知識點一：計數(shù)原理
1． 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
注意：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)．
它們的區(qū)別在于：
分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，各方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；
分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)，各步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．
2． 應(yīng)用兩個原理解題的一般思路

注意：(1)明白要完成的事情是什么；
(2)分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；
(3) 有無特殊條件的限制；
(4) 檢驗是否有重復(fù)或遺漏．
知識點二：排列與組合
1．排列與排列數(shù)
(1) 一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
(2) 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Peq \\al(m,n)表示．
(3) 排列數(shù)公式的兩種形式
① Peq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
②Peq \\al(m,n)＝eq \f(n！,?n－m?！).
(4) 全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為Peq \\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0！＝1.
2．組合及組合數(shù)的定義
(1)組合
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
(2) 組合數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq \\al(m,n)表示．
(3) 排列與組合的關(guān)系
(4) 組合數(shù)公式
規(guī)定：Ceq \\al(0,n)＝1.
(5) 組合數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)1：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n). 性質(zhì)2：Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
知識點三：二項式定理
1．二項式定理
(1)定義
一般地，對于任意正整數(shù)，都有：.
這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)叫做二項式系數(shù)
(2) 二項式的展開式的特點：
①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；
② 二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；
③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到0；字母升冪排列，次數(shù)從0到，每一項中，a，b次數(shù)和均為；
(3)二項展開式的通頂公式
公式特點：① 它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
2．二頂式系數(shù)及其性質(zhì)
(1) 的展開式中各項的二頂式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：
①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離"的兩項的二項式系數(shù)相等，即；
②增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當(dāng)為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)相等，且最大．
(2) 各二項式系數(shù)之和為，即；
(3) 二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即．
(4)二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別
二項展開式中，第項的二項式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù)，二者不一定相等．
考點一 計數(shù)原理
1．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有__________種.
【答案】9
【解析】由題意，若從第一層取書，則有4種不同的取法，若從第二層取書，則有3種不同的取法，
若從第三次取書，則有2種不同的取法，所以不同的取法有種，故答案為：9.
2．用1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)個數(shù)為（ ）
A．6B．12C．16D．24
【答案】B
【解析】先排個位，有4種排法，再排十位，有3種排法， 因此共有種排法，故選：B.
3．如圖，從甲村到乙村有3條路可走，從乙村到丙村有2條路可走，從甲村不經(jīng)過乙村到丙村有2條路可走，則從甲村到丙村的走法種數(shù)為（ ）
A．3B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】由圖可知，從甲村直接到到丙村的走法有種，從甲村到乙村再到丙村的走法有種，
所以從甲村到丙村的走法共有種.故選: D.
4． 用數(shù)字0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)，其中比200大的有（ ）
A．24個B．12個C．18個D．6個
【答案】B
【解析】由題意可知，百位上的數(shù)字為2或3，十位上的數(shù)字可在剩余3個數(shù)字中選擇1個數(shù)字，個位上的數(shù)字再在剩下的2個數(shù)字中任選1個，故比200大的3位數(shù)的個數(shù)為，故選：B.
5．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（ ）
A．26 B．60 C．18 D．1080
【答案】A
【解析】由分類加法計數(shù)原理知有（種）不同走法.故選：A
6．3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只能去1個村，則不同的分配方案共有（ ）
A．4種B．6種C．8種D．10種
【答案】C
【解析】每個大學(xué)生都有種選擇方法，所以不同的分配方案共有種，故選：C.
7．“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”，節(jié)約糧食是我國的傳統(tǒng)美德．已知學(xué)校食堂中午有2種主食、6種素菜、5種葷菜，小華準(zhǔn)備從中選取1種主食、1種素菜、1種葷菜作為午飯，并全部吃完，則不同的選取方法有（ ）
A．13種B．22種C．30種D．60種
【答案】D
【解析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有（種）不同的選取方法，故選：D．
8．如圖，一條電路從A處到B處接通時，可以有_____________條不同的線路（每條線路僅含一條通路）．
【答案】
【解析】依題意按上、中、下三條線路可分為三類，上線路中有種，中線路中只有種，下線路中有（種．根據(jù)分類計數(shù)原理，共有（種,故答案為：．
考點二 排列與組合
9．計算：（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）210（2）840（3）210（4）720
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
10．下列問題是排列問題的是（ ）
A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段？
C．集合的含有三個元素的子集有多少個？
D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？
【答案】D
【解析】A中握手次數(shù)的計算與次序無關(guān)，不是排列問題；
B中線段的條數(shù)計算與點的次序無關(guān)，不是排列問題；
C中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關(guān)，不是排列問題；
D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．故選：D
11．計算：（1）； （2）；
【答案】（1）（2）330
【解析】解：（1）原式．
（2）原式．
12．寫出從A，B，C，D，E 5個元素中，依次取3個元素的所有組合．
【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE．
【解析】解：含A的三個元素有：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE，
不含A含B的三個元素有：BCD、BCE、BDE，
不含A、B的三個元素有：CDE，
所以取3個元素的所有組合是ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE．
13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（ ）
A．24種B．6種C．4種D．12種
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，
則不同的排法共有，故選：B．
14．把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為 ．
【答案】2880
【解析】先把4名女生捆綁在一起，看成一個整體，有種，再把這個整體與另外4名男生進行排列，有種，故不同的排法種數(shù)有種，故答案為：
15．用數(shù)字組成 個沒有重復(fù)數(shù)字并且是的倍數(shù)的五位數(shù).
