2023-2024學(xué)年江西省九江市修水縣八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是(    )A.  B.  C.  D. 2.下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 3.下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，4.下列說(shuō)法正確的是(    )A. 平方根等于本身的數(shù)是 B. 帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)
C. 立方根等于本身的數(shù)是或 D. 有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的5.在數(shù)軸上，離最近的整數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 6.勾股定理是人類數(shù)學(xué)文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題最重要的工具，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一如圖，當(dāng)秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)即水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長(zhǎng)是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）7.的相反數(shù)是______ ．8.的算術(shù)平方根是______ ．9.有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱______ ．10.若一個(gè)正方體的體積為，則該正方體的棱長(zhǎng)為______ ．11.如圖，是線段上的一點(diǎn)，以，為邊在的兩側(cè)作正方形，設(shè)，兩個(gè)正方形的面積和為，即，則圖中陰影部分的面積為______ ．
 12.如圖，將長(zhǎng)方形分為的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)、分別是邊、上的一點(diǎn)，且若點(diǎn)位于長(zhǎng)方形內(nèi)部不含邊的網(wǎng)格點(diǎn)上，且當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為______ ．
 三、解答題（本大題共11小題，共84.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）13.本小題分
計(jì)算：；
已知，求的值．14.本小題分
小明從家出發(fā)向正東方向走了，接著向正北方向走了，這時(shí)小明離出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)？15.本小題分
把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：
，，，，，相鄰兩個(gè)之間的個(gè)數(shù)逐次加．
有理數(shù)集合：______ ；
無(wú)理數(shù)集合：______ ；
負(fù)實(shí)數(shù)集合：______ ．16.本小題分
已知的立方根是，的算術(shù)平方根是，求的平方根．17.本小題分

如圖，這是的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺按下列要求作圖保留作圖痕跡．
在圖中作鈍角，使點(diǎn)在格點(diǎn)上，且．
在圖中的線段上作點(diǎn)，使得的面積為．
18.本小題分
如圖，某校有一塊四邊形空地，現(xiàn)計(jì)劃在該空地上種草皮，經(jīng)測(cè)量，，，，，求這塊場(chǎng)地的面積．
19.本小題分
如圖，這是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體空盒子盒子表面厚度忽略不計(jì)．
盒子外有一只螞蟻從點(diǎn)沿表面爬到相對(duì)的點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路程．
盒子內(nèi)有一只飛蟲從點(diǎn)飛到相對(duì)的點(diǎn)，求飛蟲飛行的最短路程．
20.本小題分
一只螞蟻從點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向左爬了個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)表示，設(shè)點(diǎn)所表示的數(shù)為．
求的值．
在數(shù)軸上還有、兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)、，且滿足，求的立方根．21.本小題分
“作差法”是數(shù)學(xué)中常用的比較兩個(gè)數(shù)大小的方法，若，則；若，則；若，則．
例如：比較與的大?。?/span>
由“作差法”得，
，
，
，
．
請(qǐng)根據(jù)上述方法解答以下問(wèn)題：
的整數(shù)部分是______ ，小數(shù)部分是______ ．
比較與的大?。?/span>22.本小題分

