2022-2023學(xué)年高三年級(jí)第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 若集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可得，，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解:  依題意，，，故．故選：B.2. 已知命題“，”，則命題的真假及分別為（    ）A. 真， B. 假，C. 真， D. 假，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特例法，結(jié)合全稱命題的否定的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】令，可知，故命題為假，全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，故，，故選：B3. 已知向量，的夾角為，且，，則（    ）A. 9 B.  C. 16 D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義與運(yùn)算律計(jì)算.【詳解】   ．故選：C4. 某種水稻害蟲數(shù)量的日增長(zhǎng)率為，最初發(fā)現(xiàn)時(shí)約有只，則達(dá)到最初數(shù)量的250倍，大約需要經(jīng)過(guò)（    ）參考數(shù)據(jù)：，，，．A. 141天 B. 132天 C. 120天 D. 112天【答案】A【解析】【分析】設(shè)大約需要經(jīng)過(guò)天，列方程并用對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)大約需要經(jīng)過(guò)天．依題意，，則，故，則.故選：A5. 函數(shù)的圖像大致為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】特殊值法排除確定函數(shù)的圖像．【詳解】，故排除B，C；，故排除D．故選：A．6. 已知為銳角，則“”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換公式以及充要條件的定義求解.【詳解】依題意，，故，即．因?yàn)?/span>，所以，即，解得．故“”是”的充要條件．故選:C.7. 如圖所示，為了測(cè)量某座山的山頂A到山腳某處B的距離（AB垂直于水平面），研究人員在距D研究所處的觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得山頂A的仰角為，山腳B的俯角為.若該研究員還測(cè)得B到C處的距離比到D處的距離多，且，則（    ）A  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)出，，通過(guò)已知在中由余弦定理得出，過(guò)點(diǎn)C作，結(jié)合已知得出與即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，，，則在中由余弦定理可得：，解得：，則，，過(guò)點(diǎn)C作，研究人員在距D研究所處的觀測(cè)點(diǎn)C處測(cè)得山頂A的仰角為，山腳B的俯角為，，，則，，則，，則，，故選：B.8. 已知，若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，則的值可能為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程無(wú)解，從而得到或，由此利用正弦函數(shù)的性質(zhì)與輔助角公式即可得解.【詳解】令，則，故，則，故在無(wú)零點(diǎn)，所以，所以或，當(dāng)時(shí)，由于，所以，因?yàn)?/span>，所以；當(dāng)時(shí)，，則，即，故，因?yàn)?/span>，所以，故，則；綜上：或，所以不可能為第二角限角.故選：D.9. 中華人民共和國(guó)國(guó)旗上的五角星均為正五角星，正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系．在如圖所示的正五角星中，依次連接，，，，形成的多邊形為正五邊形，且，現(xiàn)有如下說(shuō)法：①；②若，則；③若，則．其中正確的個(gè)數(shù)為（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】對(duì)①：結(jié)合向量運(yùn)算及平面幾何知識(shí)可知；對(duì)②：由，， 三點(diǎn)共線解得；對(duì)③：由余弦定理計(jì)算，用數(shù)量積定義計(jì)算的值.【詳解】連接，在正五邊形中，所以，，所以，所以，又，故，故①錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，，三點(diǎn)共線，所以，所以，整理得故，故②錯(cuò)誤；若，則，，由余弦定理可知，故，故③正確．故選:B．10. 已知函數(shù)若有5個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用轉(zhuǎn)化法，把零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】令，則．令，則在上單調(diào)遞增．易知，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，．單調(diào)遞增，所以，又，所以的大致圖象如圖所示，當(dāng)有5個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)與直線有5個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知，的取值范圍為．故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.11. 已知，，三點(diǎn)共圓，，且點(diǎn)，，滿足，若，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用平面向量基本定理結(jié)合圖形特征，解決距離和最大.【詳解】作出圖形如圖所示，取線段的中點(diǎn)．因?yàn)?/span>，所以，故，故點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離．設(shè)，，所在圓的圓心為，則當(dāng)，，三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在線段上，時(shí)，取到最大值，此時(shí)為等邊三角形，故，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為．故選：D.
