?第二講 勻變速直線運(yùn)動(dòng)的研究
? 知識梳理
一、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律
1.概念：沿著一條直線，且加速度不變的運(yùn)動(dòng)。
2.分類：
①勻加速直線運(yùn)動(dòng)：加速度方向與初速度方向相同；
②勻減速直線運(yùn)動(dòng)：加速度方向與初速度方向相反。
v 無初速度時(shí)，物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
3.條件：加速度方向與速度方向在同一條直線上。
4.基本公式：
①速度與時(shí)間關(guān)系：
②位移與時(shí)間關(guān)系：
③速度與位移關(guān)系：
二、重要推論
①任意兩個(gè)連續(xù)相等時(shí)間間隔(T)內(nèi)的位移之差相等：
v 此性質(zhì)還可以表示為：
②一段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于這段時(shí)間中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，也等于這段時(shí)間初、末時(shí)刻速度矢量和的一半：
③位移中點(diǎn)速度
v 不論是勻加速直線運(yùn)動(dòng)還是勻減速直線運(yùn)動(dòng)都有：
三、初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的重要結(jié)論
①1T末，2T末，3T末，…，nT末的瞬時(shí)速度之比：
②第1個(gè)T內(nèi)，第2個(gè)T內(nèi)，第3個(gè)T內(nèi)，…，第n個(gè)T內(nèi)的位移之比：
③通過連續(xù)相等的位移所用時(shí)間之比：
四、自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)
1.自由落體運(yùn)動(dòng)
①定義：物體只在重力作用下從靜止開始下落的運(yùn)動(dòng)，其初速度為零，加速度為g。
②運(yùn)動(dòng)規(guī)律
（1）速度公式：
（2）位移公式：
（3）速度位移關(guān)系式：
2.豎直上拋
①定義：將物體以一定初速度豎直向上拋出，只在重力作用下的運(yùn)動(dòng)。
②運(yùn)動(dòng)規(guī)律
（1）速度公式：
（2）位移公式：
（3）速度位移關(guān)系式：
? 知識練習(xí)
考點(diǎn)一、勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本應(yīng)用
1.解題思路
確定研
究對象

畫過程
示意圖

選取正方向

判斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì)

根據(jù)過程列公式

解方程并加以討論
2.恰當(dāng)選用公式
題目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和為解題設(shè)定的中間量)
沒有涉及
的物理量
適宜選用公式
、v、a、t
x

、a、t、x
v

、v、a、x
t

、v、t、x
a

3.運(yùn)動(dòng)公式中符號的規(guī)定
一般規(guī)定初速度的方向?yàn)檎较颍c初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取負(fù)值。若，一般以a的方向?yàn)檎较颉?br /> 例1、(2021·山東濟(jì)南檢測)出租車載客后，從高速公路入口處駛?cè)敫咚俟?，并?0時(shí)10分55秒開始做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過10 s時(shí)，速度計(jì)顯示速度為54 km/h。
(1)求這時(shí)出租車離出發(fā)點(diǎn)的距離；
(2)出租車?yán)^續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度計(jì)顯示速度為108 km/h時(shí)，出租車開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)。10時(shí)12分35秒時(shí)計(jì)價(jià)器里程表示數(shù)應(yīng)為多少千米？(車啟動(dòng)時(shí)，計(jì)價(jià)器里程表示數(shù)為零)
【答案】(1)75 m　(2)2.7 km
【解析】[過程圖示] 畫運(yùn)動(dòng)過程示意圖,呈現(xiàn)運(yùn)動(dòng)情境。

