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專題九、帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
第一部分 織網(wǎng)點(diǎn)睛，綱舉目張
1．帶電粒子在電場(chǎng)中常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)類型
(1)勻變速直線運(yùn)動(dòng)：通常利用動(dòng)能定理qU＝mv2－mv02來(lái)求解；對(duì)于勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)力做功也可以用W＝qEd來(lái)求解。
(2)偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：一般研究的是帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)問(wèn)題。對(duì)于類平拋運(yùn)動(dòng)可直接利用平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律以及推論；較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)常用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法來(lái)處理。
2．帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的幾種常見(jiàn)情形
直線邊界
粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性

平行邊界
粒子運(yùn)動(dòng)存在臨界條件

圓形邊界
粒子沿徑向射入的再沿徑向射出


3．當(dāng)圓形磁場(chǎng)的半徑與圓軌跡半徑相等時(shí)，存在兩條特殊規(guī)律；
規(guī)律一：帶電粒子從圓形有界磁場(chǎng)邊界上某點(diǎn)射入磁場(chǎng)，如果圓形磁場(chǎng)的半徑與圓軌跡半徑相等，則粒子的出射速度方向與圓形磁場(chǎng)上入射點(diǎn)的切線方向平行，如甲圖所示。
規(guī)律二：平行射入圓形有界磁場(chǎng)的相同帶電粒子，如果圓形磁場(chǎng)的半徑與圓軌跡半徑相等，則所有粒子都從磁場(chǎng)邊界上的同一點(diǎn)射出，并且出射點(diǎn)的切線與入射速度方向平行，如乙圖所示。

4. 關(guān)于粒子的重力
(1)對(duì)于微觀粒子，如電子、質(zhì)子、離子等，因?yàn)槠渲亓σ话闱闆r下與電場(chǎng)力或磁場(chǎng)力相比太小，可以忽略；而對(duì)于一些宏觀物體，如帶電小球、液滴、金屬塊等一般應(yīng)考慮其重力。
(2)不能直接判斷是否要考慮重力的情況，在進(jìn)行受力分析與運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可分析出是否要考慮重力。

第二部分 實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練，高考真題演練
1. （2022新高考江蘇卷）某裝置用電場(chǎng)控制帶電粒子運(yùn)動(dòng)，工作原理如圖所示，矩形區(qū)域內(nèi)存在多層緊鄰的勻強(qiáng)電場(chǎng)，每層的高度均為d，電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E，方向沿豎直方向交替變化，邊長(zhǎng)為，邊長(zhǎng)為，質(zhì)量為m、電荷量為的粒子流從裝置左端中點(diǎn)射入電場(chǎng)，粒子初動(dòng)能為，入射角為，在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)重力及粒子間的相互作用力。
（1）當(dāng)時(shí)，若粒子能從邊射出，求該粒子通過(guò)電場(chǎng)的時(shí)間t；
（2）當(dāng)時(shí)，若粒子從邊射出電場(chǎng)時(shí)與軸線的距離小于d，求入射角的范圍；
（3）當(dāng)，粒子在為范圍內(nèi)均勻射入電場(chǎng)，求從邊出射的粒子與入射粒子的數(shù)量之比。

【參考答案】（1）；
（2）或；（3）
【命題意圖】本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。
【解題思路】
（1）電場(chǎng)方向豎直向上，粒子所受電場(chǎng)力在豎直方向上，粒子在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度分解如圖所示

粒子在水平方向的速度為

根據(jù)可知

解得

（2）粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初動(dòng)能

粒子進(jìn)入電場(chǎng)沿電場(chǎng)方向做減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可得

粒子從邊射出電場(chǎng)時(shí)與軸線的距離小于d，則要求

解得

所以入射角的范圍為
或
（3）設(shè)粒子入射角為時(shí)，粒子恰好從D點(diǎn)射出，由于粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向反復(fù)做加速相同的減速運(yùn)動(dòng)，加速運(yùn)動(dòng)。粒子的速度

