絕密★啟用前齊魯名校大聯(lián)考2024屆山東省高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測(cè)數(shù)  學(xué)本試卷總分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．某商店共有，，三個(gè)品牌的水杯，若甲、乙、丙每人買了一個(gè)水杯，且甲買的不是品牌，乙買的不是品牌，則這三人買水杯的情況共有（    ）A．3種 B．7種 C．12種 D．24種4．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若則（    ）A．5 B．7 C．9 D．125．已知向量，，函數(shù)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為圖象對(duì)稱中心的是（    ）A． B． C． D．6．某公司年會(huì)的抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)準(zhǔn)備了甲、乙、丙、丁四個(gè)封閉的盒子，盒子內(nèi)裝有現(xiàn)金．為活躍氣氛，主持人通過大屏幕給出四個(gè)提示，且只有一個(gè)提示是真的．提示1：四個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金不都是3000元；提示2：乙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元；提示3：四個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金都是3000元；提示4：丁盒子中裝的現(xiàn)金不是5000元，由此可以推斷（    ）A．甲盒子中裝的現(xiàn)金是3000元 B．乙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元C．丙盒子中裝的現(xiàn)金是3000元 D．丁盒子中裝的現(xiàn)金是5000元7．已知函數(shù)的極小值為，極小值點(diǎn)為，零點(diǎn)為．若底面半徑為1的圓錐的高，則該圓錐的表面積為（    ）A． B． C． D．8．已知雙曲線（，），直線的斜率為，且過點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在的右支上，且滿足，則的離心率為（    ）A． B．2 C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊位于第三象限，且與單位圓交于點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．10．在我們發(fā)布的各類統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，同比和環(huán)比都是反映增長(zhǎng)速度的核心數(shù)據(jù)指標(biāo)．如圖是某專業(yè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)的2022年1-12月中國(guó)校車銷量走勢(shì)圖，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．8月校車銷量的同比增長(zhǎng)率與環(huán)比增長(zhǎng)率都是全年最高B．1-12月校車銷量的同比增長(zhǎng)率的平均數(shù)小于環(huán)比增長(zhǎng)率的平均數(shù)C．1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的極差大于同比增長(zhǎng)率的極差D．1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的方差大于同比增長(zhǎng)率的方差11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若滿足，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（    ）A．  B．為奇函數(shù)C．  D．12．已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則（    ）A．直線與直線異面B．若是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為C．直線與平面所成角的正弦值為D．球的表面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位數(shù)是，第75百分位數(shù)為，則__________．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，的面積的最大值為，的焦距為2，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為__________．15．已知的展開式中第4項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，寫出展開式中的一個(gè)有理項(xiàng)__________．16．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，為內(nèi)一點(diǎn)．若點(diǎn)滿足，且，則的最大值為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數(shù)（，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，若，，，求．18．（12分）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．（12分）如圖，在三棱錐中，平面，，，是的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：平面 平面；（2）平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．20．（12分）研學(xué)旅行作為一種新興的教學(xué)方式，越來越受中學(xué)生的青睞，國(guó)家也頒布了一系列政策推進(jìn)研學(xué)旅行發(fā)展．為了解學(xué)生對(duì)“暑期研學(xué)旅行”的滿意度，某教育部門對(duì)180名初一至高三的中學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查．參與問卷調(diào)查的男女比例為5：4，女生初、高中比例為3：1．（1）完成下面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別是否有關(guān)聯(lián)；性別滿意度合計(jì)滿意不滿意 男生80  女生50  合計(jì)   （2）該教育部門采用分層隨機(jī)抽樣的方法從參與問卷調(diào)查的女生中抽取了8名學(xué)生．現(xiàn)從這8名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人進(jìn)行座談，設(shè)抽取的女生是初中生的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知拋物線，為的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，當(dāng)與軸垂直時(shí)，．（1）求的方程；（2）證明：．22．（12分）已知函數(shù)，，，分別為，的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的，存在，使．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．  參考答案及解析2024屆山東省高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測(cè)·數(shù)學(xué)一、選擇題1．D【解析】因?yàn)?/span>，，所以．2．A【解析】因?yàn)?/span>，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，位于第一象限．3．C【解析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得這三人買水杯的情況共有（種）．4．A【解析】由得，，所以．5．B【解析】由題意．令，，所以，，所以圖象的對(duì)稱中心為，故函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心可以是．6．D【解析】因?yàn)樘崾?/span>1和提示3矛盾，所以提示1和提示3一真一假，因此提示2和4是假的．提示2為假能夠推斷乙盒子中裝的現(xiàn)金不是3000元，故B錯(cuò)誤；由提示4為假可知，丁盒子中裝的現(xiàn)金是5000元，故D正確；由提示2和提示4為假能判斷提示1正確，提示3錯(cuò)誤，但無法判斷甲、丙兩個(gè)盒子中裝的現(xiàn)金是多少，故A，C錯(cuò)誤．