重難點07 五種數(shù)列求和方法（核心考點講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點講與練（新高考專用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?重難點07五種數(shù)列求和方法（核心考點講與練）
能力拓展

題型一：等差等比公式法
一、單選題
1．（2022·山西·模擬預(yù)測（理））已知等比數(shù)列的首項為1，若成等差數(shù)列，則的前6項的和為（???????）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列前項和的公式即可得解.
【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為，
因為成等差數(shù)列，
所以，得，
即，解得，
故前6項的和為.
故選：C.
2．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）記等比數(shù)列{}的前n項和為.若，則=（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)條件得到，，從而求出公比，利用求和公式求出答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以公比，
所以
故選：C
3．（2022·山東菏澤·二模）已知數(shù)列中，，且對任意的m，，都有，則下列選項正確的是（???????）
A．的值隨n的變化而變化 B．
C．若，則 D．為遞增數(shù)列
【答案】D
【分析】令，得，故A不正確；再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式可判斷BCD.
【詳解】因為對任意的m，，都有，
所以令，得，故A不正確；
所以，
所以，所以B不正確；
若，則，故C不正確；
，所以為遞增數(shù)列，故D正確.
故選：D.
4．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列的前n項和分別為，，如果關(guān)于x的實系數(shù)方程有實數(shù)解，那么以下2021個方程中，無實數(shù)解的方程最多有（???????）
A．1008個 B．1009個 C．1010個 D．1011個
【答案】C
【分析】設(shè)出兩個等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，要想無實根，要滿足
，結(jié)合根的判別式與基本不等式得到和至多一個成立，同理可證：和至多一個成立，……，和至多一個成立，且，從而得到結(jié)論..
【詳解】由題意得：，
其中，，
代入上式得：，
要想方程無實數(shù)解，則，
顯然第1011個方程有解，
設(shè)方程與方程的判別式分別為和，
則
，
等號成立的條件是a1=a2021.
所以和至多一個成立，同理可證：和至多一個成立，
……，和至多一個成立，且，
綜上，在所給的2021個方程中，無實數(shù)根的方程最多1010個
故選：C
【點睛】對于數(shù)列綜合題目，要綜合所學(xué)，將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為我們熟練的知識點進行解決，比如本題中要結(jié)合根的判別式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式進行求解，屬于難題.
二、多選題
5．（2022·山東棗莊·三模）給出構(gòu)造數(shù)列的一種方法：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)自1，1起進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，2，1，第2次得到數(shù)列1，3，2，3，1，…，第次得到數(shù)列，記，數(shù)列的前n項和為，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】通過計算求出的值，運用歸納法得到之間的關(guān)系，最后根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項和公式進行求解判斷即可.
【詳解】由題意得：，
所以有，因此選項AB不正確；
，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，因此有，因此選項C正確；
，所以選項D正確，
故選：CD
【點睛】關(guān)鍵點睛：通過計算得到是解題的關(guān)鍵.
三、填空題
6．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，則等于___________.
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列通項公式的特征，采用分組求和方法即可求其前2n項的和．
【詳解】∵，
∴的奇數(shù)項是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
偶數(shù)項是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴

=．
故答案為：．
7．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項和，若，，則=_______．
【答案】
【分析】先由求出首項和公差的關(guān)系，再由求和公式求比值即可.
【詳解】是等差數(shù)列，設(shè)公差為，
又，，，
.
故答案為：.
8．（2022·陜西·模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列公差，其前n項和為，若記數(shù)據(jù)的方差為，數(shù)據(jù)的方差為，則___________.
【答案】
【分析】先由題設(shè)得到與的關(guān)系式，再利用具有線性關(guān)系的變量之間的方差公式求得結(jié)果即可．
【詳解】解：由題設(shè)可得：，
又?jǐn)?shù)據(jù)，，，的方差為，數(shù)據(jù)，，，，的方差為，
即，，，，的方差為，
所以，
，
故答案為：4．
9．（2022·河北保定·二模）現(xiàn)有10個圓的圓心都在同一條直線上，從左到右它們的半徑依次構(gòu)成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，從第2個圓開始，每個圓都與前一個圓外切，前3個圓如圖所示，若P，Q分別為第1個圓與第10個圓上任意一點，則的最大值為___________.（用數(shù)字作答）

【答案】2046
【分析】由題意可知，的最大值為這10個圓的直徑之和，然后利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果
【詳解】由題意可知，的最大值為這10個圓的直徑之和，
由等比數(shù)列前項和公式可得，的最大值為.
故答案為：2046
10．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）已知數(shù)列的通項公式則的前項和_____．
【答案】241
【分析】討論、對應(yīng)的通項可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求值即可.
【詳解】當(dāng)且時，
當(dāng)且時，，
所以
.
故答案為：241
四、解答題
11．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，滿足，，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)記，設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）當(dāng)時可求得；當(dāng)時，由與關(guān)系可得，驗證知，由此可證得結(jié)論；
（2）由等比數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到；當(dāng)為奇數(shù)時，由知；當(dāng)為偶數(shù)時，令，可知遞增，得到，知；采用分組求和的方式對奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和，結(jié)合等比和等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.
(1)當(dāng)時，，解得：；
當(dāng)時，由得：，
兩式作差得：，即；
經(jīng)檢驗：，滿足；
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
(2)由（1）得：，；
則當(dāng)為奇數(shù)時，，，；
當(dāng)為偶數(shù)時，；
令，則，
，即，；
.
12．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求的值.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）直接由得，又，即可證明是等比數(shù)列；
（2）先由等比數(shù)列通項公式求出，進而求得，按照分組求和和等比數(shù)列求和公式即可求解.
(1)由可得，故，
又，故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列；
(2)由（1）知：，則，故，
則