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

粒子在沿電場(chǎng)方向，反復(fù)做加速相同的減速運(yùn)動(dòng)，加速運(yùn)動(dòng)，則







則


則粒子在分層電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，設(shè)為，則

且

代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)可得

即

解得
（舍去）或
解得

則從邊出射的粒子與入射粒子的數(shù)量之比

2．（9分）
（2022高考北京卷）如圖所示，真空中平行金屬板M、N之間距離為d，兩板所加的電壓為U。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M板由靜止釋放。不計(jì)帶電粒子的重力。

（1）求帶電粒子所受的靜電力的大小F；
（2）求帶電粒子到達(dá)N板時(shí)的速度大小v；
（3）若在帶電粒子運(yùn)動(dòng)距離時(shí)撤去所加電壓，求該粒子從M板運(yùn)動(dòng)到N板經(jīng)歷的時(shí)間t。
【命題意圖】此題考查功能關(guān)系及其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。
【名師解析】
（1）兩極板間的場(chǎng)強(qiáng)
帶電粒子所受的靜電力
（2）帶電粒子從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到N板的過(guò)程，根據(jù)功能關(guān)系有
得
（3）設(shè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)距離時(shí)的速度大小為，根據(jù)功能關(guān)系有
帶電粒子在前距離做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后距離做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)用時(shí)分別為。
有
得
3. （2022高考湖北物理）在如圖所示的平面內(nèi)，分界線SP將寬度為L(zhǎng)的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，SP與磁場(chǎng)左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場(chǎng)方向垂直且與SP成30°角。已知離子比荷為k，不計(jì)重力。若離子從Р點(diǎn)射出，設(shè)出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對(duì)應(yīng)θ角的可能組合為（　?。?br />

A. kBL，0° B. kBL，0°
C. kBL，60° D. 2kBL，60°
【參考答案】BC
【命題意圖】本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。
【解題思路】若粒子通過(guò)下部分磁場(chǎng)直接到達(dá)P點(diǎn)，如圖

根據(jù)帶電粒子在直線邊界運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，若從P點(diǎn)的出射方向與右側(cè)邊界向上的夾角為60°，
根據(jù)幾何關(guān)系則有，
可得
根據(jù)對(duì)稱性可知出射速度與SP成30°角向上，故出射方向與入射方向夾角為θ=60°。
當(dāng)粒子上下均經(jīng)歷一次時(shí)，如圖

因?yàn)樯舷麓鸥袘?yīng)強(qiáng)度均為B，則根據(jù)對(duì)稱性有
根據(jù)洛倫茲力提供向心力有
可得
此時(shí)出射方向與入射方向相同，即出射方向與入射方向的夾角為θ=0°。
通過(guò)以上分析可知當(dāng)粒子從下部分磁場(chǎng)射出時(shí)，需滿足（n=1，2，3……）
此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為θ=60°；
當(dāng)粒子從上部分磁場(chǎng)射出時(shí)，需滿足（n=1，2，3……）
此時(shí)出射方向與入射方向的夾角為θ=0°。
故可知BC正確，AD錯(cuò)誤。

