角
4．如圖，用直尺和圓規(guī)作射線OC，使它平分∠AOB，則△ODC≌△OEC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
5．下列說法中，正確的是（ ）
A．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等
B．兩條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等
C．兩邊及一角分別相等的兩個(gè)三角形全等
D．等腰三角形的高線、中線及角平分線互相重合
6．如圖所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于點(diǎn)E，則圖中全等三角形共有（ ）
A．2對(duì)B．3對(duì)C．4對(duì)D．5對(duì)
7．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，則∠EDF＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
8．在學(xué)習(xí)完角平分線性質(zhì)與角平分線逆定理后，我們只在三角形內(nèi)部研究，如果延伸到三角形的外角會(huì)發(fā)什么變化呢？請(qǐng)同學(xué)們完成以下題目（ ）
A．50°B．55°C．45°D．40°
二、填空題（每空3分，共30分，將答案填在答題紙相應(yīng)的位置上.）
9．已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠B＝40°，則∠C′＝ ．
10．在直角三角形中，斜邊長(zhǎng)為10cm，則斜邊上的中線長(zhǎng)為 ．
11．如圖，某人將一塊正五邊形玻璃打碎成四塊，現(xiàn)要到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是帶 塊．
12．如圖，射線OC是∠AOB的角平分線，D是射線OC上一點(diǎn)，DP⊥OA于點(diǎn)P，DP＝5，若點(diǎn)Q是射線OB上一點(diǎn)，OQ＝4，則△ODQ的面積是 ．
13．如圖，∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，P點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱點(diǎn)是G，P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱點(diǎn)是H，GH分別交OM、ON于A、B點(diǎn)，若∠MON＝32°，則∠GOH＝ ．
14．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠1+∠2＝ ．
15．如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為 ．
16．如圖，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點(diǎn)D，則S△ADC m2．
17．已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 °．
18．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分別是BC、CD上的一點(diǎn)，EF⊥AE，將△ECF沿EF翻折得到ΔEC′F，連接AC′．若△AEC′是等腰三角形，且AE＝AC′，則BE＝ ．
三、解答題（共96分，把解答過程寫在答題紙相對(duì)應(yīng)的位置上.）
19．如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在小正方形的頂點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖．
（1）畫△A1B1C1，使它與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和最短；
（3）在直線l上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到邊AC、BC的距離相等．
20．如圖，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，D為AC上一點(diǎn)，且到A、B兩點(diǎn)的距離相等．
（1）用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（請(qǐng)用2B鉛筆作圖）
（2）連接BD，若∠A＝48°，則∠DBC的度數(shù)為 ．
21．如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求證：AC＝CD．
（2）若AC＝AE，∠ACD＝86°，求∠DEC的度數(shù)．
22．如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．
（2）以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數(shù)．
23．如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE長(zhǎng)．
24．如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周長(zhǎng)．
25．根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個(gè)內(nèi)角、四條邊分別對(duì)應(yīng)相等）的四邊形叫做全等四邊形．請(qǐng)借助三角形全等的知識(shí)，解決有關(guān)四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，現(xiàn)在只需補(bǔ)充一個(gè)條件，就可得四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'．下列四個(gè)條件：①∠A＝∠A'；②∠D＝∠D'；③AD＝A'D'；④CD＝C'D'．
（1）其中，符合要求的條件是 .（直接寫出編號(hào)）
（2）選擇（1）中的一個(gè)條件，證明四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'．
26．如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結(jié)DM、ME，求∠DME的度數(shù)．
27．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE 中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝ ．
（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．
（3）【問題解決】如圖3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD．直接寫出△BCD的面積．（用含a的代數(shù)式表示）
?
28．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為線段BC延長(zhǎng)線上（不與B、C重合）一動(dòng)點(diǎn)，在AD的右側(cè)射線BC的上方作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．
（1）找出圖中的一對(duì)全等三角形，并證明你的結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠F＝45°，
①利用（1）中的結(jié)論求出∠DCE的度數(shù)；
②當(dāng)△ABD是等腰三角形時(shí)，直接寫出∠ADB的度數(shù)；
（3）當(dāng)D在線段BC上時(shí)，若線段BC＝3，△ABC面積為9，則四邊形ADCE周長(zhǎng)的最小值是 ．
?
