知識(shí)點(diǎn)一：集中趨勢(shì)與離散程度
1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義
(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．
(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．如果個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．
(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù)．
2．極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差
(1)極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差
極差反映了一組數(shù)據(jù)中極端值的變化。當(dāng)極差越小，則數(shù)據(jù)越穩(wěn)定；極差越大，則數(shù)據(jù)極端數(shù)值波動(dòng)越大。
(2)方差： 在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，叫做這組數(shù)據(jù)的方差。通常用“”表示，即 ，方差反映整體數(shù)據(jù)波動(dòng)情況；方差越小，整體數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。
(3)標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用“s”表示，即
(4)極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，一般用方差或標(biāo)準(zhǔn)差表示數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。
知識(shí)點(diǎn)二：一元線性回歸
1．求線性回歸方程的一般步驟
(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為（數(shù)據(jù)一般由題目給出）．
(2)作出散點(diǎn)圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．
(3)把數(shù)據(jù)制成表格．
(4)計(jì)算．
(5)代入公式計(jì)算，公式為
(6)寫(xiě)出線性回歸方程．
考點(diǎn)一 集中趨勢(shì)與離散程度
1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．一個(gè)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不可能是同一個(gè)數(shù)
B．統(tǒng)計(jì)中，我們可以用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)
C．樣本平均數(shù)既不可能大于也不可能小于這個(gè)樣本中的所有數(shù)據(jù)
D．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)
【答案】A
【解析】用樣本估計(jì)總體情況時(shí)，在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)可能是同一個(gè)數(shù)，
例如：數(shù)據(jù)10,11,11,11,11,11,12的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是11，故選：A.
2．一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為( )
A．14,14 B．12,14 C．14,15.5 D．12,15.5
【答案】A
【解析】把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，則可知其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14.，故選：A.
3．已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有( )
A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【答案】D
【解析】由題意得a＝eq \f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq \f(157,10)＝15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞a，故選：D.
4． 我校在科技文化節(jié)活動(dòng)中，8位評(píng)委給某個(gè)節(jié)目的評(píng)分各不相同，去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，剩下的6個(gè)評(píng)分與原始的8個(gè)評(píng)分相比一定不發(fā)生變化的是（ ）
A．平均數(shù)B．中位數(shù)C．方差D．眾數(shù)
【答案】B
【解答】根據(jù)題意，從8個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，得到6個(gè)有效評(píng)分．6個(gè)有效評(píng)分與8個(gè)原始評(píng)分相比，中位數(shù)一定不發(fā)生變化，故選：B．
5．在一次科技作品制作比賽中，某小組六件作品的成績(jī)（單位：分）分別是：7，10，9，8，7，9，對(duì)這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平均數(shù)是8B．中位數(shù)8.5C．眾數(shù)是8D．極差是4
【答案】B
【解答】A．平均數(shù)為＝，故本選項(xiàng)不合題意；
B．中位數(shù)為＝8.5，故本選項(xiàng)符合題意；
C．眾數(shù)是7和9，故本選項(xiàng)不合題意；
D．極差為10﹣7＝3，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：B．
6．兩年前，某校七（1）班的學(xué)生平均年齡為13歲，方差為4，若學(xué)生沒(méi)有變動(dòng)，則今年升為九（1）班的學(xué)生年齡中（ ）
A．平均年齡為13歲，方差改變 B．平均年齡為15歲，方差不變
