1. 下列中國傳統(tǒng)吉祥圖案中，不是中心對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【詳解】解：選項A、C、D不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．
選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：B．
【點睛】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．
2. 我市某校開展共創(chuàng)文明班，一起向未來的古詩文朗誦比賽活動，有10位同學(xué)參加了初賽，按初賽成績由高到低取前5位進入決賽．如果小王同學(xué)知道了自己的成績后，要判斷能否進入決賽，他需要知道這10位同學(xué)成績的（ ）
A. 平均數(shù)B. 眾數(shù)C. 中位數(shù)D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】共有10名同學(xué)參加比賽，取前5名進入決賽，而成績的中位數(shù)應(yīng)為第5，第6名同學(xué)的成績的平均數(shù)，如果小王的成績大于中位數(shù)，則在前5名，由此即可判斷．
【詳解】解：∵一共有10名同學(xué)參加比賽，取前5名進入決賽，
∴成績的中位數(shù)應(yīng)為第5，第6名同學(xué)的成績的平均數(shù)，
如果小王的成績大于中位數(shù)，則可以晉級，反之則不能晉級，
故只需要知道10名同學(xué)成績的中位數(shù)即可，
故選：C．
【點睛】本題考查求一組數(shù)的中位數(shù)，中位數(shù)的實際應(yīng)用，能夠求出一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．
3. 已知關(guān)于的方程的一個根為，則實數(shù)的值為（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】將代入中求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的方程的一個根為，
∴，解得：，
故選：D．
【點睛】本題考查一元二次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解的意義是解答的關(guān)鍵．
4. 《義務(wù)教育課程標準（2022年版）》首次把學(xué)生學(xué)會炒菜納入勞動教育課程，并做出明確規(guī)定．某班有7名學(xué)生已經(jīng)學(xué)會炒的菜品的種數(shù)依次為：3，5，4，6，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A. 3，4B. 4，3C. 3，3D. 4，4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)眾數(shù)及中位數(shù)的概念進行判斷即可．
【詳解】3出現(xiàn)次數(shù)最多，
眾數(shù)是3；
把這組數(shù)據(jù)從小到大排序為：3，3，3，4，4，5，6，
4位于第四位，
中位數(shù)為4；
故選：A．
【點睛】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的概念，一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為眾數(shù)；按從小到大（或從大到小）順序排列，處于中間位置的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，熟練掌握這兩個知識點是解題的關(guān)鍵．
5. 如圖，在中，、分別是和上的點，，若，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求解再證明可得．
【詳解】解：，
，
，
，
．
故選C
【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關(guān)鍵．
6. 如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當點在內(nèi)且點在外時，的值可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先利用勾股定理求得，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求解即可．
【詳解】解：∵在中，，，，
∴，
∵點在內(nèi)且點在外，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟知點與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓半徑為r，點與圓心的距離為d，當時，點在圓內(nèi)；當時，點在圓上；當時，點在圓外．
7. 二次函數(shù)的部分圖像如圖所示，其對稱軸為直線，與軸交于點，點的坐標為，則的值為（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由二次函數(shù)的對稱軸為直線，可得，再由A的坐標可得，從而可得答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，
∴，解得，
∵點A的坐標為，
∴，
∴，
故選B．
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與x軸的交點坐標，對稱軸方程的含義，理解題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．
8. 如圖是一張矩形紙片，點是中點，點在上，把該紙片沿折疊，點、的對應(yīng)點分別為、，與相交于點，的延長線經(jīng)過點．若，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】過點E作于點H，令，，，則，，易證，得出，進而得出，則，根據(jù)勾股定理得出，最后求出的值．
【詳解】解：過點E作于點H，
∵四邊形為矩形，
∴，，
∴四邊形和四邊形為矩形，
∴，，
∵，
∴令，，，則，，
∵為的中點，
∴，
由對折可得：，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
由題意，得，
又為公共角，
∴，
∴，
則，
整理，得，
解得（舍去），，
∴，，，
在中，
則，
解得，（負根舍去），
