
函數(shù)的單調(diào)性與最值
f(x1)f(x2)
注意 1.函數(shù)的單調(diào)性定義中的x1,x2有三個(gè)特征:一是任意性;二是有大小,即x1x2);三是屬于同一個(gè)區(qū)間,三者缺一不可.2.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)單調(diào)性時(shí),必須先求函數(shù)的定義域.3.一個(gè)函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”連接,不能用“∪”連接.4.“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念,顯然N?M.
函數(shù)奇偶性的概念及性質(zhì)
注意 (1)只有函數(shù)在x=0處有定義時(shí),f(0)=0才是f(x)為奇函數(shù)的必要非充分條件;(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.
思維拓展 (1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,f(x+a)=f(-x+a).(2)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱,f(x+b)+f(-x+b)=0.
1.周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有 ,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期. 2.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在最小的正數(shù),那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f(x)的 正周期.
注意 并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期,如f(x)=5.
f(x+T)=f(x)
確定函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)
解析 (1)(圖象法)如圖,在坐標(biāo)系中分別畫(huà)出A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的大致圖象,即可判斷D項(xiàng)符合題意.(也可根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì),直接判斷)
(2)(復(fù)合法)由x2-2x-8>0,得x4.因此,函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的定義域是(-∞,-2)∪(4,+∞).(先求函數(shù)f(x)的定義域)易知函數(shù)y=x2-2x-8在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(4,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)y=ln t為(0,+∞)上的增函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,f(x)=ln(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4,+∞).故選D.
(3)解法一(導(dǎo)數(shù)法) f'(x)=a(x-1)-ax(x-1)2=-a(x-1)2.當(dāng)a>0時(shí),f '(x)
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