4．(2020·全國(guó)卷Ⅲ)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為(　　)
A. B.
C. D.
【參考答案】C
【名師解析】　為使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大時(shí)軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B，由幾何關(guān)系有＋r＝3a，解得r＝a，電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有evB＝m，解得B＝，選項(xiàng)C正確。
5．(2020·浙江7月選考)如圖所示，一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子以速度v0從MN連線上的P點(diǎn)水平向右射入大小為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中。已知MN與水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，則粒子到達(dá)MN連線上的某點(diǎn)時(shí)(　　)
A．所用時(shí)間為
B．速度大小為3v0
C．與P點(diǎn)的距離為
D．速度方向與豎直方向的夾角為30°
【參考答案】C
【名師解析】　粒子從P點(diǎn)垂直電場(chǎng)方向出發(fā)到達(dá)MN連線上某點(diǎn)時(shí)，沿水平方向和豎直方向的位移大小相等，即v0t＝at2，a＝，解得t＝，A項(xiàng)錯(cuò)誤；在該點(diǎn)，粒子沿電場(chǎng)方向的速度v＝at＝2v0，所以合速度大小為v＝＝v0，B項(xiàng)錯(cuò)誤；該點(diǎn)到P點(diǎn)的距離s＝x＝v0t＝，C項(xiàng)正確；由平行四邊形定則可知，在該點(diǎn)速度方向與豎直方向夾角的正切值tan θ＝＝，則θ≠30°，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
6．[多選](2020·天津等級(jí)考)如圖所示，在Oxy平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子從y軸上的M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，速度方向與y軸正方向的夾角θ＝45°。粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后在N點(diǎn)(圖中未畫出)垂直穿過(guò)x軸。已知OM＝a，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，重力不計(jì)。則(　　)
A．粒子帶負(fù)電荷
B．粒子速度大小為
C．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為a
D．N與O點(diǎn)相距(＋1)a
【參考答案】C
【名師解析】　由左手定則可知，帶電粒子帶負(fù)電荷，A正確；畫出粒子的軌跡示意圖，如圖所示，假設(shè)軌跡的圓心為O′，則由幾何關(guān)系得粒子的軌道半徑為R＝a，則由qvB＝m得v＝＝，B、C錯(cuò)誤；由以上分析可知，ON＝R＋a＝(＋1)a，D正確。
7．(2020·全國(guó)卷Ⅰ)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q＞0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
【參考答案】C
【名師解析】　粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度大小無(wú)關(guān)，由在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角決定。設(shè)軌跡交半圓于e點(diǎn)，ce中垂線交bc于O點(diǎn)，則O點(diǎn)為軌跡圓心，如圖所示。圓心角θ＝π＋2β，當(dāng)β最大時(shí)，θ有最大值，當(dāng)ce與相切時(shí)，β最大，此時(shí)θ＝π，則t＝T＝，故C選項(xiàng)正確。
8．(2020·浙江7月選考)某種離子診斷測(cè)量簡(jiǎn)化裝置如圖所示。豎直平面內(nèi)存在邊界為矩形EFGH、方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，探測(cè)板CD平行于HG水平放置，能沿豎直方向緩慢移動(dòng)且接地。a、b、c三束寬度不計(jì)、間距相等的離子束中的離子均以相同速度持續(xù)從邊界EH水平射入磁場(chǎng)，b束中的離子在磁場(chǎng)中沿半徑為R的四分之一圓弧運(yùn)動(dòng)后從下邊界HG豎直向下射出，并打在探測(cè)板的右邊緣D點(diǎn)。已知每束每秒射入磁場(chǎng)的離子數(shù)均為N，離子束間的距離均為0.6R，探測(cè)板CD的寬度為0.5R，離子質(zhì)量均為m、電荷量均為q，不計(jì)重力及離子間的相互作用。
(1)求離子速度v的大小及c束中的離子射出磁場(chǎng)邊界HG時(shí)與H點(diǎn)的距離s；
(2)求探測(cè)到三束離子時(shí)探測(cè)板與邊界HG的最大距離Lmax；
(3)若打到探測(cè)板上的離子被全部吸收，求離子束對(duì)探測(cè)板的平均作用力的豎直分量F與板到HG距離L的關(guān)系。
【名師解析】：(1)根據(jù)洛倫茲力提供離子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由牛頓第二定律得：qvB＝，
解得v＝
由幾何關(guān)系得OO′＝0.6R，
s＝＝0.8R。
(2)a、c束中的離子從同一點(diǎn)Q射出，α＝β
tan α＝
解得Lmax＝R。
(3)a或c束中每個(gè)離子動(dòng)量的豎直分量
pz＝pcos α＝0.8qBR
若0

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