∴，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求邊長等知識，借助于相似三角形找到的關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．不需寫出解答過程，請將答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置）
9. 方程的根是________．
【答案】或
【解析】
【分析】直接根據(jù)平方根的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：，
∴或．
故答案為：或
【點睛】本題主要考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 二次函數(shù)的頂點坐標是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標為求解即可．
【詳解】解：二次函數(shù)的頂點坐標是，
故答案為：．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
11. 已知圓錐的母線長為5，底面圓的半徑為3，則這個圓錐的側(cè)面積是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用扇形的面積公式可計算出該圓錐的側(cè)面積．
【詳解】解：該圓錐的側(cè)面積．
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
12. 若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程根判別式的意義可以得到，然后解關(guān)于的不等式即可．
【詳解】根據(jù)題意得，
解得．
故答案為．
【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式.一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程無實數(shù)根．
13. 如圖，點A、B、C在上，且，若，則的度數(shù)為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓的半徑相等，可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，進而求解即可．
【詳解】解：∵點A、B、C在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是掌握與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)．
14. 如圖，已知大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，那么_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)已知可得大正方形的邊長是5，小正方形的邊長是1，然后設(shè)三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，從而可得，，進而可得，，最后再利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．
【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，
∴大正方形的邊長是5，小正方形的邊長是1，
設(shè)三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，
由題意得： ，，
解得：，， （負根舍去）
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)學(xué)常識，勾股定理的證明，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
15. 如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機的停留在某塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)幾何概率的求解方法，求得陰影區(qū)域的面積與總面積的比值即可求解．
【詳解】解：由圖可知，總面積為25個小正方形的面積，其中陰影區(qū)域的面積為17個小正方形的面積，則小球停留在陰影區(qū)域的概率是，
故答案為：．
【點睛】本題考查幾何概率的求法：計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的概率，得到陰影區(qū)域面積是關(guān)鍵．
16. 如圖，正方形的面積為8，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的周長為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】如圖，連接．利用相似多邊形的性質(zhì)求出正方形的面積，求出邊長，再求出可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接．設(shè)的中點為O．
∵正方形正方形，，
又∵正方形的面積為8，
∴正方形的面積為2，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的外接圓的周長，
故答案為：．
【點睛】本題考查位似變換，相似多邊形的性質(zhì)，圓的周長等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
17. 如圖，樹在路燈的照射下形成投影，已知路燈高，樹影，樹與路燈的水平距離，則樹的高度長是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：樹的高度AB長是，
故答案為：．
【點睛】本題考查中心投影以及相似三角形的應(yīng)用．測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．
18. 《莊子?天下篇》記載“一尺之錘，日取其半，萬世不竭．”如圖，直線與軸交于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，以此類推，令，，，，若對任意大于1的整數(shù)恒成立，則的最小值為___________．
【答案】2
【解析】
【分析】先由直線與軸的夾角是45°，得出，，…都是等腰直角三角形，
，，，…，得出點的橫坐標為1，得到當時，，點的坐標為，，點的橫坐標，當時，，得出點的坐標為，以此類推，最后得出結(jié)果．
