2024省牡丹江一中高二上學(xué)期10月月考試題數(shù)學(xué)含解析

這是一份2024省牡丹江一中高二上學(xué)期10月月考試題數(shù)學(xué)含解析，共24頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?2022級(jí)高二學(xué)年上學(xué)期10月份月考
數(shù) 學(xué) 試 卷
考試時(shí)間：120分鐘 分值：150分
一、單選題（每小題5分，有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1. 過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
2. 直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A. B. ∪
C. D.
3. 設(shè)橢圓，的離心率分別為，，若，則（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
4. “”是“方程表示橢圓”的（ ）
A 充要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件
5. 已知雙曲線 的左焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為為線段的 中點(diǎn)，則（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
7. 已知點(diǎn)滿足方程，點(diǎn)．若斜率為斜率為，則的值為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題（每小題5分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分，選項(xiàng)不全得2分）
9. 下列結(jié)論不正確的是（ ）．
A. 過點(diǎn)，的直線的傾斜角為
B. 直線恒過定點(diǎn)
C. 直線與直線之間的距離是
D. 已知，，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是5
10. 設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（　　）
A. 不論k如何變化，圓心始終在一條直線上
B. 所有圓均不經(jīng)過點(diǎn)
C. 經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)
D. 所有圓的面積均為4
11. 設(shè)曲線方程為，下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A. 由曲線圍成的封閉圖形的面積為
B. 滿足曲線的方程的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）有5個(gè)
C. 若，是曲線上的任意兩點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間的距離最大值為
D. 若是曲線上的任意一點(diǎn)，直線l：，則點(diǎn)到直線的距離最大值為
12. 已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則以下說法正確的是（ ）
A. 離心率的取值范圍為
B. 不存在點(diǎn)，使得
C. 當(dāng)時(shí)，的最大值為
D. 最小值為1
三、填空題（每小題5分）
13. 已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.
14. 與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率為的雙曲線方程為______．
15. 設(shè)點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最大值為____．
16. 古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿足，則的最小值為___________.
四、解答題（共6道，滿分70分，10+12+12+12+12+12）
17. （1）求兩條平行直線與間的距離；
（2）若直線與直線垂直，求的值.
18. 直線l過點(diǎn)，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若，求直線l的方程；
（2）當(dāng)?shù)拿娣e為6時(shí)，求直線l的方程.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓.設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)垂直于的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
20. 黨的二十大報(bào)告提出要加快建設(shè)交通強(qiáng)國(guó).在我國(guó)萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^座，總長(zhǎng)接近赤道長(zhǎng)度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時(shí)候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學(xué)生學(xué)過圓的知識(shí)后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)計(jì)了一個(gè)圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為米，洞門最高處距路面米.

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓弧的方程.
（2）為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學(xué)進(jìn)一步優(yōu)化了設(shè)計(jì)方案，在路中間建立了米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長(zhǎng)方體狀，寬米，高米，則此貨車能否通過該洞門?并說明理由.

21. 已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點(diǎn)）交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線過時(shí)，周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求的值，并求當(dāng)面積為時(shí)，直線的方程．
22. 已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過動(dòng)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，過作直線，使與直線垂直，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