【答案】
【解析】若末位為，則可組成個滿足題意的五位數(shù)；若末位為，則可組成個滿足題意的五位數(shù)；
共可組成滿足題意的五位數(shù)有：個，故答案為：.
16．現(xiàn)有8個人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？
(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？
【答案】（1）5040（2）4320（3）21600
【解析】解：（1）根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有種情況，則甲必須站在排頭有種排法；
（2）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，將這個整體與5名男生全排列，有種情況，則女生必須排在一起的排法有種；
（3）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在中間6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，
則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法.
17．已知有6本不同的書.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
【答案】(1)15 (2)60
【解析】解：（1）6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.
（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，
所以不同的分堆方法的種數(shù)為.
考點三 二項式定理
18．求展開式中的前4項.
【答案】答案見解析
【解析】解：展開式的第1項為，
第2項為，
第3項為，
第4項為.
19．（1）求展開式中的第8項；
（2）求展開式中的第7項．
【答案】答案見解析
【解析】解：（1）展開式中的第8項為
（2）展開式中的第7項
20．的展開式中常數(shù)項為 （用數(shù)字作答）．
【答案】7
【解析】因為，則其展開式的通項公式為，令，則，所以其常數(shù)項為.
21．設(shè)，求下列各式的值．
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】答案見解析
【解析】解：（1）在中，令，得．
（2）令，得 ①，則．
（3）令，得 ②，聯(lián)立①②，得．
22．已知，設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為，所以由組合數(shù)的性質(zhì)得，
所以，
令，得，即．令，得，
所以，故選：D．
23．已知的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項.
【答案】
【解析】）解：的展開式的通項．因為展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，即，整理得，解得或．又因為，所以，所以第5項的二項式系數(shù)最大，所以二項式系數(shù)最大的項為．
24．已知在的展開式中，第9項為常數(shù)項．求：
（1）n的值；
（2）展開式中x5的系數(shù)；
【答案】（1）10（2）
【解析】解：二項展開式的通項Tk+1==（-1）k．
（1）因為第9項為常數(shù)項，即當(dāng)k=8時，2n-k=0，解得n=10．
（2）令2n-k=5，得k=（2n-5）=6，所以x5的系數(shù)為（-1）6．
25．已知二項式，求展開式中的：
（1）第6項；
（2）第3項的系數(shù)；
（3）含的項；
（4）常數(shù)項．
【答案】答案見解析
【解析】（1）通項公式．．
（2）因為，所以第3項的系數(shù)為9；
（3）由知：，所以；
（4）由知：，所以，即常數(shù)項為．
基本形式
一般形式
分類加法計數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，
在第1類方案中有m種不同的方法，
在第2類方案中有n種不同的方法，
那么完成這件事共有
N＝m＋n種不同的方法．
完成一件事有n類不同方案，
在第1類方案中有m1種不同的方法，
在第2類方案中有m2種不同的方法，
…，
在第n類方案中有mn種不同的方法，
那么完成這件事共有
N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．
分步乘法計數(shù)原理
完成一件事需要兩個步驟，
做第1步有m種不同的方法，
做第2步有n種不同的方法，
那么完成這件事共
有N＝m×n種不同的方法．
完成一件事需要n個步驟，
做第1步有m1種不同的方法，
做第2步有m2種不同的方法，
…，
做第n步有mn種不同的方法，
那么完成這件事共有
N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
相同點
兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
不同點
排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序
關(guān)系
組合數(shù)Ceq \\al(m,n)與排列數(shù)Peq \\al(m,n)間存在的關(guān)系:Peq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m,n)Peq \\al(m,m)
組合數(shù)
公式
乘積
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，
其中m，n∈N*，并且m≤n
階乘
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！?n－m?！)

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