參考答案
一、選擇題（每題3分，共計(jì)24分，把正確答案填在答題紙相應(yīng)的位置上。）
1．如圖，四個(gè)圖標(biāo)分別是劍橋大學(xué)、北京理工大學(xué)、浙江大學(xué)和北京大學(xué)的?；盏闹匾M成部分，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷即可．
解：A、不是軸對(duì)稱圖形；
B、不是軸對(duì)稱圖形；
C、不是軸對(duì)稱圖形；
D、是軸對(duì)稱圖形；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．已知等腰三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3和7，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（ ）
A．13B．17C．13或17D．13或10
【分析】等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為3和7，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．
解：①當(dāng)腰是3，底邊是7時(shí)，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．
②當(dāng)?shù)走吺?，腰長(zhǎng)是7時(shí)，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)＝3+7+7＝17．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，解題時(shí)注意：若沒有明確腰和底邊，則一定要分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這是解題的關(guān)鍵．
3．如圖，為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做使用的數(shù)學(xué)道理是（ ）
A．兩點(diǎn)之間線段最短
B．三角形的穩(wěn)定性
C．兩點(diǎn)確定一條直線
D．長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角
【分析】用木條固定矩形門框，即是分割為兩個(gè)三角形，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．
解：加上木條后矩形門框分割為兩個(gè)三角形，
而三角形具有穩(wěn)定性．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．
4．如圖，用直尺和圓規(guī)作射線OC，使它平分∠AOB，則△ODC≌△OEC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．HL
【分析】根據(jù)SSS證明三角形全等即可．
解：由作圖可知，OE＝OD，DC＝EC，
在△ODC與△OEC中
，
∴△ODC≌△OEC（SSS），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)三角形全等的判定方法解答．
5．下列說法中，正確的是（ ）
A．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等
B．兩條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等
C．兩邊及一角分別相等的兩個(gè)三角形全等
D．等腰三角形的高線、中線及角平分線互相重合
【分析】由角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定方法．即可判斷．
解：A、三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊距離相等，正確，故A符合題意；
B、兩條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等，故B不符合題意；
C、兩邊及一角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故C不符合題意；
D、等腰三角形的底邊的高線、中線及頂角平分線互相重合，故D不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
6．如圖所示，已知OA＝OB，OC＝OD，AD、BC相交于點(diǎn)E，則圖中全等三角形共有（ ）
A．2對(duì)B．3對(duì)C．4對(duì)D．5對(duì)
【分析】從已知條件入手，結(jié)合全等的判定方法，通過分析推理，一一進(jìn)行驗(yàn)證，做到由易到難，不重不漏．
解：在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∴∠A＝∠B，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴AC＝BD，
在△CAE和△DBE中，
∴△CAE≌△DBE（AAS）；
∴AE＝BE，
在△AOE和△BOE中，
∴△AOE≌△BOE（SSS）；
在△OCE和△ODE中，
∴△OCE≌△ODE（SSS）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，則∠EDF＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】由題中條件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°與∠BDE、∠CDF的差表示，進(jìn)而求解即可．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∵BD＝CF，BE＝CD
∴△BDE≌△CFD，
∴∠BDE＝∠CFD，
∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）
＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝∠C
＝70°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理及全等三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握．
8．在學(xué)習(xí)完角平分線性質(zhì)與角平分線逆定理后，我們只在三角形內(nèi)部研究，如果延伸到三角形的外角會(huì)發(fā)什么變化呢？請(qǐng)同學(xué)們完成以下題目（ ）
A．50°B．55°C．45°D．40°
【分析】過點(diǎn)P作PE⊥MN于點(diǎn)E，PF⊥MK于點(diǎn)F，PQ⊥NK于點(diǎn)Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得PE＝PQ＝PF，從而判定MP平分∠NMK，再根據(jù)∠NPK的度數(shù)求出∠EPF的度數(shù)，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠NMK的度數(shù)即可解決．
解：過點(diǎn)P作PE⊥MN于點(diǎn)E，PF⊥MK于點(diǎn)F，PQ⊥NK于點(diǎn)Q，
∵點(diǎn)P為△NMK兩外角角平分線的交點(diǎn)，
∴PE＝PQ＝PF，
∴MP平分∠NMK，
∵PE⊥MN于點(diǎn)E，PQ⊥NK于點(diǎn)Q，
∴∠PEN＝∠PQN＝90°，
∵PN平分∠ENK，
∴∠ENP＝∠QNP，
∴∠EPN＝∠QPN，
同理，∠FPK＝∠QPK，
∴∠NPK＝∠EPF，
∵∠NPK＝50°，
∴∠EPF＝100°，
∵PE⊥MN于點(diǎn)E，PF⊥MK于點(diǎn)F，
∴∠PEN＝∠PFK＝90°，
∴∠NMK＝80°，
∴∠PMK＝∠NMK＝40°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是掌握定理并靈活運(yùn)用．
二、填空題（每空3分，共30分，將答案填在答題紙相應(yīng)的位置上.）