C．平均年齡為15歲，方差改變 D．平均年齡不變，方差不變
【答案】B
【解析】由題意知七年級(jí)（1）班全體學(xué)生的人數(shù)沒(méi)有變化，而每位同學(xué)的年齡都增加了2歲，∴今年升為九（1）班的學(xué)生的平均年齡增加2歲，即15歲，又∵學(xué)生的年齡波動(dòng)幅度沒(méi)有變化，∴今年升為九（1）班的學(xué)生年齡的方差不變，仍然為4，故選：B．
7．一組數(shù)據(jù)23，27，20，18，x，12，它們的中位數(shù)是21，則x=___________，已知一個(gè)樣本－1，0，2，x，3，它們的平均數(shù)是2，則這個(gè)樣本的方差為s2＝_______．
【答案】 22 6
【解析】（2）根據(jù)題意和中位數(shù)的定義，21是最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，∵16，18，20都比中位數(shù)21小，∴x排在20后面，∵20與23的平均數(shù)大于21，∴x排在23前面，∴該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：12，18，20，x，23，27，∴，解得，故答案為：22；
（2）∵樣本－1，0，2，x，3的平均數(shù)是2，∴，解得，
∴故答案為：6．
8．已知一組數(shù)據(jù)8，5，x，8，10的平均數(shù)是8，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．極差是5B．眾數(shù)是8C．中位數(shù)是9D．方差是2.8
【答案】C
【解析】一組數(shù)據(jù)8，5，x，8，10的平均數(shù)是8，，解得，這組數(shù)據(jù)為：5，8，8，9，10，極差為10-5=5，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；眾數(shù)是8，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；中位數(shù)是8，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；方差=，D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選C．
9．一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算公式為，則這組數(shù)據(jù)的方差是 ．
【答案】
【解析】平均數(shù)為：，故方差是：，故答案為：．
10．如果有一組數(shù)據(jù)-2，0，1，3，的極差是6，那么的值是 ．
【答案】4或-3
【解析】∵3-（-2）=5，一組數(shù)據(jù)-2，0，1，3，x的極差是6，∴當(dāng)x為最大值時(shí)，x-（-2）=6，解得x=4；
當(dāng)x是最小值時(shí)，3-x=6，解得：x=-3．故答案為：4或-3．
11．李老師為了了解學(xué)生暑期在家的閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了20名學(xué)生某一天的閱讀小時(shí)數(shù)，具體情況統(tǒng)計(jì)如表：
則關(guān)于這20名學(xué)生閱讀小時(shí)數(shù)的說(shuō)法正確的是（ ）
A．中位數(shù)是3B．平均數(shù)是3.3
C．眾數(shù)是8D．極差是7
【答案】A
【解答】A、隨機(jī)調(diào)查了20名學(xué)生，所以中位數(shù)是第10個(gè)和第11個(gè)學(xué)生的閱讀小時(shí)數(shù)，都是3，故中位數(shù)是3，所以此選項(xiàng)符合題意；
B、均數(shù)＝＝3.2，所以此選項(xiàng)不合題意；
C、由統(tǒng)計(jì)表得：眾數(shù)為3，不是8，所以此選項(xiàng)不合題意；
D、極差是4﹣2＝2，所以此選項(xiàng)不合題意；
故選：A．
12．“秋風(fēng)響，蟹腳癢”，正是食蟹好時(shí)節(jié)．某蟹農(nóng)在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，為趕在食蟹旺季前上市銷售，該蟹農(nóng)于九月中旬在蟹塘中隨機(jī)試捕了4次，獲得如下數(shù)據(jù)：
（1）四次試捕中平均每只蟹的質(zhì)量為 g；
（2）若蟹苗的成活率為75%，試估計(jì)蟹塘中蟹的總質(zhì)量為 kg；
（3）若第3次試捕的蟹的質(zhì)量（單位：g）分別為：166，170，172，a，169，167．
①a＝ ；
②求第3次試捕所得蟹的質(zhì)量數(shù)據(jù)的方差．
【答案】答案見(jiàn)解析
【解析】解：（1）四次試捕中平均每只蟹的質(zhì)量為＝168（g）．故答案為：168；
（2）∵蟹苗的成活率為75%，∴成活蟹的只數(shù)為1200×75%＝900（只），∴估計(jì)蟹塘中蟹的總質(zhì)量為168×900＝151200（g）＝151.2（kg）．故答案為：151.2；
（3）①166+170+172+a+169+167＝168×6，∴a＝164．故答案為：164；
②S2＝×[（166﹣168）2+（170﹣168）2+（172﹣168）2+（164﹣168）2+（169﹣168）2+（167﹣168）2]＝7．即第3次試捕所得蟹的質(zhì)量數(shù)據(jù)的方差為7．
13．若樣本x1，x2，x3，?，xn的平均數(shù)為8，方差為4，則對(duì)于樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，xn﹣3，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平均數(shù)為8，方差為1B．平均數(shù)為5，方差為1
C．中位數(shù)變小，方差不變D．眾數(shù)不變，方差為4
【答案】C
【解析】∵樣本x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為8，方差為4，∴樣本x1﹣3，x2﹣3，x3﹣3，…，xn﹣3的平均數(shù)為5，方差為4，眾數(shù)和中位數(shù)變小，故選：C．
考點(diǎn)二 一元線性回歸
14．由變量與相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為，根據(jù)樣本中心滿足線性回歸方程，則（ ）
A．45B．51C．67D．63
【答案】B
【解析】由題意得，因?yàn)榫€性回歸方程為，所以，
故選：B.