如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，連接．
求證：．
求的長(zhǎng)．
23.本小題分
我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”如圖，已知四邊形，，像這樣的四邊形稱為“垂美四邊形”．
探索證明
如圖，設(shè)，，，，猜想，，，之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并說(shuō)明你的理由．
變式思考
如圖，，是的中線，，垂足為，，設(shè)，，，請(qǐng)用一個(gè)等式把，，三者之間的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)：______ ．
拓展應(yīng)用
如圖，在長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，若四邊形為“垂美四邊形”，且，求的長(zhǎng)．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：：負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，故A錯(cuò)誤；
：，故B正確；
：，故C正確；
：，故D正確；
故選：．
根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義即可求解．
本題考查算術(shù)平方根和立方根．掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：：是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；
：是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；
：是無(wú)理數(shù)，故是無(wú)理數(shù)，符合題意；
：是整數(shù)，屬于有理數(shù)，不符合題意；
故選：．
無(wú)理數(shù)，也稱為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫作兩整數(shù)之比．若將它寫成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)．
本題考查了無(wú)理數(shù)的識(shí)別，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無(wú)理數(shù)有：類，如等；開方開不盡的數(shù)，如等；具有特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)，如兩個(gè)之間依次增加個(gè)，兩個(gè)之間依次增加個(gè)．3.【答案】 【解析】解：、，不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；
B、不是整數(shù)，所以不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；
C、，，不是整數(shù)，所以不能構(gòu)成勾股數(shù)，不符合題意；
D、，能構(gòu)成勾股數(shù)，符合題意．
故選：．
根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．
此題考查了勾股數(shù)，解答此題要深刻理解勾股數(shù)的定義，并能夠熟練運(yùn)用．4.【答案】 【解析】解：、平方根等于它本身的數(shù)是，故此選項(xiàng)符合題意；
B、帶根號(hào)且開方開不盡的數(shù)是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、立方根等于本身的數(shù)是，，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)平方根、立方根、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)和數(shù)軸的關(guān)系，分別判斷即可．
本題考查了平方根、立方根、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)和數(shù)軸的關(guān)系，熟練掌握這些定義是解題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
則離最近的整數(shù)是，
故選：．
先估算出，然后再比較與的大小即可．
本題考查無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握估算無(wú)理數(shù)大小的方法是解題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：由題意可知，，，
．
設(shè)的長(zhǎng)為，則，
所以．
在直角中，，即，
解得：．
故選：．
設(shè)的長(zhǎng)為，則，故AD在直角中利用勾股定理即可求解．
本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．找到直角三角形，利用勾股定理即可．7.【答案】 【解析】解：的相反數(shù)是．
故答案為：．
直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案．
此題主要考查了相反數(shù)，正確掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：，
的算術(shù)平方根是．
故答案為：．
利用算術(shù)平方根定義計(jì)算即可求出值．
此題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9.【答案】實(shí)數(shù) 【解析】解：實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，
有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)．
故答案為實(shí)數(shù)．
實(shí)數(shù)可分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)分為正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和．
本題主要考查實(shí)數(shù)的有關(guān)概念，掌握并熟練運(yùn)用概念是解本題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：設(shè)它的棱長(zhǎng)是，則
，
．
棱長(zhǎng)是．
故答案為．
由于正方體的體積是棱長(zhǎng)的立方，直接利用立方根的定義即可求得棱長(zhǎng)．
此題主要考查了立方根的性質(zhì)．立方根的性質(zhì)：正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；的立方根是．11.【答案】 【解析】解：設(shè)，，由題意可知，，，
，


，
，
故答案為：．
設(shè)，，由題意可得，，由，可求出，再由可得答案．
本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．12.【答案】或或 【解析】解：如圖，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為：
或或，
故答案為：或或．
根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用網(wǎng)格．13.【答案】解：原式

；
，
，
． 【解析】利用立方根與二次根式的性質(zhì)解答即可；
利用平方根的意義解答即可．
本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，立方根，平方根，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握上述法則與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.【答案】解：如圖，由題意得：，，，
，