.
13．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺的答題競賽包括三項活動，分別為“四人賽”“雙人對戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”.在一天內(nèi)參與“四人賽”活動，每局第一名積3分，第二、三名各積2分，第四名積1分，每局比賽相互獨立. 在一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，每局比賽有積分，獲勝者得2分，失敗者得1分，每局比賽相互獨立. 已知甲參加“四人賽”活動，每局比賽獲得第一名、第二名的概率均為，獲得第四名的概率為；甲參加“雙人對戰(zhàn)”活動，每局比賽獲勝的概率為.
(1)記甲在一天中參加“四人賽”和“雙人對戰(zhàn)”兩項活動（兩項活動均只參加一局）的總得分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)“挑戰(zhàn)答題”比賽規(guī)則如下：每位參賽者每次連續(xù)回答5道題，在答對的情況下可以持續(xù)答題，若第一次答錯時，答題結(jié)束，積分為0分，只有全部答對5道題可以獲得5個積分.某市某部門為了吸引更多職工參與答題，設(shè)置了一個“得積分進階”活動，從1階到
階，規(guī)定每輪答題獲得5個積分進2階，沒有獲得積分進1階，按照獲得的階級給予相應(yīng)的獎品，記乙每次獲得5個積分的概率互不影響，均為，記乙進到階的概率為，求.
【答案】(1)分布列見解析，(2)
【分析】(1)根據(jù)題意列出X所有可能取值，針對每一取值做具體分析，寫出分布列；
(2)根據(jù)題意找出，，之間的關(guān)系，求數(shù)列通項即可.
(1)甲參加“四人賽”時，每局比賽獲得第三名的概率為，
依題意，所有可能的取值為???
，

?????

所以的分布列如表所示

所以；
(2)依題意，，，
“進到階”的情況包括：第一種情況是進到階后下一輪未獲得5個積分，其概率為；第二種情況是進到階后下一輪獲得5個積分，其概率為，兩種情況互斥，所以，
則
所以
又，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，
故

即；
綜上，為E(X)= ，.
14．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校二模）已知等比數(shù)列和遞增的等差數(shù)列滿足，，，.
(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列和數(shù)列中的所有項分別構(gòu)成集合和，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列前63項和.
【答案】(1)(2)6043
【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的基本量列方程求解即可.（2）將的前63項中含數(shù)列中的前5項和前4項兩種情況得的范圍，在結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式即可求解.
(1)設(shè)等比數(shù)列和遞增的等差數(shù)列的公比和公差分別為:，故由，，，可得:解得
故
(2)當(dāng)數(shù)列前63項中含有數(shù)列中4項時，令，此時最多23+3=26項，不符合題意
當(dāng)數(shù)列前63項中含有數(shù)列中5項時，令，且是和的公共項，則前63項中含有數(shù)列中的前5項和的前60，再減去公共的兩項，故
15．（2022·山東菏澤·二模）已知數(shù)列中，它的前n項和滿足．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)已知等式構(gòu)造一個等式,兩式相減，得，再變?yōu)榧纯傻媒猓?br /> （2）利用分組求和法和等比數(shù)列的求和公式可求出結(jié)果.
(1)由①，得②，
由①－②，得，
得，
又當(dāng)時，由①得，
所以對任意的，都有，
故是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
(2)由（1）知，
所以，代入①，得，
所以
．
題型二：裂項相消法
一、單選題
1．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列的前n項和為，，.若對任意且，總有恒成立，則實數(shù)的最小值為（???????）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，再利用裂項相消法求數(shù)列的和，再結(jié)合不等式恒成立即可求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則
由，得，解得，
又，得，解得.
所以，
因為對任意且，總有恒成立，
等價于，且即可.
當(dāng)時，
所以

