2023-2024學年河南省周口市淮陽中學九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.要使二次根式有意義，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 2.若關于的方程是一元二次方程，則實數(shù)的值為(    )A.  B.  C.  D. 3.下列各式，，，中，是最簡二次根式的有(    )A. 個 B. 個 C. 個 D. 個4.方程的根是(    )A.  B.  C.  D. 或5.若，則“？”表示的數(shù)字是(    )A.  B.  C.  D. 6.關于的一元二次方程的一個根是，則方程的另一個根為(    )A.  B.  C.  D. 7.一元二次方程根的情況是(    )A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 只有一個實數(shù)根 D. 沒有實數(shù)根8.用配方法解方程，將其化為的形式，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 9.如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為，寬為的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪．若草坪的面積為，道路的寬為，則可列方程為(    )
A.  B.
C.  D. 10.如圖，平行四邊形中，對角線為，且，以點為圓心，以適當長度為半徑做弧，交、于點、兩點，再分別以、為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線分別交、于，若，，則的長度為(    )
A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.計算： ______ ．12.已知，為實數(shù)，且，則 ______ ．13.觀察表格，一元二次方程的一個解的取值范圍是______． 14.某農村合作社年蘋果儲存量為噸，預計年蘋果儲存量達到噸，則這兩年蘋果儲存量的年平均增長率為______ ．15.定義表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，如，，，則方程的解為______ ．三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.本小題分
解方程：．
計算：．17.本小題分
若為正數(shù)，則為正整數(shù)，求的最大值及此時的值．18.本小題分
座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計算公式為，其中表示周期單位：，表示擺長單位：假如一臺座鐘的擺長為取，
求擺針擺動的周期．
如果座鐘每擺動一個來回發(fā)出一次滴答聲，那么在分鐘內，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？19.本小題分
關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根．
求的取值范圍；
若為正整數(shù)，求此時方程的根．20.本小題分
開封西瓜是河南省開封市特產，是開封市的地理標志農產品某水果攤位上銷售一批開封西瓜，平均每天可售出箱，每箱盈利元為了擴大銷售，增加盈利，攤主采取了降價措施，假設在一定范圍內，每箱開封西瓜的價格每降低元攤主平均每天可多售出箱如果該攤主銷售這批西瓜要保證每天盈利元，同時盡快減少庫存，那么每箱西瓜應降多少元？21.本小題分
下面是小華同學的數(shù)學小論文，請認真閱讀，并完成下面的任務． 平均數(shù)法解一元二次方程
在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：
如：解方程．
解：原方程可變形，
得
根據(jù)


直接開平方并整理，得，，我們稱這種解法為平均數(shù)法．
經(jīng)典練習：
下面是用平均數(shù)法解方程時寫的解題過程，
@@
@
@
直接開平方并整理，得任務：
小論文中的根據(jù)是______ ．
用平均數(shù)法解方程的兩個解分別是 ______ ， ______ ．
請用平均數(shù)法解方程：．22.本小題分
綜合與實踐
根據(jù)以下素材，探索完成任務． 如何設計紙盒素材利用一邊長為的正方形紙板可設計成如圖和圖所示的兩種紙盒，圖是無蓋的紙盒，圖是一個有蓋的紙盒．素材如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子．問題解決任務初步探究：折一個底面積為的無蓋長方體盒子．問剪掉的小正方形的邊長為多少？任務探究折成的無蓋長方體盒子的側面積能否為？如果能，求出此時剪掉的小正方形的邊長；如果不能，說明理由．任務圖是一個高為的無蓋的五棱柱盒子直棱柱，圖是其底面，在五邊形中，，，，，．
 圖中的五棱柱盒子可按圖所示的示意圖，將矩形紙板剪切折合而成，那么這個矩形紙板的長和寬至少各為多少厘米？請直接寫出結果圖中實線表示剪切線，虛線表示折痕，紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計 23.本小題分