7．B【解析】由題意得，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值，極小值點(diǎn)．令，解得，所以，所以，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，該圓錐的表面積為．8．D【解析】由題意知直線的方程為．令，得，所以．又因?yàn)?/span>，所以，代入，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以的離心率．二、選擇題9．ACD【解析】由，得．又是第三象限角，，所以，所以，，，故A正確、B錯(cuò)誤；，故C正確；，則，故D正確．10．BCD【解析】2022年8月校車銷量的同比增長(zhǎng)率比9月的低，故A錯(cuò)誤；由校車銷量走勢(shì)圖知1-12月校車銷量的同比增長(zhǎng)率的平均數(shù)為負(fù)數(shù)，環(huán)比增長(zhǎng)率的平均數(shù)是正數(shù)，故B正確；1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的極差為，同比增長(zhǎng)率的極差為，所以環(huán)比增長(zhǎng)率的極差大于同比增長(zhǎng)率的極差，故C正確；由校車銷量走勢(shì)圖知1-12月校車銷量的環(huán)比增長(zhǎng)率的波動(dòng)大于同比增長(zhǎng)率的，所以環(huán)比增長(zhǎng)率的方差大于同比增長(zhǎng)率的方差，故D正確．11．ACD【解析】由，得，等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，即，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即為偶函數(shù)，則，所以應(yīng)滿足（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，，所以，故C正確；因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于軸對(duì)稱，且，所以，，，在一個(gè)周期內(nèi)，，所以，故D正確．12．BD【解析】對(duì)于A，如圖①，連接，，則，，所以，所以直線與直線共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將平面沿著翻折到與平面共面的位置，得到矩形，如圖②所示．因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為2，，所以，則，故B正確；對(duì)于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，得，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積，故D正確．①                                   ②三、填空題13．【解析】由題意得，，所以．14．4【解析】由題意知所以故雙曲線的方程為，則的實(shí)軸長(zhǎng)為4．
15．，，（寫出其中一個(gè)即可）【解析】由題意知，所以，整理得，解得或（舍去），所以的展開式的通項(xiàng)為，，．若為有理項(xiàng)，則，所以，4，8，故展開式中所有的有理項(xiàng)為，，．16．【解析】由，得，即，整理可得，故點(diǎn)在的平分線上，同理可得點(diǎn)為的內(nèi)心．如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，設(shè)，，由，得，由三點(diǎn)共線得，所以．因?yàn)?/span>，所以，代人得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為．四、解答題17．解：（1）由圖象可知，所以．又因?yàn)樽罡唿c(diǎn)是，所以，，即，．又因?yàn)?/span>，所以，，所以．（3分）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．（5分）令，，所以，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．（6分）（2）因?yàn)?/span>，所以．又，所以，所以或，所以或．（8分）當(dāng)時(shí)，由余弦定理，得，所以；當(dāng)時(shí)，由勾股定理，得，所以．故邊的長(zhǎng)為或．（10分）18．解：（1）設(shè)的公比為，由，，，成等差數(shù)列，得，．（1分）法一：當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以；（2分）當(dāng)時(shí)，所以，，則．（3分）綜上，或．（4分）法二：由題意得，，解得或（2分）所以或．（4分）（2）當(dāng)時(shí)，，所以；（6分）當(dāng)時(shí)，，（7分）所以，則，所以，所以．（11分）綜上，或．（12分）19．（1）證明：因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面平面．又，平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2分）又，是的中點(diǎn)，所以．（3分）又，，平面，所以平面．因?yàn)?/span>平面，所以平面平面．（4分）（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，所以．又是的中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，則，，，，，，所以，，，（6分）則平面的一個(gè)法向量為．（7分）設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，所以平面的一個(gè)法向量為．（9分）設(shè)平面與平面的夾角為，所以，（11分）故平面與平面夾角的余弦值為．（12分）20．解：（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，（1分）則列聯(lián)表如下表所示：性別滿意度合計(jì)滿意不滿意男生8020100女生503080合計(jì)13050180（2分）零假設(shè)為：“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，（5分）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為“暑期研學(xué)旅行”的滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．（6分）（2）抽取的初中女生有（人），高中女生有（人），（7分）則的可能取值為2，3，4，，，，（10分）所以的分布列為234故．（12分）21．（1）解：由題意知，將代入，解得，所以當(dāng)與軸垂直時(shí)，，所以，（2分）故拋物線的方程為．（3分）（2）證明：法一：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，所以，，．（5分）對(duì)求導(dǎo)，得，所以，所以．（7分）由得所以．（9分）當(dāng)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性得，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，（10分）所以，所以，即．綜上，．（12分）法二：根據(jù)題意知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立得，所以，，．（5分）對(duì)求導(dǎo)，得，由得所以．（9分）因?yàn)?/span>，，所以．又，所以．（12分）22．（1）解：因?yàn)?/span>，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故．（1分）因?yàn)?/span>，所以．令，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．（3分）又對(duì)任意的，存在，使，所以，（4分）即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．（5分）（2）證明：令，，則．令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．（7分）令，則．令，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），（9分）故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．（10分）又，所以．因?yàn)?/span>，所以，故，即．（12分） 

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