武漢十調(diào)一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．3．兩個單位向量與滿足，則向量與的夾角為（    ）A． B． C． D．4．要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（    ）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位5．某玻璃制品廠需要生產(chǎn)一種如圖1所示的玻璃杯，該玻璃杯造型可以近似看成是一個圓柱挖去一個圓臺得到，其近似模型的直觀圖如圖2所示（圖中數(shù)據(jù)單位為cm），則該玻璃杯所用玻璃的體積（單位：）為（    ）  A． B． C． D．6．某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導(dǎo)綠色環(huán)保的理念，購人污水過濾系統(tǒng)對污水進(jìn)行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量N（mg/L）與時間t（h）的關(guān)系為，其中為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù)．若在某次過濾過程中，前2個小時過濾掉了污染物的30%，則可計(jì)算前6小時共能過濾掉污染物的（    ）A．49% B．51% C．65.7% D．72.9%7．過雙曲線的左焦點(diǎn)F作的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)A，若，則雙曲線E的離心率為（    ）A． B． C． D．8．已知是半徑為的球體表面上的四點(diǎn)，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（    ）A． B． C． D． 二、多選題9．四個實(shí)數(shù)，2，x，y按照一定順序可以構(gòu)成等比數(shù)列，則xy的可能取值有（    ）A． B． C． D．10．直線過拋物線的焦點(diǎn)且與該拋物線交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法中正確的是（    ）A． B．拋物線E的準(zhǔn)線方程是C．以MN為直徑的圓與定直線相切 D．的大小為定值11．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（    ）A． B． C． D．12．若函數(shù)存在連續(xù)四個相鄰且依次能構(gòu)成等差數(shù)列的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的可能取值有（    ）A． B． C．0 D． 三、填空題13．的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為        ．14．圓心在直線上且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是        ．15．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值為        ． 16．甲，乙，丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3，則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中，投擲n次骰子后（），記球在甲手中的概率為，則        ；        ．  四、解答題17．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)n，有．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角；(2)若，且的內(nèi)切圓半徑，求的面積．19．近期世界地震、洪水、森林大火等自然災(zāi)害頻繁出現(xiàn)，緊急避險知識越來越引起人們的重視．某校為考察學(xué)生對緊急避險知識的掌握情況，從全校學(xué)生中選取200名學(xué)生進(jìn)行緊急避險知識測試，其中男生110名，女生90名．所有學(xué)生的測試成績都在區(qū)間范圍內(nèi)，由測試成績數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖．  (1)若從頻率分布直方圖中估計(jì)出樣本的平均數(shù)與中位數(shù)相等，求圖中m的值；(2)規(guī)定測試成績不低于80分為優(yōu)秀，已知共有45名男生成績優(yōu)秀，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷男生和女生的測試成績優(yōu)秀率有差異？性別測試成績合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀 男生45  女生   合計(jì)   參考公式與數(shù)據(jù)：0.10.050.012.7063.8416.63520．如圖，在四棱錐中，底面四邊形ABCD滿足，，，棱PD上的點(diǎn)E滿足．   (1)證明：直線平面PAB；(2)若，，且，求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．21．橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，滿足，且橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，直線和直線分別與橢圓交于另外的點(diǎn)和點(diǎn)，若的面積為，求的值．22．已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，，且有兩個極值點(diǎn)，分別為和，求的最小值．
參考答案：1．B【分析】解一元二次不等式化簡集合A，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，而，所以.故選：B2．C【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)加減法的意義求解作答.【詳解】依題意，，于是，所以.故選：C3．D【分析】由題意可得，，根據(jù)可得，設(shè)與的夾角為，利用即可求解.【詳解】由題意可得，，且，所以.設(shè)與的夾角為，，則,所以.故選；D.4．B【分析】，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>,所以將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得到函數(shù)的圖象.故選:B.5．A【分析】根據(jù)給定條件，利用柱體體積公式、臺體體積公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，該玻璃杯所用玻璃的體積為.故選：A6．C【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型，結(jié)合已知數(shù)據(jù)列出方程求解作答.【詳解】依題意，前2個小時過濾后剩余污染物數(shù)量為，于是，解得，因此前6小時過濾后剩余污染物數(shù)量為，所以前6小時共能過濾掉污染物的.故選：C7．C【分析】取線段中點(diǎn)，根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及直角三角形勾股定理求解作答.【詳解】令雙曲線的右焦點(diǎn)為，半焦距為c，取線段中點(diǎn)，連接，  因?yàn)?/span>切圓于，則，有，因?yàn)?