1、經(jīng)歷從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系
2、掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式
3、能運用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根
4、會求一元二次方程兩個根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差
【知識鏈接】
法國數(shù)學(xué)家韋達最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有一種非常密切的關(guān)系，因此，人們把這個關(guān)系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達在16世紀(jì)就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論證。用于求方程中的特定系數(shù)，求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題，由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等都很方便。
【珍寶探尋】
珍寶 一．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，試推導(dǎo)x1+x2=-，x1·x2=；
解析：（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，
∴x1=，x2=
∴x1+x2==-，
x1·x2=·=
即 ；
這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，它是由法國的數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)的，所以我們又稱之為韋達定理。
2.使用一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)的關(guān)系時需注意：
(1)先把方程化為一般形式，并要注意隱含條件a≠0；
(2)應(yīng)用時一定要記住根的判別式Δ=b2-4ac≥0這個前提條件；
(3)寫 時不要弄錯符號.
【營養(yǎng)快餐】
快餐 一 經(jīng)典基礎(chǔ)題
例1：若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（ ）
A．－2 B．－3 C．2 D．3
分析：由有根與系數(shù)的關(guān)系＝－3。
解：因為，中a＝1，c＝－3，所以＝－3
故選B
點撥：本題利用兩根之積與系數(shù)的關(guān)系.
例2．、是方程的兩個根，不解方程，求下列代數(shù)式的值：
（1） （2） （3）
分析：由根與系數(shù)的關(guān)系可建立關(guān)于和的方程組，再把所求式子用它們表示出來，代入化簡即得
解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，進而
（1）＝＝
（2）＝＝
（3）原式＝＝＝
點撥：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式、恒等式的變形等知識。
例3：（若x1＝－1是關(guān)于x的方程的一個根，則方程的另一個根x2＝ ．
分析：設(shè)方程的另一根為x2，由一個根為x1＝－1，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積，列出關(guān)于x2的方程，求出方程的解得到x2的值，即為方程的另一根．
解：∵關(guān)于x的方程x2+mx－5＝0的一個根為x1＝－1，設(shè)另一個為x2，
∴－x2＝－5，解得：x2＝5，則方程的另一根是x2＝5．
點撥：本題此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當(dāng)b2－4ac≥0時方程有解，此時設(shè)方程的解為x1，x2，則有＝ ＝。
例4：已知方程有兩個實數(shù)根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求的值。
分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得的值。
解：∵方程有兩個實數(shù)根，
∴△
解這個不等式，得≤0
設(shè)方程兩根為 則，
整理得：
解得：
又∵，∴
點撥：當(dāng)求出后，還需注意隱含條件，應(yīng)舍去不合題意的。
例5：已知關(guān)于的方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，且關(guān)于的方程（2）沒有實數(shù)根，問取什么整數(shù)時，方程（1）有整數(shù)解？
分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數(shù)值。
解：∵方程（1）有兩個不相等的實數(shù)根，
∴ 解得；
∵方程（2）沒有實數(shù)根，
∴， 解得；
于是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是
其中，的整數(shù)值有或
當(dāng)時，方程（1）為，無整數(shù)根；
當(dāng)時，方程（1）為，有整數(shù)根。
解得：
所以，使方程（1）有整數(shù)根的的整數(shù)值是。
點撥：熟悉一元二次方程實數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。
例6：已知實數(shù)a，b分別滿足a2－6a+4＝0，b2－6b+4＝0，且a≠b，則的值是（ ）
分析：根據(jù)已知兩等式得到a與b為方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b與ab的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法則計算，再利用完全平方公式變形，將a+b與ab的值代入計算即可求出值．
解：根據(jù)題意得：a與b為方程x2－6x+4＝0的兩根，
∴a+b＝6，ab＝4，
因為＝＝7
點撥：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，要能夠觀察出a與b為方程x2－6x+4＝0的兩根，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
快餐 二 中考能力題
例7. 已知、是一元二次方程的兩個根，則等于（ ）
A. B. C. 1 D. 4
【解析】根據(jù)一元二次方程兩根之積與系數(shù)關(guān)系分析解答. 由題可知：，
【答案】A
【點撥】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．
例8．x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)m使+=0成立？則正確的是結(jié)論是（ ）
【解析】∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．
假設(shè)存在實數(shù)m使+=0成立，則=0，
∴=0，
∴m=0．
當(dāng)m=0時，方程x2﹣mx+m﹣2=0即為x2﹣2=0，此時△=8＞0，
∴m=0符合題意．
【答案】A
【點撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q
例9．已知函數(shù)y=的圖象在第一象限的一支曲線上有一點A（a，c），點B（b，c+1）在該函數(shù)圖象的另外一支上，則關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根x1，x2判斷正確的是（ ）
【解析】根據(jù)點A（a，c）在第一象限的一支曲線上，得出a＞0，c＞0，再點B（b，c+1）在該函數(shù)圖象的另外一支上，得出b＜0，c＜﹣1，再根據(jù)x1?x2=，x1+x2=﹣，即可得出答案．
【答案】C
【點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根與系數(shù)的關(guān)系和各個象限點的特點是本題的關(guān)鍵；若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的兩個實數(shù)根，則x1+x2=﹣，x1x2=．
例10.已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根；
（2）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
分析：（1）將x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根；
（2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進行解答．
解：（1）將x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；
方程為x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，設(shè)另一根為x1，則1x1=﹣，x1=﹣．
（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，
∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．
點撥：．本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，要記牢公式，靈活運用．
快餐 三 易錯易混題
例11．已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足+＝－1，則m的值是（ ）
A．3或－1 B．3 C．1 D．－3或1
分析：由于方程有兩個不相等的實數(shù)根可得△＞0，由此可以求出m的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和+＝－1，可以求出m的值，最后求出符合題意的m值
錯解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得α+β＝－（2m+3） αβ＝ m2
又因為+＝＝－1，
即＝1，整理，得＝0，解得
故選A
正解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得α+β＝－（2m+3） αβ＝ m2
又因為+＝＝－1，
即＝1，整理，得＝0，解得
又根據(jù)△＝＞0
得＞0
解得m＞
所以m只能夠取3
故選B
點撥： 1、考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與根的判別式及不等式組的綜合應(yīng)用能力．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：
（1）△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）△＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）△＜0，方程沒有實數(shù)根．
2、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2＝－， x1x2＝
快餐 四 課堂練習(xí)題
一、選擇題
1. 已知x1，x2是一元二次方程的兩根，則的值是（ ）
A．0 B． 2 C．－2 D． 4
2. 已知m， n是關(guān)于x的一元二次方程x2－3x+a＝0的兩個解，若（m－1）（n－1）＝－6，則a的值為（ ）
A．－10 B． 4 C．－4 D． 10
二、填空題
3．設(shè)x1，x2是方程2x2－3x－3＝0的兩個實數(shù)根，則的值為 ．
4.已知關(guān)于的方程的兩根為，且，則 。
5若兩個不等實數(shù)m、n滿足條件：m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，則m2+n2的值是 ．
6.若x1，x2是方程x2-2x-5=0的兩根，則x12+x1x2+x22=_______.
7.已知一元二次方程y2-3y +1=0的兩個實數(shù)根分別為y1，y2，則(y1-1)(y2-1)的值為_______.
三、解答題
8.(雞西模擬)若關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的兩個實數(shù)根為x1，x2，且滿足x1=3x2，試求出方程的兩個實數(shù)根及k的值.
9. 設(shè)，是方程＝0的兩實數(shù)根，求的值．
10.關(guān)于x的方程kx2+(k+2)x+=0有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求k的取值范圍.
(2)是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.
11. 已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
課堂練習(xí)參考答案
1.【解析】由題意，得：x1+x2=-p，x1x2=q；
【答案】B.
∴p=-(x1+x2)=-3，q=x1x2=2.故選A.
2.【解析】C（提示：根據(jù)題意得：m+n＝3，mn＝a，∵（m－1）（n－1）＝mn－（m+n）+1＝－6，
∴a－3+1＝－6，解得：a＝－4.
【答案】C.
3.【解析】（提示：∵x1，x2是方程2x2－3x－3＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝，x1x2＝－，
則原式＝＝＝＝＝－．
答案：－
4.【解析】：由于韋達定理得：，，∵，
∴，∴，解得：。
答案：
5.【解析】6（提示：由題意知，m、n是關(guān)于x的方程x2－2x－1＝0的兩個根，則m+n＝2，mn＝－1．
所以，m2+n2＝（m+n）2－2mn＝2×2－2×（－1）＝6
答案：6
6.【解析】∵x1，x2是方程x2-2x-5=0的兩根，
∴x1+x2=2，x1x2=-5，x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=4+5=9.
答案：9
7.【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=3，y1y2=1，所以(y1-1)(y2-1)=y1y2-y1-y2+1=y1y2-(y1+y2)+1=1-3+1=-1.
答案：-1
8.【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=4①，
x1x2=k-3②，
又∵x1=3x2③，聯(lián)立①、③，解方程組得
∴k=x1x2+3=3×1+3=6.
答：方程兩根為x1=3,x2=1；k=6.
9.【解析】將代入＝0中得＝0，移項，德
兩邊同乘以，得，再將代入得
所以，因為+＝1
所以＝2019。
10.【解析】(1)由Δ=(k+2)2-4k·＞0,∴k＞-1，
又∵k≠0，
∴k的取值范圍是k＞-1且k≠0.
(2)不存在符合條件的實數(shù)k.
理由：設(shè)方程kx2+(k+2)x+=0的兩根分別為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系有：
又，則，
∴k=-2.
由(1)知，k=-2時，Δ＜0，原方程無實解.
∴不存在符合條件的k的值
11.【解析】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）當(dāng)△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理為：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
A．
7
B．
－7
C．
11
D．
－11

A．
m=0時成立
B．
m=2時成立
C．
m=0或2時成立
D．
不存在

A．
x1+x2＞1，x1?x2＞0
B．
x1+x2＜0，x1?x2＞0

C．
0＜x1+x2＜1，x1?x2＞0
D．
x1+x2與x1?x2的符號都不確定

相關(guān)試卷

人教版21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課后復(fù)習(xí)題：

這是一份人教版21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課后復(fù)習(xí)題，共4頁。

人教版九年級上冊21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系優(yōu)秀課時作業(yè)：

這是一份人教版九年級上冊21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系優(yōu)秀課時作業(yè)，共3頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系精品鞏固練習(xí)：

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系精品鞏固練習(xí)，共5頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

初中21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課后作業(yè)題

初中21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課后作業(yè)題
人教版九年級上冊第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系同步練習(xí)題

人教版九年級上冊第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系同步練習(xí)題
人教版九年級上冊21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課時作業(yè)

人教版九年級上冊21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課時作業(yè)
數(shù)學(xué)人教版21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課時作業(yè)

數(shù)學(xué)人教版21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課時作業(yè)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
暑假專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部