(1)由題意可知經(jīng)過10 s時(shí),速度計(jì)上顯示的速度為v1=54 km/h= 15 m/s,
則
由位移公式得
即這時(shí)出租車離出發(fā)點(diǎn)的距離為75 m
(2)當(dāng)速度計(jì)上顯示的速度為v2=108 km/h=30 m/s時(shí),由=2as2得s2==300 m,這時(shí)出租車從靜止載客開始,已經(jīng)經(jīng)歷的時(shí)間為t2,可根據(jù)速度公式得t2==s=20 s
這時(shí)出租車時(shí)間表應(yīng)顯示10時(shí)11分15秒,
出租車?yán)^續(xù)勻速運(yùn)動(dòng),勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t3=80 s
通過位移s3=v2t3=30×80 m=2 400 m
所以10時(shí)12分35秒時(shí),計(jì)價(jià)器里程表示數(shù)
s=s2+s3=(300+2 400) m=2 700 m=2.7 km
例2、短跑運(yùn)動(dòng)員完成100m賽跑的過程可簡化為勻加速運(yùn)動(dòng)和勻速運(yùn)動(dòng)兩個(gè)階段。一次比賽中，某運(yùn)動(dòng)員用11. 00s跑完全程。已知運(yùn)動(dòng)員在加速階段的第2s內(nèi)通過的距離為7.5m，求該運(yùn)動(dòng)員的加速度及在加速階段通過的距離。
【答案】
【解析】 根據(jù)題意，在第1s和第2s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員都做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在勻加速階段的加速度為a，在第1s和第2s內(nèi)通過的位移分別為s1和s2，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得

求得
設(shè)運(yùn)動(dòng)員做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2，勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，跑完全程的時(shí)間為t，全程的距離為s，依題決及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，得

設(shè)加速階段通過的距離為s?，則
求得
例3、甲乙兩輛汽車都從靜止出發(fā)做加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度方向一直不變。在第一段時(shí)間間隔內(nèi)，兩輛汽車的加速度大小不變，汽車乙的加速度大小是甲的兩倍；在接下來的相同時(shí)間間隔內(nèi)，汽車甲的加速度大小增加為原來的兩倍，汽車乙的加速度大小減小為原來的一半。求甲乙兩車各自在這兩段時(shí)間間隔內(nèi)走過的總路程之比。
【答案】
【解析】設(shè)汽車甲在第一段時(shí)間間隔末（時(shí)間t0）的速度為v,第一段時(shí)間間隔內(nèi)行駛的路程為s1,加速度為a,在第二段時(shí)間間隔內(nèi)行駛的路程為s2。
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：　①　　?、凇　　? ③
設(shè)乙車在時(shí)間t0的速度為v'，在第一、二段時(shí)間間隔內(nèi)行駛的路程分別為s'1、s'2。
同樣有　 ④　　　　?、荨　　　　、?br /> 設(shè)甲、乙兩車行駛的總路程分別為、s'，則有 ⑦　　　?、?br /> 聯(lián)立以上各式解得，甲、乙兩車各自行駛的總路程之比為　⑨
l 課堂隨練
訓(xùn)練1、一質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t內(nèi)的位移為s，末速度是初速度的3倍，則該質(zhì)點(diǎn)的加速度為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，在時(shí)間t內(nèi)由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
……①
……②
又根據(jù)題意知：……③
由①②③式求得：
訓(xùn)練2、(2021·四川成都月考)一輛卡車以10 m/s 的速度勻速行駛，剎車后第一個(gè)2 s內(nèi)的位移與最后一個(gè)
2 s內(nèi)的位移之比為3∶2，設(shè)卡車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則剎車后4 s內(nèi)卡車通過的距離是(　 　)
A．2.5 m B．4 m
C．12 m D．12.5 m
【答案】D
【解析】設(shè)卡車剎車時(shí)加速度大小為a,則第一個(gè)2 s內(nèi)的位移
根據(jù)逆向思維,最后一個(gè)2 s內(nèi)的位移
由，解得a=4 m/s2，卡車從剎車到停止需要的時(shí)間=2.5 s
則剎車后4 s內(nèi)的位移=12.5 m，選項(xiàng)D正確。
訓(xùn)練3、“殲－15”艦載機(jī)在“山東艦”航母上艦尾降落滑行的過程可以簡化為沿水平方向的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，且艦載機(jī)滑行方向與航母運(yùn)動(dòng)方向在同一直線上。第一次試驗(yàn)時(shí)，航母靜止，艦載機(jī)滑上跑道時(shí)的速度為80 m/s，剛好安全停在甲板上；第二次試驗(yàn)時(shí)，航母以20 m/s速度勻速航行，若兩次在跑道上滑行過程中的加速度相同，已知跑道長為160 m。求第二次艦載機(jī)安全降落在航母上的最大速度。
【答案】100 m/s
【解析】第一次試驗(yàn)時(shí)，航母靜止，根據(jù)速度與位移關(guān)系式可知
0－v＝2aL
解得勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為a＝－20 m/s2
第二次當(dāng)航母勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)艦載機(jī)安全降落在航母上的最大速度為v1，設(shè)艦載機(jī)運(yùn)動(dòng)的位移為x1，
則有v2－v＝2ax1
艦載機(jī)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝
航母勻速運(yùn)動(dòng)的位移x2＝vt
根據(jù)題意則有x1－x2＝L
聯(lián)立解得v1＝100 m/s
考點(diǎn)二、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的推論及應(yīng)用
1.六種思想方法