綜合與探究
如圖，在矩形中，，，動點，分別從點，處同時出發(fā)，點以的速度從點移動到點，點以的速度從點向點移動，點隨點的停止而停止移動，設移動時間為．
當為何值時，四邊形的面積是？
當為何值時，的長為？
當為直角三角形時，直接寫出的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由題意得：，
解得：，
故選：．
根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，解不等式得到答案．
本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．2.【答案】 【解析】解：關于的方程是一元二次方程，
，，
，且，，
，
故選：．
根據(jù)二次項系數(shù)不為零，最高次項的次數(shù)為，求解即可．
本題考查了一元二次方程的定義即形如的整式方程，熟練掌握定義是解題的關鍵．3.【答案】 【解析】解：，不是最簡二次根式；是最簡二次根式；，不是最簡二次根式；，不是最簡二次根式．
故選：．
根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可．
本題主要考查了最簡二次根式，書記最簡二次根式的定義是解決本題的關鍵．4.【答案】 【解析】解：，
，
則，
或，
解得或，
故選：．
利用因式分解法求解可得．
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．5.【答案】 【解析】解：．
故選：．
將化簡，之后計算即可．
本題主要考查二次的加減運算，將化簡是解題的關鍵．6.【答案】 【解析】解：解法一：由題意設一元二次方程的兩根分別為，，
，
，
方程的另一個根為．
故選：．
解法二：一元二次方程的一個根是，
，
，
，
解得：，，
方程的另一個根為．
故選：．
解法一：利用根與系數(shù)的關系得到，算出即可．
解法二：將代入方程中求得的值，再解一元二次方程即可．
本題主要考查根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解，解題關鍵是熟知根與系數(shù)的關系：，是一元二次方程的兩根時，，．7.【答案】 【解析】解：一元二次方程中的，，，
則這個方程根的判別式為，
所以方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：．
利用一元二次方程根的判別式進行判斷即可得．
本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．8.【答案】 【解析】解：，
移項，得，
配方，得，
．
，．
．
故選：．
先配方，確定、，再計算的值得結論．
本題考查了一元二次方程，掌握配方法是解決本題的關鍵．9.【答案】 【解析】解：設道路的寬為，則剩余的六塊空地可合成長、寬的矩形，
根據(jù)題意得：．
故選：．
設道路的寬為，則剩余的六塊空地可合成長、寬的矩形，根據(jù)矩形的面積公式結合草坪的面積為，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．10.【答案】 【解析】解：如圖，

由題意得，
平分交，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
作交于，
，
，
，
，
，
，
故選：．
可得平分，作，可得是等腰直角三角形，是等腰三角形，進而求得結果．
本題考查了角平分線的畫法和判定，等腰直角三角形的判定和性質，解決問題的關鍵是作輔助線，構造是等腰直角三角形．11.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
根據(jù)算術平方根的定義計算即可．
本題主要考查了算術平方根，掌握算術平方根的求法是解答本題的關鍵．12.【答案】 【解析】解：由題意得：，，
解得：，
則，
．
故答案為：．
根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式組，解不等式組求出，進而求出，計算即可．
本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關鍵．13.【答案】 【解析】解：由時，，時，，
由函數(shù)的增減性，得的解滿足，
故答案為：．
觀察表格確定出方程的一個解的范圍即可．
本題考查了估算一元二次方程的近似解，利用函數(shù)的增減性是解題關鍵．14.【答案】 【解析】解：設這兩年蘋果儲存量的年平均增長率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，不符合題意，舍去，
這兩年蘋果儲存量的年平均增長率為．
故答案為：．
設這兩年蘋果儲存量的年平均增長率為，利用該農村合作社預計年蘋果儲存量該農村合作社年蘋果儲存量這兩年蘋果儲存量的年平均增長率，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．15.【答案】或或 【解析】解：，
，
時，，解得；
時，，解得或舍；
時，，解得或舍；
時，方程無解；
綜上所述：方程的解為或或，
故答案為：或或．
根據(jù)，可得，分種情況討論：時，解得；時，解得或 舍；時，解得或舍；時，方程無解．
本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，理解取整的定義是解題的關鍵．16.【答案】解：，
，
則或，
解得，；
原式