在中，由勾股定理得：，
這時(shí)小明離出發(fā)點(diǎn)，
答：這時(shí)小明離出發(fā)點(diǎn)． 【解析】由題意得，，，再由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．15.【答案】，，，， ，相鄰兩個(gè)之間的個(gè)數(shù)逐次加， ，， 【解析】解：，；
有理數(shù)集合：；
故答案為：，，，；
無(wú)理數(shù)集合：相鄰兩個(gè)之間的個(gè)數(shù)逐次加，；
故答案為：，相鄰兩個(gè)之間的個(gè)數(shù)逐次加；
負(fù)實(shí)數(shù)集合：；
故答案為：，．
根據(jù)有理數(shù)的定義解答即可；
根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義解答即可；
根據(jù)負(fù)實(shí)數(shù)的定義解答即可．
本題考查了實(shí)數(shù)的分類，解答此題應(yīng)熟知：實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)；實(shí)數(shù)可分為正數(shù)、負(fù)數(shù)和．16.【答案】解：的立方根是，
，解得．
的算術(shù)平方根是，
，解得，
．
的平方根是，
的平方根是． 【解析】由算術(shù)平方根的含義與立方根的含義可得，，再解方程，從而可得答案．
本題考查的是算術(shù)平方根與立方根的含義，掌握算術(shù)平方根與立方根的含義建立方程是解本題的關(guān)鍵．17.【答案】解：如圖，鈍角即為所求．
如圖，連接，，
可知為等腰直角三角形，，
的面積為，
取的中點(diǎn)，連接，
則，
點(diǎn)即為所求．
 【解析】根據(jù)鈍角三角形的定義按照要求作圖即可．
連接，，可知為等腰直角三角形，面積為，取的中點(diǎn)，連接，則可得．
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．18.【答案】解：在中，，
．
在中，，，
而，
即，
，為直角三角形，
，
；
答：空地的面積為． 【解析】在直角三角形中可求得的長(zhǎng)，由、、的長(zhǎng)度關(guān)系可得三角形為一直角三角形，為斜邊；由此看，四邊形由和構(gòu)成，則容易求出面積．
本題考查了勾股定理及其逆定理的相關(guān)知識(shí)，通過(guò)勾股定理由邊與邊的關(guān)系也可證明直角三角形，這樣解題較為簡(jiǎn)單，求出四邊形的面積是解題關(guān)鍵．19.【答案】解：如圖，，，，
．
答：螞蟻爬行的最短路程為．

如圖，
．
答：飛蟲飛行的最短路程為．
 【解析】畫出正方體的側(cè)面展開圖，即可確定最短路徑；
先確定的長(zhǎng)度，即可根據(jù)勾股定理求解．
本題考查勾股定理與最短路徑問(wèn)題．注意“沿表面爬行”和“沿內(nèi)部飛行”的區(qū)別．20.【答案】解：由題意可知



．
，，，
，，
，
的立方根為． 【解析】根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)先表示，再代入代數(shù)式化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可；
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，，再代入代數(shù)式計(jì)算即可．
本題考查的是實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，算術(shù)平方根的非負(fù)性的應(yīng)用，求解一個(gè)數(shù)的立方根，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．21.【答案】  【解析】解：，
，
則的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，
故答案為：；；


，
，
，
，
．
估算出的范圍即可求得答案；
將兩數(shù)作差后比較與的大小即可．
本題考查估算無(wú)理數(shù)的大小及實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握估算無(wú)理數(shù)大小的方法是解題的關(guān)鍵．22.【答案】證明：，是的中點(diǎn)，
；
解：由知：，
，，是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
解得． 【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三線合一，可以證明結(jié)論成立；
根據(jù)勾股定理，先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法，即可求得的長(zhǎng)．
本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．23.【答案】 【解析】解：，理由如下：
中，，中，，
中，，中，，
，
；
，是的中線，
，，
，
四邊形是垂美四邊形，
由可得：，
，
；
四邊形是矩形，
，，
為的中點(diǎn)，
，
，
四邊形為“垂美四邊形”，
，
，
負(fù)值舍去．
由勾股定理可求，，，，即可求解；
由中線的定義可得，，由四邊形是垂美四邊形，可得：，即可求解；
由矩形的性質(zhì)可求，由垂美四邊形的性質(zhì)可得，即可求解．
本題是四邊形綜合題，考查的是正方形的性質(zhì)，垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握正方形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．

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