.
當(dāng)時，，
所以，即.
所以實數(shù)的最小值為.
故選：B.
二、多選題

2．（2022·山東·濟南一中高三階段練習(xí)）如圖所示，這是小朋友們喜歡玩的彩虹塔疊疊樂玩具，某數(shù)學(xué)興趣小組利用該玩具制定如下玩法：在2號桿中自下而上串有由大到小的個彩虹圈，將2號桿中的彩虹圈全部移動到1號桿上，3號桿可以作為過渡使用；每次只能移動一個彩虹圈，且無論在哪個桿上，小的彩虹圈必須放置在大的上方；將一個彩虹圈從一個桿移動到另一桿上記為移動1次，記為2號桿中n個彩虹圈全部移動到1號桿所需要的最少移動次數(shù)，設(shè)．下面結(jié)論正確的是（???????）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】設(shè)1號桿，2號桿，3號桿為①，②，③，然后，寫出，，時的彩虹圈全部移動到1號桿所需要的最少移動次數(shù)，進而可以找到規(guī)律，得到，驗證，進而，可以逐個選項進行判斷
【詳解】設(shè)1號桿，2號桿，3號桿為①，②，③
時，2號桿1個彩虹圈全部移動到1號桿所需要的最少移動次數(shù)為，
彩虹圈移動步驟是：②①；
時，2號桿2個彩虹圈全部移動到1號桿所需要的最少移動次數(shù)為，
彩虹圈移動步驟是：②③，②①，③①；
時，2號桿3個彩虹圈全部移動到1號桿所需要的最少移動次數(shù)為，
彩虹圈移動步驟是：②①，②③，①③，②①，③②，③①，②①；
所以，A是正確的，同理，可以，找出規(guī)律，，，，，，所以，，所以，B是正確的，
又因為
，所以，C錯，
因為，所以，
，
，所以，D正確
故選：ABD
3．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，且，則（???????）
A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項和為
【答案】ABD
【分析】擺動數(shù)列需要分類討論，分別求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，再進行計算.
【詳解】因為，，所以，，
，，故A正確；
當(dāng)時，，，
兩式相減得，，所以的奇數(shù)項是以為首項，4為公差的等差數(shù)列，
故B正確；
當(dāng)時，.
當(dāng)時，，，
兩式相減得，，所以的偶數(shù)項是以5為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以當(dāng)時，；
∵ |，∴不是等差數(shù)列，故C錯誤；
因為，
所以，
設(shè)，則，
所以
，
故D正確；
故選：ABD.
三、填空題
4．（2022·湖北·蘄春縣實驗高級中學(xué)高二期中）高斯函數(shù)也稱為取整函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則______．
【答案】2021
【分析】首先利用裂項得到再化簡，利用裂項相消求和，再利用高斯函數(shù)的定義，即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以．
因為，
所以，所以，
所以，
故．
故答案為：
四、解答題
5．（2022·重慶一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，點在直線上．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，數(shù)列的前項和為，求使得成立的的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）將代入直線方程，可得，利用與關(guān)系可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式推導(dǎo)可得；
（2）由（1）可得，采用裂項相消法可求得，解不等式可求得，由此可得最大值.
(1)點在直線上，，
當(dāng)時，，解得：；
當(dāng)時，，，
即，，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，
.
(2)由（1）得：，
，
由得：，，則，
，則，
使得成立的的最大值為.
6．（2022·江西·模擬預(yù)測（理））各項都為正數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足（n∈N*）．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)求；
(3)設(shè) ，數(shù)列的前n項和為Pn，求使Pn＞46成立的n的最小值．
【答案】(1)an=2n(2)(3)48
【分析】（1）由（n∈N*），利用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系求解；
（2）由（1）得到，然后利用利用裂項相消法求解；
（3）由（1）得到，再分n為偶數(shù)和奇數(shù)求解.
(1)解：因為（n∈N*）①，
當(dāng)n=1時，解得；
當(dāng)n≥2時，②；
①-②得：，
整理得，
所以或，
因為數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以舍去，
所以，
所以數(shù)列{an}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；
所以an=2+2（n-1）=2n；
(2)由于an=2n，
所以，
故，
所以．
(3)由（1）得：，
所以當(dāng)n為偶數(shù)時，；
n的最小值為48；
當(dāng)n為奇數(shù)時，，
不存在最小的n值．故當(dāng)n為48時，滿足條件．
7．（2022·江蘇鹽城·三模）已知正項等比數(shù)列滿足，請在①，②，③，，中選擇一個填在橫線上并完成下面問題：
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，的前和為，求證：．
【答案】(1)選擇見解析；(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和通項公式代入求解；
（2）利用裂項相消求和，注意．
(1)因為為正項等比數(shù)列，又，
選①，，所以；
選②，，所以；
選③，，所以，∴；
又，
∴，則．
(2)因為，
所以
．
8．（2022·江西九江·三模（文））已知數(shù)列的前項和為，且滿足，．
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）當(dāng)時可求得，由與關(guān)系，結(jié)合的值可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可求得結(jié)果；
（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式，采用裂項相消法可求得結(jié)果.
(1)當(dāng)時，，即，解得：；
當(dāng)時，由得：，，
又，滿足，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
.
(2)由（1）得：，
數(shù)列的前項和為：.
9．（2022·山東棗莊·三模）已知正項數(shù)列的前項和為，且、、成等比數(shù)列，其中．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得，令可求得的值，令，由可得，兩式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，利用等差數(shù)列的通項公式可求得的通項公式；
（2）求出，可求得，利用分組求和法結(jié)合裂項相消法可求得.
(1)解：對任意的，，由題意可得.
當(dāng)時，則，解得，當(dāng)時，由可得，
上述兩個等式作差得，即，
因為，所以，，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為，公差為，則.
(2)解：，
則，
因此，.
10．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知遞增的等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列滿足：，其中為的前n項和．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的前n項和，是否存在實數(shù)，使得不等式對一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)，(2)存在，
【分析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)成等比數(shù)列，由求解，由，利用數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系求解；
得，
（2）由（1），得到，，利用裂項相消法求得，再由不等式對一切恒成立求解.
(1)解：設(shè)的公差為，
則，
所以．
當(dāng)時，；
當(dāng)時，由，
得，
兩式相減得：，
所以是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，
所以
(2)，顯然，
所以，
由得