2022級(jí)高二學(xué)年上學(xué)期10月份月考
數(shù) 學(xué) 試 卷
考試時(shí)間：120分鐘 分值：150分
一、單選題（每小題5分，有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1. 過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】可以分截距都為零和截距不為零兩種情況進(jìn)行考慮，截距為零，直線過原點(diǎn)，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，設(shè)出方程求解即可；也可以設(shè)出方程，求出截距，進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解法一 當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，此時(shí)直線方程為，即；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，
因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，
解得，此時(shí)直線方程為.
故選：
解法二 易知直線斜率不存在或直線斜率為0時(shí)不符合題意.
設(shè)直線方程為，
則時(shí)，，時(shí)，，
由題意知，
解得或，即直線方程為或.
故選：
2. 直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍為（ ）
A. B. ∪
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意先求出直線的斜率，再由斜率與傾斜角可求得答案.
【詳解】直線l的斜率，
因?yàn)?，所以?br /> 設(shè)直線l的傾斜角為，則，
因?yàn)椋曰颍?br /> 所以直線l的傾斜角的取值范圍是
故選：D.
3. 設(shè)橢圓，的離心率分別為，，若，則（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)離心率的關(guān)系列方程，從而求得.
【詳解】對(duì)于橢圓，有.
因?yàn)?，所以，解得?br /> 故選：B
4. “”是“方程表示橢圓”的（ ）
A. 充要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分不必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】等價(jià)于.
若，則方程表示單位圓
若方程表示橢圓，則橢圓方程可化為，
則且.
故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.
故選：B.
5. 已知雙曲線 的左焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為為線段的 中點(diǎn)，則（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)右焦點(diǎn)為，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)的周長(zhǎng)為得到，然后利用三角形中位線求解.
【詳解】解：因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，
所以，
又因?yàn)?，
則 ，
又因?yàn)?，
則 ，
所以為坐標(biāo)原點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，
所以，
故選：B
6. 已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依題意得點(diǎn)的軌跡是以焦距為直徑的圓,因此,進(jìn)而可求出離心率的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?
所以點(diǎn)的軌跡是以焦距為直徑的圓,
又滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,
∴,
故選:B
【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓離心率的求法,結(jié)合了向量,軌跡等相關(guān)知識(shí),難度不大.
7. 已知點(diǎn)滿足方程，點(diǎn)．若斜率為斜率為，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，根據(jù)題意分析可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，結(jié)合橢圓方程運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)，
則，可得，
即點(diǎn)在以為焦點(diǎn)橢圓上，且，
所以點(diǎn)的軌跡為，整理得，
由題意可知：，
所以.
故選：A.
8. 已知，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先對(duì)所求式子配方整理，把問題轉(zhuǎn)化為，求直線上一點(diǎn)，到直線同側(cè)的兩點(diǎn)間的距離之和的最小值，就是將軍飲馬求最值問題，先對(duì)其中一點(diǎn)作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)一步把問題轉(zhuǎn)化為，求兩點(diǎn)間的距離，求解即可.
【詳解】
該式子是表示點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和，
又，
上述式子表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值（如圖）.

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則有，解得，即，
所以，
所以直線上的點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)的距離之和的最小值為.
故選：D.
二、多選題（每小題5分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分，選項(xiàng)不全得2分）
9. 下列結(jié)論不正確的是（ ）．
A. 過點(diǎn)，的直線的傾斜角為
B. 直線恒過定點(diǎn)
C. 直線與直線之間的距離是
D. 已知，，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是5
【答案】ABC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，求出過點(diǎn)，的直線的斜率，進(jìn)而得到傾斜角不為；B選項(xiàng)，變形后得到方程組，求出恒過點(diǎn)；C選項(xiàng)，直線變形為，利用兩平行線間距離公式求出答案；D選項(xiàng)，在坐標(biāo)系中畫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性求出的最小值.
【詳解】A選項(xiàng)，過點(diǎn)，的直線的斜率為，
設(shè)直線傾斜角為，則，由于，
故過點(diǎn)，的直線的傾斜角不為，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，直線變形得到，
令，解得，
故直線恒過點(diǎn)，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，直線變形為，
故與直線之間的距離是，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出，，兩點(diǎn)都在軸上方，
畫出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸交于點(diǎn)，
則即為最小值，
則，D正確.

故選：ABC
10. 設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（　?。?br /> A. 不論k如何變化，圓心始終在一條直線上
B. 所有圓均不經(jīng)過點(diǎn)
C. 經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)
D. 所有圓的面積均為4
【答案】AB
【解析】
【分析】對(duì)于AD：由題意可知：圓，的圓心，半徑，進(jìn)而分析判斷；對(duì)于CD：分別將點(diǎn)，代入方程，通過解的個(gè)數(shù)分析判斷.
【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑.
對(duì)于選項(xiàng)A：不論k如何變化，圓心始終在直線上，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：令，整理得，
因?yàn)?，可知方程無解，
所以所有圓均不經(jīng)過點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：令，整理得，
因?yàn)椋芍匠逃袃蓚€(gè)不同的解，
所以經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有兩個(gè)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榘霃?，所以所有圓的面積均為，故D錯(cuò)誤；
故答案為：AB.
11. 設(shè)曲線的方程為，下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A. 由曲線圍成的封閉圖形的面積為
B. 滿足曲線的方程的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）有5個(gè)
C. 若，是曲線上的任意兩點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間的距離最大值為
D. 若是曲線上的任意一點(diǎn)，直線l：，則點(diǎn)到直線的距離最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，作出曲線的圖象，再數(shù)形結(jié)合依次討論各選項(xiàng)求解即可．
【詳解】對(duì)于曲線，當(dāng)，時(shí)，曲線表示，即，
表示以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分；
當(dāng)，時(shí)，曲線表示，即，
表示以為圓心，半徑為的圓在第四象限的部分；
當(dāng)，時(shí)，曲線表示，即，
表示以為圓心，半徑為的圓在第二象限的部分；
當(dāng)，時(shí)，曲線表示，即，
表示以為圓心，半徑為的圓在第三象限的部分；
當(dāng)時(shí)，曲線表示坐標(biāo)原點(diǎn)；
即其圖象如圖所示，