9．已知△ABC≌△A'B'C'，∠A＝60°，∠B＝40°，則∠C′＝ 80° ．
【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)而得出答案．
解：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴∠A＝∠A′＝60°，∠B＝∠B′＝40°，
∴∠C′＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
故答案為：80°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)角是解題關(guān)鍵．
10．在直角三角形中，斜邊長(zhǎng)為10cm，則斜邊上的中線長(zhǎng)為 5cm ．
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．
解：∵直角三角形斜邊長(zhǎng)為10cm，
∴斜邊上的中線長(zhǎng)為5cm．
故答案為：5cm．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，某人將一塊正五邊形玻璃打碎成四塊，現(xiàn)要到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是帶 ① 塊．
【分析】類似全等三角形的判定，只要帶去的玻璃能夠測(cè)量正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)與正五邊形的邊長(zhǎng)就可以，然后對(duì)各塊玻璃進(jìn)行分析即可得解．
解：帶①去，能夠測(cè)量出此正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，以及邊長(zhǎng)，所以可以配一塊完全一樣的玻璃，
帶②③去，只能夠測(cè)量出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，不能夠量出邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度，所以不可以配一塊完全一樣的玻璃；
帶④去，既不能測(cè)量出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，也不能夠量出邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度，所以不可以配一塊完全一樣的玻璃．
所以最省事的方法是帶①去．
故答案為①．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的應(yīng)用拓廣，根據(jù)正五邊形的定義每個(gè)角都相等，每條邊都相等，所以只要知道一個(gè)角、一條邊即可作出能夠完全重合的正五邊形．
12．如圖，射線OC是∠AOB的角平分線，D是射線OC上一點(diǎn)，DP⊥OA于點(diǎn)P，DP＝5，若點(diǎn)Q是射線OB上一點(diǎn)，OQ＝4，則△ODQ的面積是 10 ．
【分析】作DH⊥OB于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝DP＝5，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
解：作DH⊥OB于點(diǎn)H，
∵OC是∠AOB的角平分線，DP⊥OA，DH⊥OB，
∴DH＝DP＝5，
∴△ODQ的面積＝OQ?DH＝4×5＝10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，P點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱點(diǎn)是G，P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱點(diǎn)是H，GH分別交OM、ON于A、B點(diǎn)，若∠MON＝32°，則∠GOH＝ 64° ．
【分析】連接OP，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．
解：如圖，連接OP，
∵P點(diǎn)關(guān)于OM的軸對(duì)稱點(diǎn)是G，P點(diǎn)關(guān)于ON的軸對(duì)稱點(diǎn)是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝32°，
∴∠GOH＝2×32°＝64°．
故答案為：64°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出相等的角是解題的關(guān)鍵．
14．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則∠1+∠2＝ 45° ．
【分析】直接利用網(wǎng)格得出對(duì)應(yīng)角∠1＝∠3，進(jìn)而得出答案．
解：如圖所示：在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠1＝∠3，
則∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．
故答案為：45°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等圖形，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵．
15．如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為 12 ．
【分析】先由AB∥CD，證明∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“ASA”證明△ABF≌△DEF，再由S陰影＝S四邊形ACEF+S△ABF＝S四邊形ACEF+S△DEF＝S△ACD，求出圖中陰影部分的面積即可．
解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，
在△ABF和△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF（ASA），
∴S△ABF＝S△DEF，
∵∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，
∴S陰影＝S四邊形ACEF+S△ABF＝S四邊形ACEF+S△DEF＝S△ACD＝×4×6＝12，
∴圖中陰影部分的面積為12，
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、根據(jù)轉(zhuǎn)化思想求圖形的面積等知識(shí)與方法，證明△ABF≌△DEF是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點(diǎn)D，則S△ADC 12 m2．
【分析】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，則可知△ABE為等腰三角形，則S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC＝S△ABC．
解：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC＝S△ABC＝×24＝12（m2），
故答案為：12；
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解題的關(guān)鍵．
17．已知一張三角形紙片ABC（如圖甲），其中AB＝AC．將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙）．原三角形紙片ABC中，∠ABC的大小為 72 °．
【分析】設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問題．
解：設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°
故答案為72
【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．