，
故，
．
顯然恒成立，且當(dāng)時，，
所以存在唯一實數(shù)．
11．（2022·河南·高二期中（文））已知正項等比數(shù)列的公比大于1，其前n項和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）由等比數(shù)列的基本量法和前項和定義列出關(guān)于公比和首項的方程組求得和，得通項公式；
（2）求出，用裂項相消法求和．
(1)設(shè)公比為，則題意得，因為，故解得，
所以；
(2)由（1），，
所以．
12．（2022·天津和平·二模）已知數(shù)列的前n項和為滿足.數(shù)列滿足，且満足
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足；求
(3)，數(shù)列的前項和為，求證：.
【答案】(1)，；(2)；(3)證明見解析.
【分析】（1）由與的遞推關(guān)系得出為等比數(shù)列求解，由為等差數(shù)列求通項公式；
（2）分是奇數(shù)、偶數(shù)，分組求和即可得解；
（3）利用放縮法及裂項相消求和證明即可.
(1)，時，
時，，
，即，是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，，
由題可知，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
，.
(2)，
(i) n為偶數(shù)時，

，
(ii) n為奇數(shù)時，
，

(3)，
，
(i)右式證明：，

(ii)左式證明：

綜上得證.

題型三：錯位相減法
一、單選題
1．（2022·江西鷹潭·二模（理））若正整數(shù)、只有為公約數(shù)，則稱、互質(zhì).對于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個數(shù).函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說法正確的是（?? ?????）
A．
B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．
D．?dāng)?shù)列的前項和為，則
【答案】D
【分析】利用題中定義可判斷A選項；利用特殊值法可判斷B選項；求出的值，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷C選項；計算出，利用錯位相減法可求得，可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，在不超過的正整數(shù)中，與互質(zhì)的正整數(shù)有：、、、，故，A錯；
對于B選項，因為，，，顯然、、不成等差數(shù)列，B錯；
對于C選項，為質(zhì)數(shù)，在不超過的所有正整數(shù)中，能被整除的正整數(shù)的個數(shù)為，
所有與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)為，所以，，
因此，，C錯；
對于D選項，因為為質(zhì)數(shù)，在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為，
所以，，所以，，
則，
所以，，
上述兩個不等式作差可得，
所以，，D對.
故選：D.
2．（2022·廣東·三模）在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，（互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項和，則=（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)定義得出，然后由錯位相減法求得和，從而可得．
【詳解】因為與互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，則，
于是①，
②，
由①-②得，
則.于是.
故選：A．
3．（2022·江西·二模（理））記數(shù)列中不超過正整數(shù)n的項的個數(shù)為，設(shè)數(shù)列的前n項的和為，則等于（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先由定義判斷出當(dāng)時，，再變形得到，
再按照錯位相減法求和，即可求解
【詳解】，
當(dāng)時，，
所以
，
記，，
兩式相減得，
化簡得，
所以．
故選：B.
二、多選題
4．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項和為，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求得數(shù)列的通項公式和前n項和公式，再去驗證選項即可解決.
【詳解】由，
可得：，，，，，
則
即，則，又時也成立，所以
故選項B判斷正確；
由，可知選項A判斷正確；
令
則2
兩式相減得

故選項D判斷正確；
由，可得選項C判斷錯誤.
故選：ABD
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前項和為，數(shù)列為，….其構(gòu)造方法是:首先給出，接著復(fù)制該項后，再添加其后繼數(shù)，于是，得;然后再復(fù)制前面所有的項，再添加的后繼數(shù)于是，得;接下來再復(fù)制前面所有的項，再添加的后繼數(shù)于是，得前項為.如此繼續(xù)下去，則使不等式成立的的值不可能為（???????）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)題意可得，然后采用錯位相減法求得，進而求得答案.
【詳解】由的構(gòu)造方法﹐易知，，…，一般地﹐有，即數(shù)首次出現(xiàn)于第項﹐由的構(gòu)造方法知，數(shù)列的前各項中，恰有個個個，…，個，… ，個.所以，，①
故，②
根據(jù)式①②得，
因為所以的最小的值為.
故選：AB.
6．（2021·江蘇·高三階段練習(xí)）設(shè)和分別為數(shù)列和的前n項和.已知，，則（???????）
A．是等比數(shù)列 B．是遞增數(shù)列
C． D．
【答案】ACD
【分析】由已知結(jié)合的關(guān)系及等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列即可確定A、C正誤，應(yīng)用作差法比較的大小關(guān)系判斷B正誤，利用錯位相減法求，再由作差法判斷的大小判斷D.
【詳解】由，當(dāng)時，，即，又，
∴，即，
∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，A正確；
由，則，即是遞減數(shù)列，B錯誤；
又，則，C正確；
①，②，
①-②得：，
∴，則，
∴，D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用及等比數(shù)列的定義求的通項公式，綜合運用作差法、錯位相減法比較大小判斷數(shù)列單調(diào)性、求前n項和，進而判斷各選項的正誤.
三、填空題
7．（2022·山東聊城·二模）已知數(shù)列，當(dāng)時，，則數(shù)列的前
項的和為______．
【答案】
【分析】分別取、、、時，滿足的項數(shù)，計算得出，利用錯位相減法可求得數(shù)列的前項的和.
【詳解】當(dāng)時，，共項，
當(dāng)時，，共項，
當(dāng)時，，共項，