例1、(多選)高鐵進(jìn)站的過程近似為高鐵做勻減速運(yùn)動(dòng)，高鐵車頭依次經(jīng)過A、B、C三個(gè)位置，已知AB＝BC，測得AB段的平均速度為30 m/s，BC段平均速度為20 m/s。根據(jù)這些信息可求得(　　)
A．高鐵車頭經(jīng)過A、B、C的速度
B．高鐵車頭在AB段和BC段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
C．高鐵運(yùn)動(dòng)的加速度
D．高鐵車頭經(jīng)過AB段和BC段時(shí)間之比
【答案】AD
【解析】設(shè)高鐵車頭在經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)時(shí)的速度分別為vA、vB、vC。根據(jù)AB段的平均速度為30 m/s，可以得到＝30 m/s；根據(jù)在BC段的平均速度為20 m/s，可以得到＝20 m/s；設(shè)AB＝BC＝x，則整個(gè)過程中的平均速度為＝＝＝24 m/s，所以有＝24 m/s。聯(lián)立解得vA＝34 m/s，vB＝26 m/s，vC＝14 m/s，由于不知道AB和BC的具體值，則不能求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間及其加速度的大小，A選項(xiàng)正確，B、C選項(xiàng)錯(cuò)誤。tAB∶tBC＝∶＝2∶3，D選項(xiàng)正確。
例2、物體以一定的初速度從斜面底端A點(diǎn)沖上固定的光滑斜面，斜面總長度為l，到達(dá)斜面最高點(diǎn)C時(shí)速度恰好為零，如圖所示，已知物體運(yùn)動(dòng)到距斜面底端l處的B點(diǎn)時(shí)，所用時(shí)間為t，求物體從B滑到C所用的時(shí)間。

【答案】t
【解析】法一：逆向思維法
物體向上勻減速?zèng)_上斜面，相當(dāng)于向下勻加速滑下斜面。設(shè)物體從B到C所用的時(shí)間為tBC。
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得xBC＝，xAC＝，
又xBC＝，
由以上三式解得tBC＝t。
法二：比例法
對于初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在連續(xù)相等的時(shí)間里通過的位移之比為x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
因?yàn)閤CB∶xBA＝∶＝1∶3，而通過xBA的時(shí)間為t，所以通過xBC的時(shí)間tBC＝t。
法三：中間時(shí)刻速度法
利用推論：勻變速直線運(yùn)動(dòng)中中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度等于這段位移的平均速度，vAC＝＝。又v02＝2axAC，vB2＝2axBC，xBC＝。由以上三式解得vB＝?？梢钥闯蓈B正好等于AC段的平均速度，因此B點(diǎn)是這段位移的中間時(shí)刻，因此有tBC＝t。
法四：圖像法