/span>，則有，，而為的中點(diǎn)，于是，即，，在中，，整理得，所以雙曲線E的離心率.故選：C8．B【分析】設(shè)球心為，分別取，的外接圓圓心為，連接，證得為中點(diǎn)，平面與平面的夾角即為的余角，解，即可得解.【詳解】設(shè)球心為，分別取，的外接圓圓心為，連接，  ∵，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，則，由為外心，故，則，由題意可得平面，故平面與平面的夾角，即為的余角.在中，，，則由正弦定理可得，由球的半徑為，故，,由平面，平面，可得，則中，,即，故平面與平面的夾角為，故其余弦值為.故選:B.9．ABD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，分情況討論，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列所有奇數(shù)項(xiàng)符號相同，所有偶數(shù)項(xiàng)符號也相同，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第一項(xiàng)與第二項(xiàng)時，則第三，四項(xiàng)分別為，此時，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第一項(xiàng)與第四項(xiàng)時，此時，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第三項(xiàng)與第四項(xiàng)時，則第一，二項(xiàng)分別為，此時，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第三項(xiàng)與第二項(xiàng)時，此時，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第二項(xiàng)與第三項(xiàng)時，此時，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第二項(xiàng)與第一項(xiàng)時，則第三，四項(xiàng)分別為，此時，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第四項(xiàng)與第三項(xiàng)時，則第一，二項(xiàng)分別為，此時，當(dāng)對應(yīng)等比數(shù)列的第四項(xiàng)與第一項(xiàng)時，此時，故選：ABD10．BC【分析】由直線過定點(diǎn)，得到，可判定A正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可得判定B正確；過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，根據(jù)拋物線的定義得到，可判定C正確；聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，求得，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，由直線，可化為，可得直線過定點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線上，可得，則，所以A錯誤；對于B中，由拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以B正確；對于C中，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，的中點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，可得，故以MN為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，所以C正確；對于D中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，，，可得，則，則，但的大小不是定值，設(shè)，而，則，則，而，并不是定值，所以D錯誤.故選：BC.  11．AD【分析】先由題意可知，由，得，構(gòu)造函數(shù)，得，再對四個選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】由題意可得，則由，得.對于A：設(shè)，，則在區(qū)間上，，為增函數(shù)，所以由題意可得，所以，故A正確；對于B：由，得,故B錯誤；對于C：由A可知在區(qū)間上為增函數(shù)，且，則，即,則,由,得,令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以,所以,故C錯誤；對于D：又,令,則,所以在上單調(diào)遞增,所以，所以,又，且,令，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，綜上可得，故D正確；故選:AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，從而可得.12．ACD【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)的定義分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求出函數(shù)值域確定的范圍，再逐項(xiàng)分析并結(jié)合等差數(shù)列的意義判斷作答.【詳解】由，得，令，顯然函數(shù)是偶函數(shù)，是周期為的周期函數(shù)，而，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，，于是函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大排成一列構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，A正確；當(dāng)時，，顯然此方程在余弦函數(shù)的周期長的區(qū)間內(nèi)只有兩個根，取，則方程在內(nèi)有4個根，顯然有，于是，，即有，則不成等差數(shù)列，由周期性知，當(dāng)時，函數(shù)不存在連接4個零點(diǎn)依次構(gòu)成等差數(shù)列，B錯誤；當(dāng)時，或，取函數(shù)的4個連續(xù)零點(diǎn)為，顯然成等差數(shù)列，C正確；當(dāng)時，或，令，則函數(shù)在內(nèi)有4個零點(diǎn)，并滿足，且，顯然，，，顯然，，因此，所以成等差數(shù)列，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及給值求角問題，關(guān)鍵是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．13．【分析】求得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，根據(jù)題意，進(jìn)而求得項(xiàng)的系數(shù)，得到答案.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14．【分析】根據(jù)給定條件，求出過切點(diǎn)的圓半徑所在直線方程，進(jìn)而求出圓心坐標(biāo)即可作答.【詳解】依題意，過切點(diǎn)的圓的半徑所在直線方程為，即，由解得，因此所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的方程為.故答案為：15．【分析】確定函數(shù)定義域，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即，設(shè)，求得函數(shù)的最值，從而可得實(shí)數(shù)a的最值.