當(dāng)時，，共項，又因為，
所以，數(shù)列的前項的和為，
記，
則，
上述兩個等式作差可得，
所以，，
因此，數(shù)列的前項的和為.
故答案為：.
8．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，且，則______.
【答案】,
【分析】由遞推關(guān)系分析得到數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列，求得其通項公式，然后得到數(shù)列的通項公式，進而利用錯位相減求和法求得結(jié)果.
【詳解】∵，∴，
又∵，∴，∴數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列，
∴，∴,
∴，
∴，
兩式相減得：
,
∴,
故答案為：,
9．（2022·天津市第四中學(xué)模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，公比，，，數(shù)列滿足且，.
（1）則___________；___________；
（2）將和中的所有項按從小到大的順序排列組成新數(shù)列，則數(shù)列的前50項和___________；
（3）設(shè)數(shù)列的通項公式為：，，則___________.
【答案】???? ???? ???? ????
【分析】（1）根據(jù)已知條件作差得到的值，代回的關(guān)系式可得的值，即可得到等比數(shù)列的通項公式；由題可判斷數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)兩個等式求出、的值，即可求解；
（2）由（1）可知數(shù)列為由開始的連續(xù)的自然數(shù)，則需找到數(shù)列的前項，可先用與比較大小，判斷出有項，有項，再利用分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式即可求解；
（3）由題，所求和的項數(shù)為偶數(shù)，則可先求得，再把連續(xù)2項作為一組，利用錯位相減法即可求解.
【詳解】（1）由題，，，兩式作差可得，即，
因為，則，又，解得，
所以，解得，所以.
因為，故數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列的公差為，
由于，可得，，所以，
所以；
（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以數(shù)列的前項中，有項，有項，
所以；
（3）由（1），，，

設(shè)，即，
則，
則，
則，
兩式作差可得
即，
故.
四、解答題
10．（2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列中，公差，，是與
的等比中項，設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求數(shù)列與的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）對于等差數(shù)列直接列方程求解，數(shù)列根據(jù)求解；
（2）利用錯位相減法可得，根據(jù)題意討論得：當(dāng)是奇數(shù)時，；當(dāng)是偶數(shù)時，，再通過定義證明數(shù)列的單調(diào)性，進入確定相應(yīng)情況的最值．
(1)∵
則，解得或（舍去）
∴.
又∵，
當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，則，即，
則數(shù)列是以首項，公比為的等比數(shù)列，
∴.
(2)，
，

兩式相減得：

∴
∵對任意的恒成立，即對任意的恒成立
①當(dāng)是奇數(shù)時，任意的'恒成立
∴對任意的恒成立
②當(dāng)是偶數(shù)時，對任意的恒成立
∴對任意的恒成立
令，對任意的恒成立
∴為遞增數(shù)列
①當(dāng)是奇數(shù)時，則，即
②當(dāng)是偶數(shù)時，則
∴.
11．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前項和為，，且，，成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由等差數(shù)列定義知，分別代入可求得，由此可猜想得到；利用數(shù)學(xué)歸納法可證得滿足題意；
（2）由（1）可得，采用錯位相減法可求得.
(1)，，成等差數(shù)列，；
當(dāng)時，，解得：（舍）或，；
當(dāng)時，，解得：（舍）或，；
當(dāng)時，，解得：（舍）或，；
由此可猜想得：；
當(dāng)時，滿足；
假設(shè)當(dāng)時，成立，
則當(dāng)時，，又，
，
即，整理可得：，
又，，即成立；
綜上所述：.
(2)由（1）得：；
，
，
，
.
12．（2022·山東臨沂·二模）已知數(shù)列的前n項和為，，．
(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1).(2).
【分析】（1）根據(jù)題中給出得遞推關(guān)系式，以及，即可求解數(shù)列的通項公式；
（2）將數(shù)列的通項公式帶入數(shù)列，進行化簡，利用錯位相減法進行求解.
(1)由得，
∴，
∴.
又，，∴，整理得.
∴數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列的通項公式為：.
(2)由（1）得，∴.
∴，
即，
，
兩式相減，得，
∴.
13．（2022·山西·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)證明是等比數(shù)列；
(2)求的前項和．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）代入可得；當(dāng)時，由與關(guān)系可推導(dǎo)得到，由等比數(shù)列定義可得結(jié)論；
（2）由等比數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到，進而得到，采用分組求和法和錯位相減法可求得結(jié)果.
(1)當(dāng)時，，解得：；
當(dāng)時，，，
即，又，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
(2)由（1）得：，，；
，
令，
則，
，，
.
14．（2022·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和；
(3)求證：.
【答案】(1)，(2)(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，可得，，即可求得的通項公式；當(dāng)時，得到，當(dāng)時，利用，可判斷為首項為3，公比為3的等比數(shù)列，即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法求解即可；
（3）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式可得.
方法一：由可得，利用錯位相減法求得，進而證明；
方法二：結(jié)合二項式定理可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，再利用錯位相減法求解，即可證明；
方法三：用分析法證明，再結(jié)合等比數(shù)列的前項和證明即可.
(1)數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
，
化簡得，
解得，，
∴，.
由已知，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，
∴，，
即，
∴數(shù)列構(gòu)成首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴，.
(2)由（1）可得，，
∴，
∴

