§10.5　事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式考試要求　1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率．知識(shí)梳理1．相互獨(dú)立事件(1)概念：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝         成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立．(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與        ，與     ，與也都相互獨(dú)立．2．條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱(chēng)P(B|A)＝        為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率．(2)兩個(gè)公式①利用古典概型：P(B|A)＝          ；②概率的乘法公式：P(AB)＝          ．3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝               ．常用結(jié)論1．如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　 　)(2)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．(　 　)(3)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第2枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨(dú)立．(　 　)(4)若事件A1與A2是對(duì)立事件，則對(duì)任意的事件B?Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．(　 　)教材改編題1．甲、乙兩人獨(dú)立地破解同一個(gè)謎題，破解出謎題的概率分別為，，則謎題沒(méi)被破解出的概率為(　　)A.  B.  C.  D．12．在8件同一型號(hào)的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是(　　)A.  B.  C.  D.3．智能化的社區(qū)食堂悄然出現(xiàn)，某社區(qū)有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天隨機(jī)地選擇一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率為0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率為0.5，則居民甲第二天去A食堂用餐的概率為________．題型一　相互獨(dú)立事件的概率例1　(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(　　)A．甲與丙相互獨(dú)立   B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立   D．丙與丁相互獨(dú)立(2)(2023·臨沂模擬)“11分制”乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后，若甲先發(fā)球，兩人又打了2個(gè)球后該局比賽結(jié)束的概率為 ________；若乙先發(fā)球，兩人又打了4個(gè)球后該局比賽結(jié)束，則甲獲勝的概率為 ________.聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積．(2)當(dāng)正面計(jì)算較復(fù)雜或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練1　小王某天乘火車(chē)從重慶到上海，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9，假設(shè)這三列火車(chē)之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求：(1)這三列火車(chē)恰好有兩列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)這三列火車(chē)恰好有一列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率；(3)這三列火車(chē)至少有一列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二　條件概率例2　(1)(2022·哈爾濱模擬)七巧板是中國(guó)民間流傳的智力玩具．據(jù)清代陸以湉《冷廬雜識(shí)》記載，七巧板是由宋代黃伯思設(shè)計(jì)的宴幾圖演變而來(lái)的，原為文人的一種室內(nèi)游戲，后在民間逐步演變?yōu)槠磮D版玩具．到明代，七巧板已基本定型為由如圖所示的七塊板組成：五塊等腰直角三角形(其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形，可以拼成人物、動(dòng)物、植物、房亭、樓閣等1 600種以上圖案．現(xiàn)從七巧板中取出兩塊，已知取出的是三角形，則兩塊板恰好是全等三角形的概率為(　　)A.  B.  C.  D.(2)逢年過(guò)節(jié)走親訪友，成年人喝酒是經(jīng)常的事，但是飲酒過(guò)度會(huì)影響健康，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了針對(duì)性的調(diào)查研究．據(jù)統(tǒng)計(jì)，一次性飲酒4.8兩，誘發(fā)某種疾病的頻率為0.04，一次性飲酒7.2兩，誘發(fā)這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率，已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，則他還能繼續(xù)飲酒2.4兩，不誘發(fā)這種疾病的概率為(　　)A.  B.  C.  D.聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)＝.(2)樣本點(diǎn)法：P(B|A)＝.(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．跟蹤訓(xùn)練2　(1)(2023·六盤(pán)山模擬)已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回．在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為(　　)A.  B.  C.  D.(2)某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中目標(biāo)的概率為，現(xiàn)連續(xù)射擊兩次．①已知第一次擊中，則第二次擊中的概率是________；②在僅擊中一次的條件下，第二次擊中的概率是________．題型三　全概率公式的應(yīng)用例3　(1)一份新高考數(shù)學(xué)試卷中有8道單選題，小胡對(duì)其中5道題有思路，3道題完全沒(méi)有思路．有思路的題做對(duì)的概率是0.9，沒(méi)有思路的題只能猜一個(gè)答案，猜對(duì)答案的概率為0.25，則小胡從這8道題目中隨機(jī)抽取1道做對(duì)的概率為(　　)A.  B.  C.  D.(2)在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列．由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知當(dāng)發(fā)送信號(hào)0時(shí)，被接收為0和1的概率分別為0.93和0.07；當(dāng)發(fā)送信號(hào)1時(shí)，被接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的，則接收的信號(hào)為1的概率為(　　)A．0.48  B．0.49  C．0.52  D．0.51聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　利用全概率公式解題的思路(1)按照確定的標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各個(gè)互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(Ai)P(B|Ai)．(3)代入全概率公式計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練3　(1)設(shè)甲乘汽車(chē)、動(dòng)車(chē)前往某目的地的概率分別為0.4,0.6，汽車(chē)和動(dòng)車(chē)正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.7,0.9，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為(　　)A．0.78  B．0.8  C．0.82  D．0.84(2)(2022·鄭州模擬)第24屆冬奧會(huì)于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，中國(guó)郵政陸續(xù)發(fā)行了多款紀(jì)念郵票，其圖案包括“冬夢(mèng)”“冰墩墩”和“雪容融”等．小王有3張“冬夢(mèng)”、2張“冰墩墩”和2張“雪容融”郵票；小李有“冬夢(mèng)”“冰墩墩”和“雪容融”郵票各1張．小王現(xiàn)隨機(jī)取出一張郵票送給小李，分別以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬夢(mèng)”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再隨機(jī)取出一張郵票，以B表示他取出的郵票是“冰墩墩”的事件，則P(B|A2)＝________，P(B)＝________.

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