根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，畫出v-t圖像，如圖所示。利用相似三角形的規(guī)律，面積之比等于對應(yīng)邊的平方比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC。所以＝，解得tBC＝t。
例3、一小球沿斜面勻加速滑下，依次經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，已知AB=6 m，BC=10 m，小球經(jīng)過AB和BC兩段所用的時(shí)間均為2 s，則小球經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)時(shí)的速度大小分別是(　 　)
A．2 m/s，3 m/s，4 m/s
B．2 m/s，4 m/s，6 m/s
C．3 m/s，4 m/s，5 m/s
D．3 m/s，5 m/s，7 m/s
【答案】B
【解析】根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，兩點(diǎn)之間的平均速度等于中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，可知B點(diǎn)的速度等于AC段的平均速度，有=4 m/s；根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)中兩個(gè)連續(xù)相等時(shí)間間隔內(nèi)的位移之差等于恒量，即Δs=at2，有Δs=BC-AB=at2，解得a=1 m/s2；由vB=vA+at及vC=vB+at，解得vA=2 m/s，vC=6 m/s。故選項(xiàng)B正確。
l 課堂隨練
訓(xùn)練1、(2022·廣東四校聯(lián)考)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，它在第3 s內(nèi)與第6 s內(nèi)通過的位移之比為x1∶x2，通過第3個(gè)1 m與通過第6個(gè)1 m時(shí)的平均速度之比為v1∶v2，則(　　)
A．x1∶x2＝1∶4　　　　　 B．x1∶x2＝5∶11
C．v1∶v2＝1∶ D．v1∶v2＝∶
【答案】B
【解析】初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在連續(xù)相等時(shí)間內(nèi)通過的位移之比為s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故有第3 s內(nèi)與第6 s內(nèi)通過的位移之比為x1∶x2＝s3∶s6＝5∶11，故A錯(cuò)誤，B正確；初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在通過連續(xù)相等的位移所用時(shí)間之比為t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，故有質(zhì)點(diǎn)通過第3個(gè)1 m與通過第6個(gè)1 m時(shí)所用時(shí)間之比為t3∶t6＝(－)∶(－)，根據(jù)平均速度公式＝，可得質(zhì)點(diǎn)通過第3個(gè)1 m與第6個(gè)1 m時(shí)的平均速度之比為v1∶v2＝ ∶＝(＋)∶(＋)，故C、D錯(cuò)誤。
訓(xùn)練2、從固定斜面上的O點(diǎn)每隔0.1 s由靜止釋放一個(gè)同樣的小球。釋放后小球做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。某一時(shí)刻，拍下小球在斜面滾動(dòng)的照片，如圖所示。測得小球相鄰位置間的距離xAB＝4 cm，xBC＝8 cm。已知O點(diǎn)距離斜面底端的長度為l＝35 cm。由以上數(shù)據(jù)可以得出(　　)