(3)由（1）可得，，
則，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴，
∴
方法二：
∵時，
，
根據(jù)“若，，則”，可得，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴
∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法證明“”
要證，即證，
即證，
即證，
當(dāng)，顯然成立，
∴，
∴

【點睛】證明數(shù)列不等式，放縮法是其中一種重要的方法，放縮的目的是為了轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，等比數(shù)列及相關(guān)數(shù)列，則可利用公式進行求解，需注意放縮的范圍不能過大.
題型四：分組（幷項）求和法
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時，的最大值是（???????）．
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的通項公式求出和的通項公式，再求出數(shù)列的通項公式，再根據(jù)分組求和求出，再解不等式，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以．
因為是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，
所以
所以

．
因為，所以，
當(dāng)時，，不適合題意，
當(dāng)時，，適合題意，
所以當(dāng)時，的最大值是．
故選：A.
2．（2022·江蘇南京·高三開學(xué)考試）若(2x＋1)(22x＋1)(23x＋1)…(2nx＋1)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，則下列說法正確的是（???????）
A．a(chǎn)n＝2(n∈N*)
B．{－1}(n∈N*)為等差數(shù)列
C．設(shè)bn＝a1，則數(shù)列為等差數(shù)列
D．設(shè)bn＝a1，則數(shù)列{bn}的前n項的和為
【答案】D
【分析】對于A：直接求出，即可判斷；
對于B：分別求出和，再求出，即可判斷；
對于C：求出，可以求出，即可否定結(jié)論；
對于D：由，利用分組求和法求出{bn}的前n項的和即可.
【詳解】
對于A：an為xn項的系數(shù)，需要每一個括號里都取x，則.故A錯誤；
對于B：由上面推導(dǎo)可得：，.
所以，所以{－1}(n∈N*)為等比數(shù)列，不是等差數(shù)列.故B錯誤；
對于C：，所以，所以，所以，所以，即數(shù)列不是等差數(shù)列.故C錯誤；
對于D：，所以數(shù)列{bn}的前n項的和.
故D正確.
故選：D
3．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，（，），是數(shù)列的前項和，則（???????）
A．508 B．506 C．1011 D．1009
【答案】C
【分析】由所給的條件，尋找規(guī)律，分組求和即可.
【詳解】由得：
，，，，，……，，

???，
???；
故選：C.
二、多選題
4．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的前n項和，若，使，則（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
【分析】計算出，將用和表示，分類討論即可.
【詳解】
= ，
由題意 ???，
顯然，
由題意可知，的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為遞增的，并且，
當(dāng) 時，，
所以t只能是1，2，3，
若t=1，則有???，
???，無解,m 不存在；
若t=2，則，，
若t=3，則，
故t=2或3；
故選：BC.
5．（2021·廣東·新會陳經(jīng)綸中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項和，則（???????）
A． B．
C． D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
【答案】ABC
【分析】由遞推關(guān)系，得，兩式　相除可得數(shù)列的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項也成等比數(shù)列，但整個數(shù)列不是等比數(shù)列，易得，由，用分組求和法計算．從而判斷各選項，得正確結(jié)論．
【詳解】，則，兩式相除得，
又，，，所以，
由，知數(shù)列的奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項也成等比數(shù)列，公比都是2，
，，，
，
所以，
，，不是等比數(shù)列，
故選：ABC．
6．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，，前n項的和為Sn，則（???????）A．的最大值為1 B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．
【答案】ABD
【分析】對于A：當(dāng)n=2時，有，對分正負(fù)進行討論，利用基本不等式求出的最大值；
對于B、C：利用等差數(shù)列的定義進行判斷；
對于D：利用分組求和法直接求出，即可判斷.
【詳解】對于A：當(dāng)n=2時，有，若時，由基本不等式可得：（時取等號），所以；若中有一個為0或負(fù)值時，；若時，不可能成立；故的最大值為1.故A正確；
對于B：數(shù)列中，，
當(dāng)n為奇數(shù)時，有，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；
對于C：當(dāng)n為偶數(shù)時，有，只有時，數(shù)列是等差數(shù)列，否則數(shù)列不是等差數(shù)列，故C不正確；
對于D：.
故D正確.
故選：ABD
三、填空題
7．（2022·云南昆明·模擬預(yù)測（理））記數(shù)列的前項和為，則__________．
【答案】.
【分析】由式子可知，的最小正周期，驗證對，都有的值一個定值，求出，又由即可求解.
【詳解】設(shè)，可知的最小正周期，
令（，），則
當(dāng)時，則；
當(dāng)時，則；
當(dāng)時，則；
當(dāng)時，則；
當(dāng)時，則；
當(dāng)時，則；
當(dāng)時，則；
當(dāng)時，則.
對于，都有,
所以
即
則
又，所以；
故答案為：.
【點睛】本題考查了利用數(shù)列周期性求和的問題，解題的關(guān)鍵在于求出數(shù)列的周期，進行簡化求和的運算；本題觀察數(shù)列通項公式中猜想數(shù)列的周期，并驗證周期的數(shù)值，涉及到三函函數(shù)的運算，綜合性一般，需要較強的邏輯推理.
8．（2022·新疆·三模（理））設(shè)為數(shù)列的前n項和，，，，則___________.
【答案】12
【分析】由遞推關(guān)系證明數(shù)列具有周期性，利用組合求和法求和即可.
【詳解】因為，所以，，又，，
所以，，
因為，所以，
所以，
所以，
，
所以，
故答案為：12.
9．（2022·云南昆明·模擬預(yù)測（文））數(shù)列的前10項和等于___________．
【答案】
【分析】根據(jù)分組求和法和等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.
【詳解】數(shù)列的前10項和等于