【詳解】解：直線與軸的夾角是45°，
，，…都是等腰直角三角形，
，，，…
點的坐標為，點的橫坐標為1，
當時，，點的坐標為，
，
點的橫坐標，
當時，，
點的坐標為，
，……
以此類推，得，，，，……，，
，
的最小值為2．
【點睛】本題考查了此題考查一次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，探究以幾何圖形為背景的問題時，一是要破解幾何圖形之間的關(guān)系，二是實現(xiàn)線段長度和點的坐標的正確轉(zhuǎn)換，三是觀察分析所得數(shù)據(jù)并找出數(shù)據(jù)之間的規(guī)律．
三、解答題（本大題共9小題，共76分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19. （1）計算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)零指數(shù)冪的運算法則和二次根式的性質(zhì)化簡各數(shù)，再合并計算即可求解；
（2）利用配方法解一元二次方程即可解答．
【詳解】解：（1）
；
（2）移項，得，
配方，得：，
兩邊開平方，得：
∴，．
【點睛】本題主要考查了零指數(shù)冪、二次根式的加減、解一元二次方程，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和一元二次方程的解法步驟是解答的關(guān)鍵．
20. 某校為豐富課后活動，實現(xiàn)“多彩校園，出彩少年”的教育目標，創(chuàng)建了“詩詞雅頌”、“民樂風韻”、“武術(shù)雄姿”、“圍旗圣手”四個社團（依次記為、、、）．小華和小莉兩名同學(xué)報名參加社團，一人只能參加一個社團．
（1）小華參加“詩詞雅頌”社團的概率是___________；
（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求小華和小莉兩名同學(xué)參加同一社團的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)求概率公式直接求解；
（2）畫樹狀圖，求得所有等可能結(jié)果數(shù)，再求得滿足條件的結(jié)果數(shù)，然后利用求概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意，小華參加“詩詞雅頌”社團的概率是，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：畫樹狀圖如下：
由圖知，一共有16種等可能的結(jié)果，其中小華和小莉兩名同學(xué)參加同一社團的結(jié)果有4種，故小華和小莉兩名同學(xué)參加同一社團的概率為．
【點睛】本題考查了求概率公式、列表法或畫樹狀圖法求概率，理解題意，熟練掌握相關(guān)知識是解答的關(guān)鍵．
21. 按照國家視力健康標準，學(xué)生視力狀況分為：視力正常、輕度視力不良、中度視力不良、重度視力不良四個類別，分別用、、、表示．某數(shù)學(xué)興趣小組為了解本校學(xué)生視力健康狀況，從全校1200名學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，進行視力狀況調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制如下統(tǒng)計圖．
抽取的學(xué)生視力狀況統(tǒng)計圖
（1）_____________；
（2）調(diào)查視力數(shù)據(jù)的中位數(shù)所在類別為______類；
（3）該校共有學(xué)生1200人，請估算該校學(xué)生中，中度視力不良和重度視力不良的總?cè)藬?shù)．
【答案】（1）
（2）B （3）人
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)A的人數(shù)和所占的百分數(shù)求得調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再求得m值，進而可求得n值；
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可；
（3）利用總?cè)藬?shù)乘以中度視力不良和重度視力不良在樣本中所占的百分比即可求解．
【小問1詳解】
解：調(diào)查的總?cè)藬?shù)為（人），
則，
∴，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：由（1）知，調(diào)查總?cè)藬?shù)為400人，，
∴調(diào)查視力數(shù)據(jù)中位數(shù)所在類別為B類，
故答案為：B；
【小問3詳解】
解：（人），
答：該校學(xué)生中，中度視力不良和重度視力不良的總?cè)藬?shù)為人．
【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表、中位數(shù)以及用樣本估計總體等知識，關(guān)鍵是從扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表中找出相應(yīng)的數(shù)據(jù)．
22. 如圖、在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．
（1）以原點為位似中心，在第三象限內(nèi)畫，使它與的相似比為2：1；
（2）點的坐標是___________，的面積是____________．
【答案】（1）圖見解析
（2），4
【解析】
【分析】（1）利用關(guān)于原點為位似中心的點的坐標特征，給點的橫縱坐標都乘以，得到點的坐標，然后描點順次連接即可；
（2）根據(jù)網(wǎng)格特點和三角形的面積公式求解即可．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求作；
【小問2詳解】
解：點的坐標是，
的面積是，
故答案為：，4．
【點睛】本題考查了作圖-位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于或．
23. “雜交水稻之父”—袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團隊在增產(chǎn)攻堅第一階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量公斤的目標，第三階段實現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量公斤的目標．如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長率．