18．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分別是BC、CD上的一點(diǎn)，EF⊥AE，將△ECF沿EF翻折得到ΔEC′F，連接AC′．若△AEC′是等腰三角形，且AE＝AC′，則BE＝ ．
【分析】作AH⊥EC′，設(shè)BE＝x，則EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可證得∠AEB＝∠AEH，則△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三線合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．
解：設(shè)BE＝x，則EC＝8﹣x，
由翻折得：EC′＝EC＝8﹣x，
如圖，作AH⊥EC，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，
∴∠BEA+∠FEC＝90°，
∵△ECF沿EF翻折得△EC′F，
∴∠FEC′＝∠FEC，
∴∠AEB＝∠AEH，
在△ABE與△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE＝HE＝x，
∵AE＝AC′，
∴EC′＝2EH，
即8﹣x＝2x，
解得x＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，涉及到方程思想和分類討論思想．當(dāng)AE＝AC′時(shí)如何列方程，有一定難度．
三、解答題（共96分，把解答過程寫在答題紙相對(duì)應(yīng)的位置上.）
19．如圖，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在小正方形的頂點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線按下列要求畫圖．
（1）畫△A1B1C1，使它與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱；
（2）在直線l上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和最短；
（3）在直線l上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到邊AC、BC的距離相等．
【分析】（1）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．
（2）連接A1B交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作．
（3）∠ACB的角平分線與直線l的交點(diǎn)Q即為所求作．
解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求作．
（2）如圖，點(diǎn)P即為所求作．
（3）如圖，點(diǎn)Q即為所求作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，角平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
20．如圖，已知△ABC，∠B＝90°，AB＜BC，D為AC上一點(diǎn)，且到A、B兩點(diǎn)的距離相等．
（1）用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（請(qǐng)用2B鉛筆作圖）
（2）連接BD，若∠A＝48°，則∠DBC的度數(shù)為 42° ．
【分析】（1）作線段AC的垂直平分線，此直線與線段AC的交點(diǎn)即為D點(diǎn)；
（2）先根據(jù)AD＝BD求出∠DBA＝∠A＝48°，再由直角三角形的性質(zhì)得出∠ABC的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠DBC．
解：（1）如圖，點(diǎn)D為所求作的點(diǎn)．
（2）∵由（1）作法可知AD＝BD，
∴∠DBA＝∠A＝48°，
又∵∠B＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠DBA，
即∠CBD＝90°﹣48°＝42°．
故答案為：42°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是作圖﹣基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法及性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
21．如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求證：AC＝CD．
（2）若AC＝AE，∠ACD＝86°，求∠DEC的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)角的和差可得到∠ACB＝∠DCE，利用AAS證明△ABC≌△DEC，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)∠ACD＝86°，AC＝CD，得到∠CAD＝∠D＝47°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACE＝∠AEC＝66.5°，由平角的定義得到∠DEC＝180°﹣∠AEC＝113.5°．
【解答】（1）證明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AC＝CD；
（2）解：∵∠ACD＝86°，AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝47°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝66.5°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AEC＝113.5°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
22．如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．
（2）以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可知PA＝PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠BAP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可證得APC＝2∠B；
（2）根據(jù)題意可知BA＝BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAQ＝∠BQA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式即可解答．
解：（1）證明：∵線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
（2）根據(jù)題意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，難度適中．
23．如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，且DE＝DF．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE長(zhǎng)．
【分析】（1）證Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），得∠DAE＝∠DAF，即可得出結(jié)論；
（2）由三角形面積公式得AB?DE+AC?DF＝（AB+AC）?DE＝15，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，
∴DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝15，
即AB?DE+AC?DF＝（AB+AC）?DE＝15，
∵AB+AC＝10，
∴×10?DE＝15，
∴DE＝3，