.
故答案為：.
四、解答題
10．（2022·河北滄州·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，滿足.
(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，證明：.
【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析
【分析】（1）利用定義法證明出是公比為2的等比數(shù)列，再求出；
（2）先判斷出當(dāng)n為偶數(shù)時，.對n分奇偶討論，分別分組求和及放縮后可以證明出.
(1)，
，即，
，
數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.
又，，，
，
，
，
即.
(2)由(1)，當(dāng)n為偶數(shù)時，
，
故.
當(dāng)n為奇數(shù)時， .
當(dāng)n為偶數(shù)時，
.
綜上，.
11．（2023·福建漳州·三模）已知等差數(shù)列{}的前n項和為，且
(1)求{}的通項公式：
(2)若數(shù)列滿足，求的前10項和．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列{}的公差，再根據(jù)已知列出方程組，求出公差及首項即可.
（2）由（1）求出，利用并項求和計算作答.
(1)設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，由得，，解得，
由得，，則有，，
所以{}的通項公式是.
(2)由（1）知，，則
所以數(shù)列的前10項和為.
12．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前9項的和．
（注：表示不超過x的最大整數(shù)）
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據(jù)所給的條件列方程即可求解；
（2）根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分別求出求和即可.
(1)設(shè)的公差為d，的公比為q，
由得，
而，，解得，，
于是得，，
所以數(shù)列和的通項公式分別為，；
(2)由（1）知，，則有，
依題意，=2926，
綜上，，， .
13．（2022·河南洛陽·三模（理））已知正項數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足且.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根據(jù)，可求出的通項公式，由此可得，在根據(jù)遞推公式可得，在分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，可求出數(shù)列的通項公式；
（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，利用分組求和結(jié)合等比數(shù)列前和公式，即可求出結(jié)果.
(1)解：因為，①
當(dāng)時，，即，
又，所以或（舍去）
當(dāng)時，，②
所以①-②，，
因為，所以，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，即，
所以，
當(dāng)時，，又，所以，
當(dāng)時，，
兩式相除可得，
所以當(dāng)為奇數(shù)時，，
當(dāng)為偶數(shù)時，,
，
(2)解：當(dāng)為偶數(shù)時，
；
當(dāng)為奇數(shù)時，
所以.
14．（2022·湖北·荊門市龍泉中學(xué)二模）已知數(shù)列的前項和為，且
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)，求數(shù)列的前項和；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知得，兩者作差可得，則可判斷數(shù)列為等比數(shù)列，即可求其通項公式；
（2）利用分組求和的方法求和即可.
(1)在數(shù)列中，由可知，
兩式作差可得，即，
當(dāng)時，，，即，，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
即；
(2)由（1）知，
所以