15．我國(guó)西北某地區(qū)開(kāi)展改造沙漠的巨大工程，該地區(qū)對(duì)近5年投入的沙漠治理經(jīng)費(fèi)x（億元）和沙漠治理面積y（萬(wàn)畝）的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示．
根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因?yàn)?，因回歸方程過(guò)定點(diǎn)，將其代入，得，解得，故選：C
16．根據(jù)變量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如表），求得關(guān)于的線性回歸方程為，則表中的值為（ ）
A．60B．55C．50D．45
【答案】A
【解析】由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，，因?yàn)榛貧w直線方程過(guò)樣本中心，，解得，故選：A.
17．某單位做了一項(xiàng)統(tǒng)計(jì)，了解辦公樓日用電量（度）與當(dāng)天平均氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了四個(gè)工作日用電量與當(dāng)天平均氣溫，并制作了如下對(duì)照表：
由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程，則當(dāng)日平均氣溫為時(shí)，預(yù)測(cè)日用電量為 度.
【答案】66
【解析】由題知，，因?yàn)榛貧w方程，
所以，解得，所以回歸方程為，所以，當(dāng)時(shí)，
所以，當(dāng)日平均氣溫為時(shí)，預(yù)測(cè)日用電量為.故答案為：.
18．某城市2017年到2021年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示，據(jù)此估計(jì)2022年該城市人口總數(shù)______(單位十萬(wàn)).（參考數(shù)據(jù)和公式：，）
【答案】
【解析】由題可得，， 又，
∴，故關(guān)于的線性回歸方程為，
當(dāng)時(shí)，.故答案為：.
19．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下，則y與x的線性回歸方程表示的直線必過(guò)點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，．則樣本中心為，故選：B.
20．假定產(chǎn)品產(chǎn)量x（千件）與單位成本y（元/件）之間存在相關(guān)關(guān)系.數(shù)據(jù)如下：
(1)以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；
(2)求y與x之間的回歸直線方程，對(duì)于單位成本70元/件時(shí)，預(yù)報(bào)產(chǎn)量為多少；
【答案】答案見(jiàn)解析
【解析】解：(1)散點(diǎn)圖如下：
(2)解：因?yàn)?，?br>，，所以，，
所以回歸直線方程為，令，則，解得，
所以單位成本70元/件時(shí)，預(yù)報(bào)產(chǎn)量約為千件.
閱讀時(shí)間
（小時(shí)）
2
2.5
3
3.5
4
學(xué)生人數(shù)（名）
1
2
8
6
3
數(shù)量/只
平均每只蟹的質(zhì)量/g
第1次試捕
4
166
第2次試捕
4
167
第3次試捕
6
168
第4次試捕
6
170
治理經(jīng)費(fèi)x/億元
3
4
5
6
7
治理面積y/萬(wàn)畝
10
12
11
12
20
2
4
5
6
8
30
40
50
70
日平均氣溫
18
13
10
日用電量度
24
34
38
64
年份（年）
0
1
2
3
4
人口數(shù)（十萬(wàn)）
5
7
8
11
19
x
0
1
2
3
y
1
2
4
6
x
2
3
4
3
4
5
y
73
72
71
73
69
68

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