【詳解】的定義域?yàn)?/span>，若在上單調(diào)遞增，則恒成立，即設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減;時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，故實(shí)數(shù)a的最大值為.故答案為：.16．          【分析】結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，結(jié)合題意，利用列舉法和分類討論，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)投擲3次骰子后，球在甲手中，共有4中情況：①：甲甲甲甲，其概率為 ②：甲甲乙甲，其概率為③：甲乙甲甲，其概率為④：甲乙丙甲，其概率為所以投擲3次后，球在甲手中的概率為.記當(dāng)投擲次骰子后，球在甲手中的概率為，再三次投擲后，即投擲次，球仍在甲手中的概率為，則，即，即又因?yàn)?/span>，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以.故答案為：；.17．(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）利用給定的遞推公式，結(jié)合計(jì)算推理作答.（2）由（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】（1）依題意，，，兩式相減得：，即，整理得，即，因此，所以數(shù)列是常數(shù)列.（2）當(dāng)時，，解得，由（1）得：，于是，則，所以.18．(1)；(2). 【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等變換求出，即可求;(2)利用余弦定理和三角形的面積公式求出，即可求面積.【詳解】（1）由正弦定理得： ，即，即，即.因?yàn)?/span>，所以，所以.因?yàn)?/span>，所以.（2）面積，代入，和，整理得：①，由余弦定理：，得： ，即②，①②聯(lián)立可得：，解得：或（舍去），所以.19．(1)；(2)列聯(lián)表見解析，男生和女生的測試成績優(yōu)秀率沒有差異. 【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖，估計(jì)平均數(shù)及中位數(shù)即可列式作答.（2）完善列聯(lián)表，求出的觀測值，并與臨界值表比對作答.【詳解】（1）依題意，頻率分布直方圖中左起第一個小矩形的高為：，樣本平均數(shù)的估計(jì)值為：，顯然數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為，落在的頻率為，因此樣本中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，其估計(jì)值為；，則，解得，所以.（2）總的成績優(yōu)秀人數(shù)為：，得到列聯(lián)表為：性別測試成績合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀男生4565110女生256590合計(jì)70130200于是的觀測值為，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為男生和女生的測試成績優(yōu)秀率沒有差異.20．(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）連接，過C做，交BD于T點(diǎn)，先利用三角形全等證得，再根據(jù)三角形的余弦定理求得BD，再由，證明平面平面即可得證.（2）根據(jù)三角形的余弦定理及邊長關(guān)系證明平面，以O為原點(diǎn)，OC，OD，OP所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，后根據(jù)線面角的坐標(biāo)求法代入即可求解.【詳解】（1）解：由題意得：連接，過C做，交BD于T點(diǎn)，如圖所示：   ，， 又 在中，解得：平面，平面，平面，平面， 平面，平面又相交于點(diǎn)平面平面平面直線平面PAB（2）連接AC交BD于O點(diǎn)在和中，由可得，即解得：，滿足，所以又又有AC交BD于O點(diǎn)，所以平面，滿足PO，CO，DO兩兩垂直故以O為原點(diǎn)，OC，OD，OP所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，于是有，設(shè)平面的法向量為，由取又故所求角的正弦值為所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值為.  21．(1)；(2). 【分析】（1）依題意，則，又,得，從而求得橢圓方程；（2）先求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由,可得的值．【詳解】（1）由題意,,得.離心率,得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，點(diǎn),直線的方程為,即.與橢圓方程聯(lián)立得:,解得:.點(diǎn),直線的方程為.與橢圓方程聯(lián)立得:,解得: .三角形面積比.又因?yàn)?/span>,所以 ，由題意, ,整理得,解得:或.又由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部,故,即.    【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為（或）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2). 【分析】（1）時，，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性即可；（2）令，可得是關(guān)于的方程的兩個實(shí)根，易得，，化簡①.令，①式化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】（1）時，，，令，可得或，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），令，可得.由題意可得，是關(guān)于的方程的兩個實(shí)根，所以.由，有，所以.將代入上式，得，同理可得.所以①.令，①式化為，設(shè)，即，則，記，則.記，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，在上單調(diào)遞增，所以.所以，在上單調(diào)遞減.又 ，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，取到最大值，即的最大值為2.因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以.所以的最小值為.【點(diǎn)睛】總結(jié)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值點(diǎn)睛：在解決類似的問題時，首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別．求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在內(nèi)所有使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得． 

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