【答案】20%
【解析】
【分析】設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長率為，根據(jù)第三階段水稻畝產(chǎn)量第一階段水稻畝產(chǎn)量增長率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長率為，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：畝產(chǎn)量的平均增長率為．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
24. 如圖，點A、B、C在上，，直線，，點在上．
（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若的半徑為4，求弦的長．
【答案】（1）直線與相切，理由見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）連接，證明，即可證明直線與相切；
（2）利用垂徑定理和勾股定理，可求解．
【小問1詳解】
解：直線與相切．
連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是圓的半徑，
∴直線與相切；
【小問2詳解】
解：連接，作于H，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【點睛】本題考查圓的切線的判定定理，垂徑定理和勾股定理，關(guān)鍵是掌握切線的判定方法．
25. 2022年中國成功舉辦了冬奧會和殘奧會，吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品．某商家以每套30元的價格購進一批冰墩墩和雪容融套件．若該產(chǎn)品每套的售價是40元時，每天可售出120套；若每套售價提高1元，則每天少賣2套．
（1）設(shè)每套售價定為元，則該商品當天的銷售量為_________件；
（2）設(shè)每天銷售該套件所獲利潤為元，求每套售價定為多少元時，利潤最大，最大利潤是多少元？
【答案】（1）
（2）每套售價定為元時，利潤最大，最大利潤是元
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)題意列代數(shù)式即可；
（2）根據(jù)利潤=銷售量×單件利潤列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【小問1詳解】
解：由題意得：設(shè)每套售價定為元，
則該商品當天的銷售量為件，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：由題意，得
，
∵，
∴當時，最大，最大值為，
故每套售價定為元時，利潤最大，最大利潤是元．
【點睛】本題考查列代數(shù)式、二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確列出函數(shù)關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．
26. 某地為慶祝2023年元旦來臨，在銀杏廣場舉行無人機表演，點、處各有一架無人機，它們在同一水平線上，與地面的距離為．此時，點到點處的俯角為，點到點處的俯角為，點到點處的俯角為，點到點處的仰角為．求兩架無人機之間的距離的長．
【答案】兩架無人機之間的距離的長為．
【解析】
【分析】延長與直線交于點F，過點E作交于點G，在和以及中，利用三角函數(shù)的定義得到，，在中，利用三角函數(shù)的定義列式計算即可求解．
【詳解】解：延長與直線交于點F，過點E作交于點G，
∴四邊形是矩形，則，，
設(shè)，
在中，，
∴，，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，，
∴，即，
解得：，
∴
∴兩架無人機之間的距離的長為．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
27 如圖，拋物線與軸交于點，點，與軸交于點．
（1）求拋物線的表達式：
（2）在對稱軸上找一點，使的周長最小，求點的坐標；
（3）點是拋物線對稱軸上的一點，點是對稱軸右側(cè)拋物線上的一點，當是以為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點的坐標．
【答案】（1）
（2）
（3）當是以為腰的等腰直角三角形，在對稱軸的右側(cè)時，點M的坐標為或或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出點C的坐標和拋物線的對稱軸，如圖所示，連接交對稱軸于，連接，根據(jù)軸對稱最短路徑可知與拋物線對稱軸的交點即為點D；
（3）分兩種情況當和當兩種情況討論求解即可．
【小問1詳解】
解：∵拋物線與x軸交于點，點，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為；
【小問2詳解】
∵拋物線解析式為，與y軸交于點C，
∴拋物線對稱軸為直線，點C的坐標為，
如圖所示，連接交對稱軸于，連接，
由軸對稱的性質(zhì)可知，
∴的周長為，
此時的周長最短，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
當時，，
∴點D的坐標為；
【小問3詳解】
如圖所示，當點P在x軸上方，時，過點M作于Q，記拋物線的對稱軸與x軸的交點為N，
∵是以為腰的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
設(shè)點P的坐標為，
∴，，，
∴點M的坐標為，
∵點M在拋物線上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴點M的坐標為；
同理當點P在x軸下方，時，，
∴，
解得：或（舍去）
∴點M的坐標為；
當點M在x軸上方，時，過作軸于，
同理可得：，
∴，，
∴，
解得：或（舍去），
∴．
當點M在x軸下方，時，過作軸于，
同理可得：，
∴即，
解得：或（舍去），
∴．
綜上所述，當是以為腰的等腰直角三角形，在對稱軸的右側(cè)時，點M的坐標為或或或．
【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．類別
A
B
C
D
人數(shù)
140
50

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