由圖可知，
對(duì)于A，曲線圍成的圖形的面積為4個(gè)半圓與1個(gè)正方形的面積之和，其面積為，故A正確；
對(duì)于B，曲線恰好經(jīng)過，，，，，，，，共9個(gè)整點(diǎn)，故B不正確；
對(duì)于C，曲線上兩點(diǎn)之間最大距離為，故C正確；
對(duì)于D，由直線恒過定點(diǎn)，由知曲線上兩點(diǎn)之間最大距離為，故D正確．
故選：ACD．
12. 已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則以下說法正確的是（ ）
A. 離心率的取值范圍為
B. 不存在點(diǎn)，使得
C. 當(dāng)時(shí)，的最大值為
D. 的最小值為1
【答案】ABC
【解析】
【分析】A：根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可得，從而可得的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用橢圓定義將化為，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.
【詳解】對(duì)于A，由已知可得，，所以，
則，故A正確；
對(duì)于B，由可知，點(diǎn)為原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)不在橢圓上，故B正確；
對(duì)于C，由已知，，所以，．
又，則．
根據(jù)橢圓的定義可得，
所以，
由圖可知，，

所以
當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào)．
故的最大值為，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br /> 所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
所以，的最小值為，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計(jì)算最值問題里面的應(yīng)用.
三、填空題（每小題5分）
13. 已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可.
【詳解】由題意，表示圓，
故，即或，
點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，
故，即
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或，
故答案為：.
14. 與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率為的雙曲線方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】由橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出的值，再由雙曲線的離心率得出，進(jìn)而可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【詳解】由橢圓方程，可得焦點(diǎn)為
設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因雙曲線的離心率為，則
故，所以，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
故答案為：
15. 設(shè)點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最大值為____．
【答案】10
【解析】
【分析】求出的坐標(biāo)，表示出其模，根據(jù)P在圓上用x替換y，根據(jù)x的范圍即可求出最大值.
【詳解】由題意知，，
所以，
由于點(diǎn)是圓上的點(diǎn),故其坐標(biāo)滿足方程，
故，
所以.
由圓的方程，易知，
所以當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為.
故答案為：10
16. 古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，在平面直角坐標(biāo)系中，、，點(diǎn)滿足，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)點(diǎn)，利用已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，求出的最小值，即可得出的最小值.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，由可得，整理可得，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，