即DE的長(zhǎng)為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；
（2）若BC＝10，求△ODE的周長(zhǎng)．
【分析】（1）證明∠ABC＝∠ACB＝60°；證明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解決問題．
（2）證明BD＝OD；同理可證CE＝OE；即可解決問題．
解：（1）△ODE是等邊三角形；理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，
∴△ODE為等邊三角形．
（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，
∴∠DOB＝∠DBO，
∴BD＝OD；同理可證CE＝OE；
∴△ODE的周長(zhǎng)＝BC＝10．
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了等邊三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)來(lái)分析、判斷、解答．
25．根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個(gè)內(nèi)角、四條邊分別對(duì)應(yīng)相等）的四邊形叫做全等四邊形．請(qǐng)借助三角形全等的知識(shí)，解決有關(guān)四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，BC＝B'C'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，現(xiàn)在只需補(bǔ)充一個(gè)條件，就可得四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'．下列四個(gè)條件：①∠A＝∠A'；②∠D＝∠D'；③AD＝A'D'；④CD＝C'D'．
（1）其中，符合要求的條件是 ①②④ .（直接寫出編號(hào)）
（2）選擇（1）中的一個(gè)條件，證明四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'．
【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
解：（1）符合要求的條件是①②④，
故答案為：①②④；
（2）選④，
證明：連接AC、A′C′，
在△ABC與△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
∴AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∵∠BCD＝∠B′C′D′，
∴∠BCD﹣∠ACB＝∠B′C′D′﹣∠A′C′B′，
∴∠ACD＝∠A′C′D′，
在△ACD和△A′C′D中，
，
∴△ACD≌△A′C′D′（SAS），
∴∠D＝∠D，∠DAC＝∠D′A′C′，DA＝D′A′，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B′A′C′+∠D′A′C′，
即∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′中，
AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，DC＝D′C′，
∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，∠BAD＝∠B′A′D′，
∴四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
26．如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，連結(jié)DM、ME，求∠DME的度數(shù)．
【分析】（1）連接DM，ME，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM＝BC，ME＝BC，得到DM＝ME，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形性質(zhì)、平角的定義求解即可；
【解答】（1）證明：如圖，連接DM，ME，
∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N為DE中點(diǎn)，
∴MN⊥DE；
（2）解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，
∴180°﹣∠A＝120°，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°，
∴∠DME＝180°﹣（∠BMD+∠CME）＝60°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
27．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE 中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝ 7 ．
（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．
（3）【問題解決】如圖3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a．將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連接CD．直接寫出△BCD的面積．（用含a的代數(shù)式表示）
?
【分析】（1）根據(jù)一線三直角證明三角形全等，得到AB＝CE，DE＝BC，依據(jù)BE＝BC+CE可得結(jié)果；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得DM＝BC＝4，依據(jù)面積公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)一線三直角得到三角形全等，DM＝BC＝4，依據(jù)三角形面積公式計(jì)算得到即可．
解：（1）在Rt△ABC和Rt△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴BC＝DE，AB＝CE，
∴BE＝BC+CE＝DE+AB＝4+3＝7，
故答案為：7．
（2）如圖2，作DM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．
由（1）可知，△ABC≌△CMD（AAS），
∴DM＝BC＝4，
∴S△BCD＝＝＝8．
（3）如圖3，作AN⊥CB于N點(diǎn)，作DM⊥CB交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．
由（1）可得△ANB≌△BMD（AAS），
∴NB＝DM，
∵AC＝AB，AN⊥BC，
∴NB＝BC＝，
∴DM＝，
S△BCD＝×BC×DM＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握一線三直角全等模型是解答本題的關(guān)鍵．
28．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為線段BC延長(zhǎng)線上（不與B、C重合）一動(dòng)點(diǎn)，在AD的右側(cè)射線BC的上方作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．
（1）找出圖中的一對(duì)全等三角形，并證明你的結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)EC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠F＝45°，
①利用（1）中的結(jié)論求出∠DCE的度數(shù)；
②當(dāng)△ABD是等腰三角形時(shí)，直接寫出∠ADB的度數(shù)；
（3）當(dāng)D在線段BC上時(shí)，若線段BC＝3，△ABC面積為9，則四邊形ADCE周長(zhǎng)的最小值是 15 ．
?