 12. 若，，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單單調(diào)性，求出，從而得；再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，得出，從而得，即可得答案.【詳解】解:因?yàn)?/span>，，，令，則，令，則，可知當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以在是單調(diào)遞增函數(shù)，最大值為，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，所以，即，所以，再設(shè)，則，令，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，綜上所述：故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比較大小的題，不能找到中間量時(shí)，常采用構(gòu)建函數(shù)的方法，通過(guò)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得結(jié)果.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線相互垂直，則__________．【答案】1【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)表示出，由切線與直線相互垂直得，可求得的值.【詳解】依題意，，故．因?yàn)?/span>圖象在點(diǎn)處的切線與直線相互垂直，所以，則，解得．故答案為：114. 已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】先求出集合A，根據(jù)題意得到B是A的真子集，得到答案.【詳解】依題意，，已知“”是“”的必要不充分條件，所以B是A的真子集，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.15. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“五點(diǎn)法”求出函數(shù)解析式，再由解出，即可得出最小值.【詳解】依題意，，解得，故，故，而，解得．因?yàn)?/span>，所以，故．令，則，故或，解得或，故的最小值為．故答案為：16. 已知等腰梯形是半徑為2的圓的內(nèi)接四邊形，且，，則等腰梯形的四條邊長(zhǎng)的乘積的最大值為__________．【答案】36【解析】【分析】如圖所示，連接，設(shè)，，則，根據(jù)正弦定理得到乘積為，設(shè)，得，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示：連接，設(shè)，，則．  在中，，，，在，，，故梯形的四條邊乘積，設(shè)，得，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．，當(dāng)時(shí)，取得最大值．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了正弦定理，三角恒等變換，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中引入變量，將乘積轉(zhuǎn)化為關(guān)于函數(shù)關(guān)系再利用均值不等式求解是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17. 已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出三角函數(shù)值，再利用正切的倍角公式與和差公式即可得解；（2）利用正余弦函數(shù)的倍角公式，轉(zhuǎn)化為齊次式，從而化簡(jiǎn)代入即可.【小問(wèn)1詳解】依題意，． 則．故．【小問(wèn)2詳解】依題意，.．18. 已知函數(shù)，.（1）設(shè)在上的最小值為，將表示為的函數(shù)；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)令，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的最小值，對(duì)分、、三類討論，分別求得對(duì)應(yīng)的，綜合可得答案；(2)依題意，可得，令，再令，可轉(zhuǎn)化為在上有解，顯然，分離參數(shù)，利用基本不等式可得答案.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，令，則，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的最小值；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；綜上所述，.【小問(wèn)2詳解】依題意，，令，可得，令，則，故在上有解，顯然，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19. 已知向量，，，函數(shù)．（1）若，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在上有3個(gè)解，求的取值范圍．【答案】（1）    （2）．【解析】【分析】(1)化簡(jiǎn)得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，進(jìn)而可得在上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)由題意可得，從而可得，結(jié)合題意可得，求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：依題意，，當(dāng)時(shí)，．令，得，當(dāng)時(shí)，，故在上的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】解：依題意，，則或，則或．則，則，解得，即的取值范圍為．20. 已知中，角所對(duì)的邊分別為，，，其中，，，，.（1）求值；（2）若點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，線段與線段相交，且，求的面積.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】(1)利用三角恒等變換求得，進(jìn)而可得，再利用正弦定理、余弦定理求解即可； (2)利用余弦定理和面積公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意則，因?yàn)?/span>，所以,,又因，所以，則，由正弦定理得再由余弦定理得，整理得，解得或(舍).故，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，由余弦定理得，所以，21. 已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）無(wú)極小值，極大值為    （2）【解析】【分析】(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性確定是否有極大值和極小值，代入原函數(shù)求出極大值即可；(2)不等式化簡(jiǎn)設(shè)出新函數(shù)，先特殊值限定范圍，再證明范圍即是所求.【小問(wèn)1詳解】由題可知，定義域?yàn)?/span>，則．所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以在上有極大值，無(wú)極小值，極大值為．【小問(wèn)2詳解】原不等式等價(jià)于在上恒成立，令，因?yàn)?/span>，所以要使在上恒成立，則在處必小于等于0．，由，可得．下面證明：當(dāng)時(shí)，在上恒成立．因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，令當(dāng)在單調(diào)遞增, ,所以，所以．所以，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>，所以，即原不等式在上恒成立．綜上，的取值范圍為．22. 已知函數(shù)，．（1）若在上的值域?yàn)?/span>，求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為    （2）有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．【解析】【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，分析得的單調(diào)性，再結(jié)合題意得到是的極小值點(diǎn)，從而確定，再結(jié)合的單調(diào)性可推得，由此得解；（2）先構(gòu)造函數(shù)，得到的不等關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)，分類討論與兩種情況，結(jié)合零點(diǎn)存在定理證得有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，從而得到的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>，所以，令，解得或，當(dāng)，即時(shí)，令，得；令，得或；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是的極大值點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，令，得；令，得或；所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，此時(shí)是的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)，易得，，不滿足題意；又，在上的值域?yàn)?/span>，所以在上的最值為，故是的極大值點(diǎn)，所以，此時(shí)，有或兩種情況，都有，故滿足題意，所以由上述分析可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即；因?yàn)?/span>，令，則，令，則，令，解得或．①若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增．又，所以有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，即有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．②若，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故在上沒(méi)有零點(diǎn)，下證．當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以，所以，所以．從而在上有唯一零點(diǎn)，所以在上有唯一零點(diǎn)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問(wèn)題處理．  
 

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