所以，
，
記圓心為，當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，
取最小值，此時(shí)，，
所以，.
故答案為：.
四、解答題（共6道，滿分70分，10+12+12+12+12+12）
17. （1）求兩條平行直線與間的距離；
（2）若直線與直線垂直，求的值.
【答案】（1）1;（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩平行直線間的距離公式直接求解；
（2）根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)即可.
【詳解】（1）根據(jù)平行線間的距離公式,得.
（2）由題意可知，
因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得或（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，兩直線垂直，滿足題意.
18. 直線l過點(diǎn)，且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）若，求直線l的方程；
（2）當(dāng)?shù)拿娣e為6時(shí)，求直線l的方程.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)直線的截距式，由題意列出方程組，求出截距即可得解；
（2）利用截距表示出三角形面積，再聯(lián)立方程求出截距，即可得解.
【小問1詳解】
設(shè)直線l的方程為（，），（直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位于正半軸）
由題意知， ①.
因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以 ②.
聯(lián)立①②，解得或，
所以直線l的方程為或.
【小問2詳解】
由題意知，即 ③，聯(lián)立②③，解得或，
所以直線l的方程為或.
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓.設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)垂直于的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）由題意求出圓，圓的圓心和半徑，由兩圓外切，可得，即可求出答案.
（2）由，可求出圓心O1到直線l的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式代入求解即可.
【小問1詳解】
圓：，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
即圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)閳A與x軸相切，與圓O1外切，則圓心，，
則圓的半徑為，
則，解得，
即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
由（1）知O2（﹣6，1），則，
所以直線l的斜率為，
設(shè)直線l的方程為，
因?yàn)?，則圓心O1到直線l的距離，
所以，解得或，
所以直線l的方程為或．
20. 黨的二十大報(bào)告提出要加快建設(shè)交通強(qiáng)國(guó).在我國(guó)萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^座，總長(zhǎng)接近赤道長(zhǎng)度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時(shí)候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學(xué)生學(xué)過圓的知識(shí)后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)計(jì)了一個(gè)圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬為米，洞門最高處距路面米.

（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓弧的方程.
（2）為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學(xué)進(jìn)一步優(yōu)化了設(shè)計(jì)方案，在路中間建立了米寬的隔墻.某貨車裝滿貨物后整體呈長(zhǎng)方體狀，寬米，高米，則此貨車能否通過該洞門?并說明理由.

【答案】（1）
（2）不能，理由見解析
【解析】
【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，分析可知圓心在軸上，設(shè)圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的半徑為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入圓的方程，求出、的值，結(jié)合圖形可得出圓弧的方程；
（2）求出貨車右側(cè)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓弧的方程，可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)、，由圓的對(duì)稱性可知，圓心在軸上，
設(shè)圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的半徑為，則圓弧所在圓的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)、在圓上，則，解得，。
所以，圓弧所在圓的方程為，
因此，圓弧的方程為.
【小問2詳解】
解：此火車不能通過該路口，
由題意可知，隔墻在軸右側(cè)米，車寬米，車高米，
所以貨車右側(cè)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)?，因此，該貨車不能通過該路口.
21. 已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點(diǎn)）交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線過時(shí)，周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求的值，并求當(dāng)面積為時(shí)，直線的方程．
【答案】（1）；
（2）；或.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)的周長(zhǎng)為求出，再根據(jù)離心率求出，從而求出橢圓方程.
（2）設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理表示出依次成等比數(shù)列，進(jìn)而求出的值；再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式表示出的面積，求解即可得到的值，從而得到直線的方程.
【小問1詳解】
由題意，，解得，所以.
故橢圓的方程為．
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立得，，
且，
所以．
由題意，，故.
.
此時(shí)，，
.
又點(diǎn)O到直線的距離，故三角形的面積,
解得或，
所以直線l方程為或.

22. 已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過動(dòng)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，過作直線，使與直線垂直，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）
（2）證明見解析，.
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求橢圓方程；
（2）分類討論直線斜率是否存在，若存在，設(shè)直線斜率，由得弦中點(diǎn)為，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用韋達(dá)定理得到關(guān)系，再求出直線方程探究定點(diǎn)即可.
【小問1詳解】
由已知得
由解方程組得
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB的直線方程為，
聯(lián)立，消得，
，
由題意，.
設(shè)，則.
因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)．
即 ，得，
①，
又，的斜率為，
直線的方程為②，
把①代入②可得：，
所以直線恒過定點(diǎn)
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)直線為軸，也過.
綜上所述，直線恒過點(diǎn).

【點(diǎn)睛】
解答圓錐曲線的定點(diǎn)問題的常用策略：
（1）參數(shù)法：參數(shù)法解決定點(diǎn)問題的關(guān)鍵思路在于以下兩個(gè)環(huán)節(jié).
①引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)（如引入動(dòng)直線的斜率，截距，動(dòng)點(diǎn)的橫或縱坐標(biāo)等等）表示變化量，即確定題目中核心參數(shù)；
②利用條件找到參數(shù)與過定點(diǎn)的曲線之間的關(guān)系，得到關(guān)于參數(shù)與的等式，再研究曲線不受參數(shù)影響時(shí)的定點(diǎn)坐標(biāo).
（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).