【分析】（1）由∠DAE＝∠BAC，可得∠EAC＝∠DAB，即可證明△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①設(shè)∠DCE＝x°＝∠BCF，可得∠ABD＝∠F+∠BCF＝（x+45）°，即得∠ACB＝∠ABD＝（x+45）°，∠ACE＝∠ABD＝（x+45）°，根據(jù)∠ACB+∠ACE+∠DCE＝180°，有（x+45）°+（x+45）°+x°＝180°，故∠DCE＝30°；
②∠ABD＝∠F+∠BCF＝45°+30°＝75°，分兩種情況：當(dāng)AD＝BD時(shí)，∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝30°，當(dāng)AB＝BD時(shí)，∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD）＝52.5°；
（3）可證△ABD≌△ACE（SAS），得BD＝CE，即得CD+CE＝CD+BD＝BC＝3，知四邊形ADCE周長(zhǎng)最小時(shí)，AD+AE最小，而AD＝AE，可得當(dāng)AD最小時(shí)，四邊形ADCE周長(zhǎng)最小時(shí)，此時(shí)AD⊥BC，根據(jù)BC＝3，△ABC面積為9，得AD＝6，從而可知四邊形ADCE最小周長(zhǎng)為AD+AE+CD+CE＝15．
解：（1）△ABD≌△ACE，理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）①如圖：
設(shè)∠DCE＝x°＝∠BCF，
∵∠F＝45°，
∴∠ABD＝∠F+∠BCF＝（x+45）°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABD＝（x+45）°，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠ACE＝∠ABD＝（x+45）°，
∵∠ACB+∠ACE+∠DCE＝180°，
∴（x+45）°+（x+45）°+x°＝180°，
解得x＝30，
∴∠DCE＝30°；
②由①知，∠ABD＝∠F+∠BCF＝45°+30°＝75°，
當(dāng)AD＝BD時(shí)，如圖：
∴∠BAD＝∠ABD＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝30°，
當(dāng)AB＝BD時(shí)，如圖：
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD）＝52.5°，
∴當(dāng)△ABD是等腰三角形時(shí)，∠ADB的度數(shù)為30°或52.5°；
（3）如圖：
同（1）可證△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CD+CE＝CD+BD＝BC＝3，
∴四邊形ADCE周長(zhǎng)最小時(shí)，AD+AE最小，
∵AD＝AE，
∴當(dāng)AD最小時(shí)，四邊形ADCE周長(zhǎng)最小時(shí)，此時(shí)AD⊥BC，
∵BC＝3，△ABC面積為9，
∴AD＝6，
∴四邊形ADCE最小周長(zhǎng)為AD+AE+CD+CE＝6+6+3＝15，
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用，四邊形周長(zhǎng)最小值等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理，證明△ABD≌△ACE．
知識(shí)回顧
知識(shí)延伸
已知點(diǎn)O為∠ABC與∠ACB的角平分線交點(diǎn)，
通過證明OD＝OE＝OF
可得點(diǎn)O在∠A的角平分線上．
已知點(diǎn)P為△NMK兩外角角平分線的交點(diǎn)，
若∠NPK＝50°，則∠PMK＝（ ）
知識(shí)回顧
知識(shí)延伸
已知點(diǎn)O為∠ABC與∠ACB的角平分線交點(diǎn)，
通過證明OD＝OE＝OF
可得點(diǎn)O在∠A的角平分線上．
已知點(diǎn)P為△NMK兩外角角平分線的交點(diǎn)，
若∠NPK＝50°，則∠PMK＝（ ）

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2021-2022學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)梅嶺中學(xué)八年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（一）

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2019-2020學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)梅嶺中學(xué)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2019-2020學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)梅嶺中學(xué)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
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