.
15．（2022·山東濱州·二模）已知公差為d的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)令，抽去數(shù)列的第3項、第6項、第9項、……、第3n項、……余下的項的順序不變，構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）由題意，列出關(guān)于公差與公比的方程組，求解方程組，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式即可得答案；
（2）由（1）可得，然后分和進行討論，利用分組求和法及等比數(shù)列的前n項和公式即可求解.
(1)解：由題意，，整理得，解得或，
因為公比，所以，則，
所以，；
(2)解：由（1）可得，
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，，
綜上，.
題型五：倒序相加法
一、單選題
1．（2022·湖南岳陽·二模）德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知某數(shù)列通項，則（???????）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】C
【分析】觀察要求解的式子，根據(jù)給的數(shù)列的通項公式，計算是否為定值，然后利用倒序相加的方法求解即可.
【詳解】由已知，數(shù)列通項，所以，
所以，
所以.
故選：C.
2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足對、，都有成立，，函數(shù)，記，則數(shù)列的前項和為（???????）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】推導(dǎo)出數(shù)列是首項和公差均為的等差數(shù)列，可求得，分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，利用函數(shù)的對稱性可求得結(jié)果.
【詳解】令，可得，即，故數(shù)列是首項和公差均為的等差數(shù)列，
所以，，，可得，則，
，
，
故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，
，且，
故數(shù)列的前項和滿足.
因此，.
故選：C.
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于函數(shù)，時，，則函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱．探究函數(shù)圖象的對稱中心，并利用它求的值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件探求和為1的兩個自變量對應(yīng)函數(shù)值的和即可借助倒序相加得解.
【詳解】因，
令，
則，
兩式相加得：，解得，
所以的值為2021.
故選：D
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在進行的求和運算時，德國大數(shù)學(xué)家高斯提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列滿足，則（???????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用倒序相加法得到，得到答案.
【詳解】依題意，記，
則，
又，兩式相加可得
，
則.
故選：B．
二、多選題
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.可以證明，任意三次函數(shù)都有“拐點”和對稱中心，且“拐點”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題，其中正確命題是（???????）
A．存在有兩個及兩個以上對稱中心的三次函數(shù)
B．函數(shù)的對稱中心也是函數(shù)的一個對稱中心
C．存在三次函數(shù)，方程有實數(shù)解，且點為函數(shù)的對稱中心
D．若函數(shù)，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題干中三次函數(shù)的對稱中心的定義與性質(zhì)判斷A,C選項；求出的對稱中心，可以驗證此點是的一個對稱中心，即可判斷B；求出函數(shù)的對稱中心，可得，進而求得進而判斷出D.
【詳解】解：對于A.設(shè)三次函數(shù)，
易知是一次函數(shù)，∴任何三次函數(shù)只有一個對稱中心，故A不正確；
對于B.由，得，由，得，函數(shù)的對稱中心為，
又由，得，∴的對稱中心是函數(shù)的一個對稱中心，故B正確；
對于C.設(shè)三次函數(shù)，
所以
聯(lián)立得，
即當(dāng)時，存在三次函數(shù)，方程有實數(shù)解，且點為函數(shù)的對稱中心，故C正確.
對于D.∵，∴，
令，得，∵，
∴函數(shù)的對稱中心是，∴，
設(shè)，所以所以
，故D正確.
故選:BCD.
三、填空題
6．（2022·四川遂寧·三模（文））德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是______.
【答案】
【分析】根據(jù)題意先求，然后利用倒序相加法求，則由可得，求出的最小值即可求得的取值范圍
【詳解】因為，
所以，
由，
，
所以，所以，
所以由，得，
，
，
所以，
令，（）則當(dāng)，遞減，當(dāng)時，遞增，
因為，
所以，
所以，
即的取值范圍是，
故答案為：
7．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（理））已知函數(shù)，等差數(shù)列滿足，則__________．
【答案】
【分析】利用倒序相加法求得正確答案.
【詳解】.
依題意是等差數(shù)列，
令，
，
結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，兩式相加得.
故答案為：
8．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）設(shè)函數(shù)，定義，其中，，則______.
【答案】0
【分析】由函數(shù)的解析式可得，由倒序相加法可得答案.
【詳解】由題意，
所以
由???????①
則???②
由①+②得
所以
故答案為：0
9．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則________.
【答案】
【分析】可令，，利用倒序相加法，將角度之和為的兩項結(jié)合（如化簡整理即可．
【詳解】解：，

，
令，①
，②
①②得：，
，即．
故答案為：.
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，2，3，，，圓，圓，若圓平分圓的周長，則數(shù)列的所有項的和為___．
【答案】4032
【分析】根據(jù)兩圓的關(guān)系求出兩圓的公共弦，求出圓的圓心，得到，利用倒序相加法即可求得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意知，圓與圓相交，設(shè)交點為，，
圓，圓，
相減可得直線的方程為：
圓平分圓的周長，直線經(jīng)過圓的圓心，
，即，

的所有項的和為．
故答案為：4032．
【點睛】方法點睛：求數(shù)列和常用的方法：
（1）等差等比數(shù)列：分組求和法；（2）倒序相加法；
（3）（數(shù)列為等差數(shù)列）：裂項相消法；
（4）等差等比數(shù)列：錯位相減法.
四、解答題
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的值；
(3)令，求數(shù)列的前2020項和.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由題意可得：，由即可求解；
（2）求出的表達式，由指數(shù)的運算即可求解；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，利用倒序相加法即可求解.
(1)因為點均在函數(shù)的圖象上，
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，適合上式，所以.
(2)因為，所以，
所以.
(3)由（1）知，可得，
所以，①
又因為，②
因為，
所以①②，得，
所以.
12．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則值是多少？.
【答案】
【分析】先證明，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，繼而可得，倒序相加法即可得解.
【詳解】因為，
所以.
因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，
即.

設(shè) ①，
又＋…＋ ②，
①+②，得，所以.
13．（2012·江西宜春·高三階段練習(xí)（理））設(shè)、是函數(shù)的圖象上任兩點，且，已知點橫坐標(biāo)為，
（1）求點的縱坐標(biāo)；
（2）若，其中且，求．
（3）已知，其中，為數(shù)列的前項和，若對一切都成立，求取值范圍．
【答案】（1）；（2）（3）.
【分析】（1）由題設(shè)條件知是的中點，由中點坐標(biāo)公式可以求出點的縱坐標(biāo)（2）由（1）知，利用倒序相加法即可求（3）分離參數(shù)之后，求不含參數(shù)這一邊的最值即可求得的取值范圍
【詳解】（1）
；
（2）由（1）知，

兩式相加得到
（3）當(dāng)時，，
又時，也適合．
故，

即
而，（時“=”成立）
故

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