A．小球的加速度大小為12 m/s2
B．小球在A點(diǎn)的速度為0
C．斜面上最多有5個(gè)小球在滾動(dòng)
D．該照片是距第一個(gè)小球釋放后0.3 s拍攝的
【答案】C
【解析】根據(jù)Δx＝aT2可得小球的加速度大小為a＝＝4 m/s2，A錯(cuò)誤； 小球在B點(diǎn)時(shí)的速度vB＝＝0.6 m/s，小球在A點(diǎn)的速度為vA＝vB－aT＝0.2 m/s，則tA＝＝0.05 s，即該照片是距第一個(gè)小球釋放后0.05 s拍攝的，B、D錯(cuò)誤；最高點(diǎn)的球剛釋放時(shí)，最高處兩球之間的距離為x1＝aT2＝0.02 m＝2 cm，根據(jù)初速度為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，各個(gè)球之間的距離之比為1∶3∶5∶7…，則各個(gè)球之間的距離分別為2 cm、6 cm、10 cm、14 cm、18 cm…，因?yàn)镺點(diǎn)與斜面底端距離為35 cm，而前5個(gè)球之間的距離之和為32 cm，斜面上最多有5個(gè)球，C正確。
訓(xùn)練3、一物體作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，通過一段位移Δx所用的時(shí)間為t1，緊接著通過下一段位移Δx所用的時(shí)間為t2。則物體運(yùn)動(dòng)的加速度為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】第一段位移中間時(shí)刻的速度為……①
第二段位移中間時(shí)刻的速度為……②
則物體的加速度為……③
由①②③得a=
考點(diǎn)三、自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)
1.豎直上拋運(yùn)動(dòng)的重要特性
①對稱性
如圖所示，物體以初速度v0豎直上拋，A、B為途中的任意兩點(diǎn)，C為最高點(diǎn)，則：

②多解性：當(dāng)物體經(jīng)過拋出點(diǎn)上方某個(gè)位置時(shí)，可能處于上升階段，也可能處于下降階段，造成多解，在解決問題時(shí)要注意這個(gè)特性。
例1、兩物體在不同高度自由下落，同時(shí)落地，第一個(gè)物體下落時(shí)間為t，第二個(gè)物體下落時(shí)間為，當(dāng)?shù)诙€(gè)物體開始下落時(shí)，兩物體相距(　　)
A．gt2　　　　　　　　 B．gt2
C．gt2 D．gt2
【答案】D
【解析】第二個(gè)物體在第一個(gè)物體下落后開始下落，此時(shí)第一個(gè)物體下落的高度h1＝g＝。根據(jù)h＝gt2，知第一個(gè)物體和第二個(gè)物體下落的總高度分別為gt2、，兩物體未下落時(shí)相距，所以當(dāng)?shù)诙€(gè)物體開始下落時(shí)，兩物體相距Δh＝－＝，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。
例2、研究人員為檢驗(yàn)?zāi)骋划a(chǎn)品的抗撞擊能力，乘坐熱氣球并攜帶該產(chǎn)品豎直升空，當(dāng)熱氣球以10 m/s 的速度勻速上升到某一高度時(shí)，研究人員從熱氣球上將產(chǎn)品自由釋放，測得經(jīng)11 s產(chǎn)品撞擊地面。不計(jì)產(chǎn)品所受的空氣阻力，求產(chǎn)品的釋放位置距地面的高度。(g取10 m/s2)
【答案】495m
【解析】[過程圖示] 將產(chǎn)品的運(yùn)動(dòng)過程分為A→B和B→C→D兩段來處理。A→B為豎直方向勻減速運(yùn)動(dòng)，B→C→D為自由落體運(yùn)動(dòng)。

法一　分段法
在A→B段，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知
tAB==1 s
hAB=hBC==5 m
由題意可知tBD=11 s-1 s=10 s
根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得hBD==500 m
故釋放點(diǎn)離地面的高度H=hBD-hBC=495 m。
法二　全程法
將產(chǎn)品的運(yùn)動(dòng)視為勻變速直線運(yùn)動(dòng),規(guī)定向上為正方向，則v0=10 m/s，a=-g=-10 m/s2,
根據(jù)H=v0t+at2
解得H=-495 m,
即產(chǎn)品剛釋放時(shí)離地面的高度為495 m。
例3、(2019·高考全國卷Ⅰ，T18)如圖，籃球架下的運(yùn)動(dòng)員原地垂直起跳扣籃，離地后重心上升的最大高度為H。上升第一個(gè)所用的時(shí)間為t1，第四個(gè)所用的時(shí)間為t2。不計(jì)空氣阻力，則滿足(　　)

A．1

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