． 【解析】利用因式分解法求解即可；
先化簡二次根式，再利用乘法分配律計算即可．
本題主要考查二次根式的運算和解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適、簡便的方法求解．17.【答案】解：為正數(shù)，
，
，
為正整數(shù)，
，
，
的最大值為，此時，即． 【解析】根據(jù)為正數(shù)得出，再判斷出，故估算的值，從而得出的最大值為，由此解答即可．
本題考查了二次根式的定義，無理數(shù)的估算，不等式的性質，難度適中．18.【答案】解：


．
答：擺針擺動的周期
分秒，
次．
答：在分鐘內，該座鐘大約發(fā)出次滴答聲． 【解析】由給出的公式先計算出這個鐘擺的周期；
然后利用時間除周期得到滴答次數(shù)．
本題主要考查了二次根式的應用，計算出鐘擺的周期是解決本題的關鍵．19.【答案】解：，
依題意，得
解得且；
為正整數(shù)，
，
原方程為．
解得，． 【解析】由方程有兩個相等的實數(shù)根得，可得關于的不等式，解之可得的范圍，結合一元二次方程的定義可得答案；
由知，得出方程，再用因式分解法求解可得．
本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當時，方程有兩個實數(shù)根”是解題的關鍵．20.【答案】解：設每箱西瓜降價元，則每箱盈利元，平均每天可售出箱，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，，
又要盡快減少庫存，
．
答：每箱西瓜應降元． 【解析】設每箱西瓜降價元，則每箱盈利元，平均每天可售出箱，利用總利潤每箱的銷售利潤日銷售量，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．21.【答案】平方差公式     【解析】解：，
根據(jù)，
根據(jù)是平方差公式．
故答案為：平方差公式．
原方程變形為：，
，
，
，
，．
故答案為：，．
，
原方程可變形，得，
整理得：，
，即，
直接開平方并整理，得，．
根據(jù)閱讀材料中的信息確定根據(jù)就是平方差公式；
利用“平均數(shù)法”解方程即可；
利用“平均數(shù)法”解方程即可．
此題考查了一元二次方程的應用，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．22.【答案】解：任務：設剪掉的小正方形的邊長為，則無蓋長方體盒子的底面邊長為，
根據(jù)題意可列方程得：，
解得：，，
，即，
，
答：剪掉的小正方形的邊長為；
任務：設剪掉的正方形的邊長為，由題意得：
，
，
解得：，
答：剪掉的小正方形的邊長為；
任務：如圖，過，分別作于，于，于點，
則即為矩形紙板的長，即為矩形紙板的寬，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形紙板的長至少為，矩形紙板的寬至少為． 【解析】任務：首先設剪掉的小正方形的邊長為，則無蓋長方體盒子的底面邊長為，然后根據(jù)底面積為列出方程，解出的值即可；
任務：首先設剪掉的正方形的邊長為，則折成的長方體紙盒的長為，高為，根據(jù)題意列出方程求解即可；
任務：過，分別作于，于，于點，則即為矩形紙板的長，即為矩形紙板的寬，然后利用含度角的直角三角形的性質解決問題即可．
本題是幾何變換綜合題，考查了解直角三角形的應用，長方體的平面圖，一元二次方程的應用，含度角的直角三角形性質，正確的畫出圖形是解題的關鍵．23.【答案】解：設、兩點從出發(fā)開始秒時，四邊形的面積是，則，，；
由梯形的面積公式，可得：，
解得：，
答：、兩點從出發(fā)開始秒時，四邊形的面積是．
設秒后，點和點的距離是．
，即，
，
，；
經(jīng)過或時、兩點之間的距離是．
分兩種情況：
若，則四邊形為矩形，

，
，
；
若，

，
，
，
，
∽，
，
，
．
綜上所述，的值為，或． 【解析】由梯形的面積公式可列出方程，解方程可得出答案；
設秒后，點和點的距離是在中，根據(jù)勾股定理列出關于的方程，通過解方程即可求得的值；
分兩種情況，若，若，由直角三角形的性質可得出答案．
本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質，三角形的面積的計算，勾股定理，相似三角形的判定和性質，分類討論是解題的關鍵．

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